§ 3. Статистический критерий. Критическая область. Область принятия гипотезы. Критические точки.

Для проверки гипотезы используют специально подобранную случайную величину, точное или приближенное распределение которой известно.

Случайная величина Q, служащая для проверки гипотезы называетсястатистическим критерием или просто критерием. Наблюдаемым значением называют значение критерия, вычисленное по выборке.

После выбора критерия множество всех его возможных значений разбивают на 2 непересекающихся подмножества:

• Одно из них содержит значение критерия, при котором отвергается – оно называетсякритической областью S.

• Другое содержит значение критерия, при котором гипотеза принимается –оно называется областью принятия гипотезы. (допустимая область ).

Критическими точками называют точки, определяющие критическую область от области принятия гипотезы, различают;

1. односторонние и двусторонние критические области.

Односторонние делятся на:

• правостороннюю критическую область;

• левостороннюю критическую область;

В частности, если критические точки симметричны относительно нуля, то двусторонняя область определяется по модулю |Q|>.

В общем случае критерий представляет собой многомерную случайную величину, однако, в дальнейшем будем рассматривать простейшие одномерные критерии.

Критическая и допустимая область есть одномерные числовые множества. Вид критической области зависит от вида основной и альтернативной гипотезы.

§ 4. Уровень значимости и мощность критерия.

Определение.

1. Вероятность совершить ошибку первого рода называют уровнем значимости критерия и обозначают, .

Вероятность ошибки второго рода обозначают .

2. Мощностью критерия называют вероятность попадания критерия в критическую область при условии, что справедлива альтернативная гипотеза , (т. е мощность критерия - это вероятность недопустимости ошибки второго рода.)

Обычно для используют стандартное значение:α = 0,05, α = 0,01.

Как бы ни была мала величина , попаданиев критическую область есть только маловероятное, но не абсолютно невозможное событие.

Чем меньше , тем менее вероятно допустить ошибку первого рода. С уменьшениемуменьшается критическая область.

При = 0, гипотеза- будет всегда приниматься независимо от результатов выборки. Уменьшение, влечет за собой увеличение вероятности ошибки второго рода.

Одновременное уменьшение ошибок первого и второго рода возможно лишь при увеличении объема выборки.

Обычно при проверке гипотеза задаются определенным уровнем значимости и объемом выборкиn. Критерий выбирается так, чтобы мощность критерия была максимальной.

§ 5. Виды критических областей.

Пусть проверяется гипотеза о равенстве некоторого параметра генерального распределения, например генерального среднего , и для проверки гипотезы используется критерийQ, распределения которого имеет вид :

1. Если в качестве альтернативной гипотезы выдвигается ,, то критическую область естественно определять, т.е выбратьлевостороннюю критическую область .

Задавшись уровнем значимостииз уравнения, находим левостороннюю область.

2. При альтернативной гипотезе . Критическая область определяется из уравнения, называетсяправосторонняя критическая область.

3. Если альтернативная гипотеза формулируется в виде , то строитсядвусторонняя критическая область.

Критические точки находятся из уравнения .

Чаще всего двустороннюю критическую область строят как симметричную:

.