- •Глава 1. Основные задачи математической статистики. Выборки и их характеристики.
- •§ 1. Предмет и задачи математической статистики.
- •§ 2. Генеральная и выборочная совокупность. Способы отбора.
- •§ 3. Статистическое распределение выборки.
- •§ 4. Полигон и гистограмма.
- •§ 5 Эмпирическая функция распределения.
- •§ 6. Числовые характеристики статистического распределения выборки.
- •§ 7. Числовые характеристики генеральной совокупности.
- •Глава 2.
- •§1 Понятие о статистических оценках параметров распределения.
- •§2. Точечные и интервальные оценки. Доверительный интервал. Точность оценки. Доверительная вероятность (надежность).
- •§3. Несмещенные, состоятельные и эффективные оценки.
- •§ 4. Точечная оценка генерального среднего по выборочной средней.
- •§ 5. Точечная оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной дисперсии.
- •§6. Метод моментов для точечной оценки параметра распределения.
- •Глава 3.
- •§1. Статистическая гипотеза. Основные понятия.
- •§2. Ошибки первого и второго рода.
- •§ 3. Статистический критерий. Критическая область. Область принятия гипотезы. Критические точки.
- •§ 4. Уровень значимости и мощность критерия.
- •§ 5. Виды критических областей.
- •§6. Методика проверки гипотезы.
- •§ 7. Некоторые типичные задачи проверки параметрических гипотез.
- •7.1 Проверка гипотез о среднем значении.
- •7.2 Сравнение дисперсий 2-ух совокупностей.
- •§ 8. Непараметрические гипотезы. Критерии согласия Пирсона и Колмогорова.
- •8.1 Критерий Пирсона.
- •Глава 4.
- •§ 1. Основные понятия.
- •§ 2. Элементы теории корреляции. Анализ парных связей.
- •§ 3. Оценка показателя связи по выборочным данным. Корреляционное поле.
- •§ 4. Анализ коэффициента корреляции.
- •4.1 Точечная оценка коэффициента корреляции.
- •4.2 Интервальная оценка коэффициента корреляции и проверка значимости.
- •§ 5. Регрессионный анализ. Условные средние. Выборочные уравнения регрессии.
- •§ 6. Корреляционная таблица. Выборочные линии регрессии.
- •§ 7. Линейная регрессия. Выборочный коэффициент корреляции.
- •Глава 5. Основы дисперсионного анализа.
- •§ 1. Исходные понятия.
- •§ 2. Групповое и общее среднее. Групповая, внутригрупповая, межгрупповая и общая дисперсии.
- •§ 3. Однофакторный анализ при полностью случайном плане эксперимента.
- •§ 4. Двухфакторный анализ. (При полностью случайном плане экспериментов.)
§ 3. Статистическое распределение выборки.
Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка и производятся наблюдения за случайной величиной (признак), причем значениенаблюдалось-раз, значениенаблюдалось-раза, – -раз и т.д.
Возможные значения случайной величины,,,…., принято называть вариантами, а последовательность вариант, записанную в порядке возрастания - вариационным рядом.
Числа,,…называют частотами.
где - относительная частота.
Перечень вариант и соответствующих им частот (или относительных частот) называется статистическим распределением выборки (или статистическим рядом). Обычно статистический ряд записывают в виде таблицы.
§ 4. Полигон и гистограмма.
Для наглядности часто используют графическое изображение статистических рядов:
для дискретного ряда – полигон;
для интервального ряда – гистограмма.
Полигон частот (относительных частот), есть ломанная, отрезки которой соединяют точки (), (),…..() или (),()….().
Гистограмма частот () есть ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной и высотами или .
Площадь всей гистограммы частот равна n (объем выборки).
Площадь всей гистограммы относительных частот равна 1.
§ 5 Эмпирическая функция распределения.
Пусть задано статистическое распределение случайной величины .
Обозначим через - число вариант, меньших .
- любое действительное число.
- объем выборки.
Относительная частота событий {Х<x}=.
При изменении меняется и относительная частота, т.е отношение является функцией отх.
Поскольку данная функция строится по данным опыта, то она называется эмпирической.
Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки F*(x)) называется относительная частота события , где- число вариант меньших x, n- объем выборки.
Теоретической функцией распределения называется функция распределения F() случайной величины, вычисленная по генеральной совокупности, т.е вероятность события.
Теорема.
При неограниченном возрастании объема выборки эмпирическая функция распределения сходится по вероятности к теоретической функции распределения.
§ 6. Числовые характеристики статистического распределения выборки.
Пусть имеется генеральная совокупность выборки объема N ,из которой сделана выборка объема n.
Статистический ряд, в котором присутствуют значения случайной величины X и относительные частоты их появления, можно рассматривать как закон распределения новой случайной величины , а исходную случайную величину –.
Очевидно, что законы распределения этих величин в какой-то мере близки, но не совпадают. Каждой числовой характеристике случайной величины соответствует её выборочный аналог- характеристика случайной величины .
При возрастании объема выборки (), числовые характеристики случайной величины(СВХ) будут сходиться по вероятности к соответствующим характеристикам .
Наиболее употребительны следующие числовые характеристики выборки:
Выборочное среднее ()-среднее арифметическое значений выборки:
;
Выборочная мода ()- наиболее вероятное значение в выборке (варианта с наибольшей частотой);
Выборочная медиана () - значение случайной величины, приходящейся на середину вариационного ряда;
а) если объем выборки четный, то ; ;
б) если объем выборки нечетный, то ; ;
В теории вероятности медиана определяется:.
4. Выборочная дисперсия - средние значение квадрата отклонения от
выборочной средней
;
5. Выборочное среднее квадратичное отклонение:
;
6. Исправленная выборочная дисперсия:
;
7. Исправленное среднее квадратичное отклонение:
;
Для интервального статистического ряда все вышеприведенные формулы сохраняются, но в качестве значений вариант берутся середины соответствующих промежутков [), [), …..[) т.е
….. .