§ 4. Двухфакторный анализ. (При полностью случайном плане экспериментов.)

Рассмотрим простейший план, позволяющий проверить не только влияние фактора отдельно, но и их взаимодействие.

Пусть необходимо выявить влияние на некоторый признак Х, двух факторов А и В. Их взаимодействие обозначим – АВ.

Модель эксперимента имеет вид:

- эффект воздействия.

Опыт проводится при фиксированных значениях фактора А и В, причем у фактора А различаются p- уровней, а у фактора В различаются q- уровней, что дает АВ= pq различных сочетаний фактора.

Для каждого сочетания опыт повторяется n- раз, тогда общее число наблюдений .Результаты наблюдений представим в виде таблицы, где - результат, полученный в эксперименте с порядковым номеромk, проведенном на i- том уровне фактора и наj-том уровне фактора .

Уровень Фактора А Уровень Фактора В
			……….
			…….
			………
			………

По данным таблицы вычислим следующие величины.

Суммы:

• общая сумма

;

• суммы по строкам таблицы (вычислены для каждого значения фактора B, изменяются вдоль столбца)

;

• суммы по столбцам таблицы (вычислены для каждого значения фактора A, изменяются вдоль строки)

;

• суммы по клеткам таблицы (вычислены для каждого сочетания факторов A и B)

;

Средние значения.

1. Общее среднее:

;

2. Среднее для каждого уровня фактора :

3. Среднее для каждого уровня фактора :

4. Среднее для каждого сочетания факторов А и В:

Отклонение отдельного измерения от общего среднегоможно представить в виде:

1-ое слагаемое зависит только от фактора А;

2-ое слагаемое зависит от фактора В;

2-ье описывает эффект взаимодействия факторов А и В;

4-ое слагаемое описывает влияние неучтенных случайных факторов.

Можно показать, что квадратов отклонений признака Х от общего среднего раскладывается на:

Число степеней свободы (ЧСС)

Общее ЧСС:

Характер вариаций	Сумма квадратов	ЧСС	Оценка дисперсии
Фактор А		p-1
Фактор В		q-1
Взаимодействие А*В		(p-1)(q-1)
Остаточная вариация		(n-1)pq
Итого		N-1	-

Для исследования влияния каждого фактора в отдельности и влияние их взаимодействия используют три случайные величины (критерий), все они распределены по закон Фишера – Снедекора.

Проверяются основные гипотезы о несущественности влияния фактора А, фактора В и их взаимодействия.

По заданному уровню значимости и известным числам степеней свободы находятся табличные (критические) значения критериев и сравниваются с наблюдаемыми значениями.

Если , то нет оснований отвергать нулевую гипотезу, таким образом, влияние фактора несущественно.

Если , основная гипотеза отвергается (влияние фактора считается статистически значимым).

.