§6. Методика проверки гипотезы.

Существует множество различных статистических критериев для решения различных статистических задач. Однако можно описать общую схему.

Методика проверки статистических гипотез сводится к следующим этапам:

1 Этап. Формулируется основная проверяемая гипотеза ; одновременно указывается, относительно каких альтернатив должна быть произведена проверка, т.е. формулируется альтернативная гипотеза.

2 Этап. Подбирается статистический критерий – это случайная величина, вычисляемая по результатам выборки.

3 Этап. Формулируется правило проверки, определяется соответствующий объем выборки n по заданным уровню значимости и мощности критерияили из условия минимизациипри данныхи.

4 Этап. В зависимости от проверяемой гипотезы и её альтернатив выбирается односторонняя или двусторонняя проверка.

Выбор альтернативной гипотезы диктуется существом проверки.

5 Этап. По известному распределению критерия вычисляются критические точки.

6 Этап. Производится выборка и для полученной реализации выборкивычисляется наблюдаемое значение критерия. Если это значение попадает в критическую область, гипотезапризнается не соответствующей данным наблюдения и поэтому отклоняется. Еслипопадает в допустимую область, то гипотеза признается не противоречащейвыборочным данным и может быть признана правдоподобной.

Для каждого вида проверяемых гипотез разработаны соответствующие критерии. Чаще всего используется случайные величины, имеющие нормальное распределение, распределение (квадрат Пирсона),распределение Стьюдента,F- распределение Фишера - Снедекора.

Приведенная выше схема исследования предполагает, что закон распределения генеральной совокупности известен и оценке подлежат один или несколько параметров распределения.

Такие гипотезы носят название параметрические.

Наряду с подобными гипотезами приходится проводить статистические проверки и при неизвестном законе распределения генеральной совокупности. Соответствующие гипотезы называются непараметрические.

Непараметрические критерии обладают значительно меньшей мощностью, чем параметрические, т.е. для сохранения той же величины необходимо больше опытных данных.

С другой стороны, непараметрические критерии могут применяться при любом законе распределения генеральной совокупности и применимы как к количественным, так и к качественным признакам.

§ 7. Некоторые типичные задачи проверки параметрических гипотез.

Рассмотрим некоторые наиболее часто встречающиеся задачи, решающиеся с помощью проверки гипотез. Это прежде всего:

• Задачи сравнения (сравнение выборочных характеристик с нормативными характеристиками)

• Сравнение характеристик двух выборок между собой (для проверки гипотезы о принадлежности этих выборок к одной генеральной совокупности).

Типичные непараметрические задачи:

• Проверка гипотез о виде выборочного распределения;

• Проверка значимости расхождения выборочных характеристик.

7.1 Проверка гипотез о среднем значении.

а) Сравнение среднего значения с нормативным значением.

Такие задачи встречаются при проверке качества продукции, характеризуемого некоторым средним показателем:

1. среднее время работы устройства;

2. средний размер детали и т.д.

б) Сравнение средних значений двух совокупностей.

Пусть имеются две совокупности, характеризующиеся средними значениями и, дисперсиямии.

Выдвигается гипотеза, что эти средние равны , т. е

Для проверки основной гипотезы используют критерий

Так как ,при справедливости нулевой гипотезыбудем иметь.

Используя свойства дисперсии и предполагая выборки независимыми, получим:

Сделав дополнительное предположение, что дисперсии обеих совокупностей равны, т.е. получим:

.

Предположение о равенстве дисперсий нуждается в специальной проверке, о чем речь пойдет в следующем разделе.

Подставляя это выражение в формулу для критерия, получаем:

Если обе выборки достаточного большого объема, то случайная величина и случайная величинаимеют нормальное распределение, поэтому нормально будет распределен и критерий.

Заменяя неизвестную дисперсию генеральной совокупности на её несмещенную выборочную оценку.

Придем к нормально распределенному критерию:

Дальнейшая проверка ведется обычным образом с использованием таблиц функций распределения Лапласа.

Если выборки малого объема и применение нормального распределения может привести к ошибкам, для того же критерия Z используют t-распределение Стьюдента с числом степеней свобода .