- •Содержание
- •Лекция № 1. Теория погрешностей План
- •1.1. Источники и классификация погрешностей
- •1.2. Абсолютная и относительная погрешности. Формы записи данных
- •1.3. Вычислительная погрешность
- •2.1. Общие сведения и определения
- •2.2. Отделение корней
- •2.3. Метод половинного деления
- •2.4. Метод простой итерации
- •2.5. Преобразование уравнения к итерационному виду
- •2 0.777373 -3.32063 Search
- •Лекция № 3. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений План
- •3.1. Общие сведения и основные определения
- •3.2. Метод Гаусса и его реализация в пакете matlab
- •3.3. Вычисление определителей
- •3.4. Решение систем линейных уравнений методом простой итерации
- •5. Метод Зейделя
- •3.6. Решение систем линейных уравнений средствами пакета matlab
- •Выражения
- •Лекция № 4. Методы решения систем нелинейных уравнений
- •4.2. Метод Ньютона решения систем нелинейных уравнений
- •Последовательные приближения корней
- •4.3. Решение нелинейных систем методами спуска
- •4.4. Решение систем нелинейных уравнений средствами пакета matlab
- •Iteration Func-count f(X) step optimality cg-iterations
- •Iteration Func-count f(X) step optimality cg-iterations
- •Лекция № 5. Интерполирование функций План
- •5.1. Постановка задачи
- •Решение задачи находится отысканием некоторой приближающей функции f(X), близкой в некотором смысле к функции f(X), для которой известно аналитическое выражение/
- •5.2. Интерполяционный полином Лагранжа
- •5.3. Интерполяционный полином Ньютона для равноотстоящих узлов
- •5.3.1. Конечные разности
- •5.3.2. Первая интерполяционная формула Ньютона
- •5.3.3. Вторая интерполяционная формула Ньютона
- •5.4. Погрешность интерполяции
- •5.5. Сплайн-интерполяция
- •5.6. Решение задачи одномерной интерполяции средствами пакете matlab
- •Лекция № 6. Численное дифференцирование
- •6.2. Особенности задачи численного дифференцирования функций, заданных таблично
- •6.3. Интегрирование функций, заданных аналитически (формула прямоугольников, формула трапеций, формула Симпсона)
- •6.4. Погрешность численного интегрирования
- •6.5. Вычисление интегралов методом Монте-Карло
- •Лекция № 7. Методы обработки экспериментальных данных План
- •7.1. Метод наименьших квадратов
- •Сумма квадратов отклонений
- •7.2. Нахождение приближающей функции в виде линейной функции и квадратичного трехчлена
- •7.5. Аппроксимация функцией произвольного вида
- •Лекция № 8. Преобразование Фурье
- •8.2. Эффект Гиббса
- •8.3. Спектральный анализ дискретных функций конечной длительности
- •8.4. Быстрое преобразование Фурье
- •Лекция № 9. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений План
- •9.1. Основные сведения и определения
- •9.2. Метод Пикара
- •9.3. Метод Эйлера
- •9.4. Метод Рунге-Кутта
- •9.5. Средства пакета matlab для решения обыкновенных дифференциальных уравнений
6.4. Погрешность численного интегрирования
Для нахождения зависимостей погрешности вычисления определенного интеграла на отрезке от числа отрезков разбиения интервала интегрирования разложим подынтегральную функцию в ряд Тейлора:
. (6.22)
Тогда интеграл от данной функции на отрезке будет равен
. (6.23)
Оценим погрешность метода левых прямоугольников. Погрешность интегрирования на отрезкеравняется разности между точным значением интеграла и его оценкой:
. (6.24)
Из (6.24) видно, что основной член погрешности на каждом отрезке имеет порядок или, в символической записи,. Поскольку полное число отрезков равноN, а , то полная погрешность метода левых прямоугольников по порядку величины равна. Аналогично можно показать, что погрешность метода правых прямоугольников также пропорциональна.
Погрешность формулы трапеций оценивается аналогичным образом. Так как значение интеграла на отрезке вычисляется по формуле, то погрешность равна
(6.25)
Заменив в (6.25) первый член выражением (6.23), значение функции в точке разложением в ряд Тэйлора:
,
раскрыв скобки и приведя подобные, обнаруживаем, что член, пропорциональный первой производной функции, сокращается, и погрешность на одном отрезке равна . Следовательно, полная погрешность формулы трапеций на отрезкепо порядку величины равна.
Так как формула Симпсона основывается на приближении функции параболой, можно ожидать, что в данном случае погрешность по порядку величины будет определяться членами, пропорциональными третьей производной функции. Однако последовательное повторение действий, выполненных при оценке погрешности метода трапеций, показывает, что эти члены сокращаются в силу их симметричности, поэтому в разложении в ряд Тейлора следует удержать член, пропорциональный. Следовательно, погрешность формулы Симпсона на отрезке пропорциональна , а полная погрешность на отрезкепо порядку величины составляет.
Полезно получить оценку погрешности вычисления интеграла от функции, зависящей от двух переменных, который с геометрической точки зрения представляет собой объем фигуры под поверхностью, заданной функцией . В прямоугольном приближении данный интеграл равен сумме объемов параллелепипедов с площадью основанияи высотой, равной значению функциив одном из углов. Для определения погрешности разложим функциюв ряд Тейлора:
, (6.26)
где , частные производные по соответствующим переменным.
Погрешность вычисления интеграла равна
. (6.27)
Подставив (6.26) в (6.27), выполнив интегрирование и приведя подобные, получаем, что член пропорциональный сокращается, а интеграл отдает. Интеграл от данного выражения подает еще один множитель. Аналогичный вклад дает интеграл от члена, пропорционального. Так как погрешность порядок погрешноститакже составляет, то погрешность интегрирования по прямоугольнику,равна
. (6.28)
Из (6.28) видно, что погрешность интегрирования по одному параллелепипеду составляет . Так как имеетсяN параллелепипедов, полная погрешность по порядку величины равна . Однако в двумерном случае , поэтому полная погрешность . Напомним, что в одномерном случае полная погрешность метода прямоугольников.
Аналогичные оценки для двумерных обобщений формул трапеций и Симпсона показывают, что они соответственно равны и. Вообще можно показать, что если для одномерного случая погрешность составляет, то вd-мерном случае она равна .