- •Содержание
- •Лекция № 1. Теория погрешностей План
- •1.1. Источники и классификация погрешностей
- •1.2. Абсолютная и относительная погрешности. Формы записи данных
- •1.3. Вычислительная погрешность
- •2.1. Общие сведения и определения
- •2.2. Отделение корней
- •2.3. Метод половинного деления
- •2.4. Метод простой итерации
- •2.5. Преобразование уравнения к итерационному виду
- •2 0.777373 -3.32063 Search
- •Лекция № 3. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений План
- •3.1. Общие сведения и основные определения
- •3.2. Метод Гаусса и его реализация в пакете matlab
- •3.3. Вычисление определителей
- •3.4. Решение систем линейных уравнений методом простой итерации
- •5. Метод Зейделя
- •3.6. Решение систем линейных уравнений средствами пакета matlab
- •Выражения
- •Лекция № 4. Методы решения систем нелинейных уравнений
- •4.2. Метод Ньютона решения систем нелинейных уравнений
- •Последовательные приближения корней
- •4.3. Решение нелинейных систем методами спуска
- •4.4. Решение систем нелинейных уравнений средствами пакета matlab
- •Iteration Func-count f(X) step optimality cg-iterations
- •Iteration Func-count f(X) step optimality cg-iterations
- •Лекция № 5. Интерполирование функций План
- •5.1. Постановка задачи
- •Решение задачи находится отысканием некоторой приближающей функции f(X), близкой в некотором смысле к функции f(X), для которой известно аналитическое выражение/
- •5.2. Интерполяционный полином Лагранжа
- •5.3. Интерполяционный полином Ньютона для равноотстоящих узлов
- •5.3.1. Конечные разности
- •5.3.2. Первая интерполяционная формула Ньютона
- •5.3.3. Вторая интерполяционная формула Ньютона
- •5.4. Погрешность интерполяции
- •5.5. Сплайн-интерполяция
- •5.6. Решение задачи одномерной интерполяции средствами пакете matlab
- •Лекция № 6. Численное дифференцирование
- •6.2. Особенности задачи численного дифференцирования функций, заданных таблично
- •6.3. Интегрирование функций, заданных аналитически (формула прямоугольников, формула трапеций, формула Симпсона)
- •6.4. Погрешность численного интегрирования
- •6.5. Вычисление интегралов методом Монте-Карло
- •Лекция № 7. Методы обработки экспериментальных данных План
- •7.1. Метод наименьших квадратов
- •Сумма квадратов отклонений
- •7.2. Нахождение приближающей функции в виде линейной функции и квадратичного трехчлена
- •7.5. Аппроксимация функцией произвольного вида
- •Лекция № 8. Преобразование Фурье
- •8.2. Эффект Гиббса
- •8.3. Спектральный анализ дискретных функций конечной длительности
- •8.4. Быстрое преобразование Фурье
- •Лекция № 9. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений План
- •9.1. Основные сведения и определения
- •9.2. Метод Пикара
- •9.3. Метод Эйлера
- •9.4. Метод Рунге-Кутта
- •9.5. Средства пакета matlab для решения обыкновенных дифференциальных уравнений
6.5. Вычисление интегралов методом Монте-Карло
Проиллюстрируем идеи метода Монте-Карло на примере вычисления определенного интеграла от функции, зависящей от одной переменной. Пусть нам необходимо вычислить интеграл (6.11) от некоторой заданной функции на интервале. В предыдущем разделе мы рассмотрели несколько различных формул интегрирования, в которых использовались значения функции, вычисляемые в равноотстоящих точках. Однако можно использовать и другой подход, суть которого легко понять из следующего примера.
Рис. 6.6
Представим себе прямоугольник высотой H и длиной b a такой, что функция целиком лежит внутри данного прямоугольника (рис. 6.6). СгенерируемN пар случайных чисел, равномерно распределенных в данном прямоугольнике:
,. (6.29)
Тогда доля точек , удовлетворяющих условию, является оценкой отношения интеграла от функциик площади рассматриваемого прямоугольника. Следовательно, оценка интеграла в данном методе может быть получена по формуле
, (6.30)
где число точек, удовлетворяющих условию ,N полное количество точек, A площадь прямоугольника.
Можно предложить и другой путь вычисления определенного интеграла, рассматривая его как среднее значение функции на отрезке:
, (6.31)
где последовательность случайных чисел с равномерным законом распределения на отрезке .
