- •Глава 1. Основные задачи математической статистики. Выборки и их характеристики.
- •§ 1. Предмет и задачи математической статистики.
- •§ 2. Генеральная и выборочная совокупность. Способы отбора.
- •§ 3. Статистическое распределение выборки.
- •§ 4. Полигон и гистограмма.
- •§ 5 Эмпирическая функция распределения.
- •§ 6. Числовые характеристики статистического распределения выборки.
- •§ 7. Числовые характеристики генеральной совокупности.
- •Глава 2.
- •§1 Понятие о статистических оценках параметров распределения.
- •§2. Точечные и интервальные оценки. Доверительный интервал. Точность оценки. Доверительная вероятность (надежность).
- •§3. Несмещенные, состоятельные и эффективные оценки.
- •§ 4. Точечная оценка генерального среднего по выборочной средней.
- •§ 5. Точечная оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной дисперсии.
- •§6. Метод моментов для точечной оценки параметра распределения.
- •Глава 3.
- •§1. Статистическая гипотеза. Основные понятия.
- •§2. Ошибки первого и второго рода.
- •§ 3. Статистический критерий. Критическая область. Область принятия гипотезы. Критические точки.
- •§ 4. Уровень значимости и мощность критерия.
- •§ 5. Виды критических областей.
- •§6. Методика проверки гипотезы.
- •§ 7. Некоторые типичные задачи проверки параметрических гипотез.
- •7.1 Проверка гипотез о среднем значении.
- •7.2 Сравнение дисперсий 2-ух совокупностей.
- •§ 8. Непараметрические гипотезы. Критерии согласия Пирсона и Колмогорова.
- •8.1 Критерий Пирсона.
- •Глава 4.
- •§ 1. Основные понятия.
- •§ 2. Элементы теории корреляции. Анализ парных связей.
- •§ 3. Оценка показателя связи по выборочным данным. Корреляционное поле.
- •§ 4. Анализ коэффициента корреляции.
- •4.1 Точечная оценка коэффициента корреляции.
- •4.2 Интервальная оценка коэффициента корреляции и проверка значимости.
- •§ 5. Регрессионный анализ. Условные средние. Выборочные уравнения регрессии.
- •§ 6. Корреляционная таблица. Выборочные линии регрессии.
- •§ 7. Линейная регрессия. Выборочный коэффициент корреляции.
- •Глава 5. Основы дисперсионного анализа.
- •§ 1. Исходные понятия.
- •§ 2. Групповое и общее среднее. Групповая, внутригрупповая, межгрупповая и общая дисперсии.
- •§ 3. Однофакторный анализ при полностью случайном плане эксперимента.
- •§ 4. Двухфакторный анализ. (При полностью случайном плане экспериментов.)
7.2 Сравнение дисперсий 2-ух совокупностей.
Пусть имеются две нормально распределенные совокупности, дисперсии которых равны ;нулевая гипотеза .
Так как дисперсии генеральных совокупностей неизвестны, проверка гипотезы осуществляется на основе сопоставления выборочных дисперсий и. Если отношение: близко к 1, нет оснований отклонять нулевую гипотезу, если значительно отличается – гипотеза отклоняется. Для решения вопроса, насколько большим должно быть отличие выборочных дисперсий, чтобы отклонение нулевой гипотезы было достаточно обоснованным, используется отношение
; ()
или
; ()
Распределение этого отношения, называющееся F–распределением Фишера – Снедекора, зависит от двух параметров – чисел степеней свободы числителя и знаменателя и, где и – объемы выборок. Числаиуказываются в фигурных скобках рядом с вычисленным значением F:
Критическая область строится в зависимости от вида альтернативной гипотезы:
Нулевая гипотеза . Альтернативная гипотеза, если ().
По заданному α и известным и по таблице распределения Фишера – Снедекора находим критическое значение. Проверка гипотезыH0 сводится к следующему правилу: если отношение выборочных дисперсий, гипотезаH0 отклоняется; если , гипотезаH0 не отклоняется.
Альтернативная гипотеза .
В этом случае строим симметричную двустороннюю критическую область с критическими точками и, определяемыми из неравенств
;
Правая критическая точка находится непосредственно по таблице критических точек распределения Фишера – Снедекора для уровня значимости и степеней свободы и.Левых критических точек таблица не содержит, но, при выбранном симметричном способе построения критической области, достигается попадание критерияF в критическую область с вероятностью, равной уровню значимости .Так как из определения уровня значимости, то выбирая , мы одновременно достигаем и.Проверка гипотезы H0 производится по тому же правилу, что и в случае односторонней критической области, но табличные значения критерия ищутся для значения , вдвое меньшего, чем заданный уровень значимости: если отношение выборочных дисперсий, нулевая гипотезаH0 отклоняется, если гипотезаH0 не отклоняется.
§ 8. Непараметрические гипотезы. Критерии согласия Пирсона и Колмогорова.
Ранее рассматривались методы проверки гипотезы относительно отдельных параметров генерального распределения.
Особое место занимают гипотезы относительно согласованности выборочного распределения с теоретическим (генеральным) распределением.
Критерии согласия позволяют ответить на вопрос о том, являются ли различия между выборочным и теоретическим распределением столь незначительным, что они могут быть приписаны влиянию случайных факторов, или нет.
Пусть закон распределения генеральной совокупности неизвестен, но есть основания предполагать, что он имеет определенный вид.
В частности:
1) Если выполняются условия центральной предельной теоремы, есть основание ожидать, что генеральное распределение - нормальное;
2) Если выборочное среднее и выборочная дисперсия равны, то можно предполагать, что генеральная совокупность распределена по закону Пуассона и т.д.
Эти утверждения носят характер гипотез и должны быть подвергнуты статистической проверке.
Для проверки гипотезы : закон распределения имеет данный вид (нормальный, равномерный, показательный), используется специально подобранная случайная величина, котораяназывается критерием согласия.
Критерий согласия есть критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения.
Имеется несколько критериев согласия:
- (хи-квадрат) Пирсона, критерий Колмогорова, Мизеса - Смирнова и др.