§ 3. Однофакторный анализ при полностью случайном плане эксперимента.

Рассмотрим наиболее простой план эксперимента – полностью случайный.

При таком способе получения и анализа данных не предпринимаются никакие действия, способствующие повышению надежности заключений при том же объеме данных или уменьшению объема данных при том же уровне надежности. Исследуем вначале влияние на значение признака только одного фактора. Разобьем результаты наблюдений на p - групп (выборок), различающихся между собой уровнем фактора.

Результаты наблюдений оформим в виде таблицы:

Номер выборки (уровень фактора)	Наблюдаемые значения признака	Объем выборки	Сумма	Групповое среднее
1
….	…	….	…	…
j
….	…	…	…	…
p
	Сумма

В таблице представлены (кроме собственно значений признака) объемы выборок, суммы значений и средние значения, соответствующие данному значению признака, а также общие: число наблюдений, сумма значений и среднее значение. В соответствии с основной идеей дисперсионного анализа мы должны рассмотреть две дисперсии: первая, межгрупповая, обусловлена влиянием изучаемого фактора (дисперсия групповых средних); вторая, внутригрупповая, описывает влияние неучтенных факторов.

Для получения оценок дисперсий необходимо каждую сумму квадратов разделить на число степеней свободы ν. Обозначим через ν0 число степеней свободы, учитываемое при расчете общей дисперсии, ν1 – при расчете внутригрупповой дисперсии, ν2 – при расчете межгрупповой дисперсии.

При расчете несмещенной оценки дисперсии число степеней свободы равно N−1 , так как одна степень свободы теряется при определении среднего, т.е. =N−1. Аналогично при оценке внутригрупповых дисперсий =N−p, так как p степеней свободы теряется при вычислении p групповых средних. Наконец, при оценке межгрупповой дисперсии= p −1,так как групповые средние варьируют вокруг одного общего среднего.

Очевидно,

Используя полученные суммы квадратов и числа степеней свободы, вычислим несмещенные оценки трех дисперсий.

Группы, на которые разбита вся совокупность результатов, соответствуют различным значениям фактора, поэтому характеризует рассеяние внутри групп, (случайная вариация признака, называют также остаточной дисперсией);характеризует рассеяние групповых средних (систематическая вариация). Задачу проверки существенности влияния исследуемого фактора можно, как обсуждалось в предыдущем параграфе, представить как задачу о сравнении внутригрупповой и межгрупповой дисперсий. Если влияние фактора отсутствует, то и являются независимыми оценками дисперсии генеральной совокупности .

Если же фактор оказывает существенное влияние, то отношение:превзойдет критический предел и выборки следует считать взятыми из разных совокупностей (отличающихся уровнем воздействия фактора).

Сравнение дисперсий двух выборок производится с помощью – F-распределения Фишера – Снедекора. Выдвигается нулевая гипотеза об отсутствии влияния фактора. По выборочным данным вычисляются оценки дисперсий,и их отношение.Задавшись уровнем значимостиα, определяем по таблице критическое значение и сравниваем вычисленное значение с критическим. Если, то нет оснований отвергать нулевую гипотезувлияние фактора не существенно; если же, то нулевая гипотеза отвергается и статистически подтверждается влияние фактора.