Отметим, что в отличие от данных методов погрешность метода Монте-Карло не зависит от размерности и меняется как . Следовательно, для достаточно большихd интегрирование по методу Монте-Карло будет приводить к меньшим погрешностям при тех же значениях N.
Пример 6.6. Вычисление интеграла методом Монте-Карло в пакетеMATLAB:
% задание координат вершит прямоугольника
>> Xmin=0;
>> Xmax=pi/2;
>> Ymin=0;
>> Ymax=1.5;
% генерация случайных координат
>> N=2000;
>> x=Xmin+(Xmax-Xmin)*rand(N,1);
>> y=Ymin+(Ymax-Ymin)*rand(N,1);
% подсчет числа точек, попавших под график функции
>> s=0;
>> for i=1:N
if y(i)<=feval(f,x(i))
s=s+1;
end;
end;
>> s*(Xmax-Xmin)*(Ymax-Ymin)/N % вычисление значения
% интеграла
ans =
1.0261
% вычисление интеграла в соответствие с (6.31)
>> Fr=feval(f,x);
>> (Xmax-Xmin)/N*sum(Fr)
ans =
1.0091
Лекция № 7. Методы обработки экспериментальных данных План
7.1. Метод наименьших квадратов
7.2. Нахождение приближающей функции в виде линейной функции и квадратичного трехчлена
7.3. Нахождение приближающей функции в виде других элементарных функций
7.4. Аппроксимация линейной комбинацией функций
7.5. Аппроксимация функцией произвольного вида
7.1. Метод наименьших квадратов
Пусть в результате измерений в процессе опыта получена таблица некоторой зависимости (табл. 7.1).
Таблица 7.1
x |
… | |||
f(x) |
… |
Требуется найти формулу, выражающую данную зависимость аналитически.
Один из подходов к решению данной задачи состоит в построении интерполяционного многочлена, значения которого будут в точках ,,…,совпадать с соответствующими значениямииз табл. 7.1. Однако совпадение значений в узлах может вовсе не означать совпадения характеров исходной и интерполирующей функций. Требование неукоснительного совпадения значений, тем более неоправданно, если значения функцийизвестны с некоторой погрешностью (рис. 7.1).
Рис. 7.1
Поставим задачу так, чтобы с самого начала обязательно учитывался характер исходной функции: найти функцию заданного вида
, (7.1)
которая в точках ,,…,принимает значения как можно более близкие к табличным значениям , ,…,.
Следует отметить, что строгая функциональная зависимость для табл. 7.1. наблюдается редко, т. к. каждая из входящих в нее величин может зависеть от многих случайных факторов, поэтому обычно используют простые по виду аналитические функции.
Рассмотрим один из наиболее распространенных способов нахождения функции . Предположим, что приближающая функцияв точках,,…,имеет значения
, ,…,. (7.2)
Требование близости табличных значений , ,…,и значений (7.2) можно истолковать следующим образом. Будем рассматривать совокупность значений функциииз табл. 7.1 и совокупность значений (7.2) как координаты двух точекn-мерного пространства. С учетом этого задача приближения функции может быть переформулирована следующим образом: найти такую функцию заданного вида, чтобы расстояние между точками и было наименьшим. Воспользовавшись метрикой Евклидова пространства, приходим к требованию, чтобы величина
, (7.3)
была наименьшей. Это равносильно следующему: сумма квадратов
(7.4)
должна быть наименьшей.
Таблица 7.2
Окончательно задача приближения функции теперь формулируется следующим образом: для функции, заданной табл. 7.1, найти функциюопределенного вида так, чтобы сумма квадратов (7.4) была наименьшей. Эта задача называется приближением функции методом наименьших квадратов. В качестве приближающих функций в зависимости от характера точечного графика функциичасто используют функции, представленные в табл. 7.2. (Здесьa, b, m неизвестные параметры)
Когда вид приближающей функции установлен, задача сводится к отысканию значений параметров.
Рассмотрим метод нахождения параметров приближающей функции в общем виде на примере приближающей функции, зависящей от трех параметров:
. (7.5)
Имеем
, (7.6)
Сумма квадратов разностей соответствующих значений функций иимеет вид:
. (7.7)
Сумма является функцией трех переменных. Используя необходимое условие экстремума:
,
получаем систему уравнений
,
, (7.8)
.
Решив систему (7.8) относительно параметров a, b, c, получаем конкретный вид функции . Изменение количества параметров не приведет к изменению сути самого подхода, а выразится в изменении количества уравнений в системе (7.8).
Значения разностей
(7.9)
называют отклонениями измеренных значений от вычисленных по формуле (7.5).