§ 3. Оценка показателя связи по выборочным данным. Корреляционное поле.

После выбора показателя стохастической связи задача корреляционного анализа состоит в нахождении его оценки (точечной и интервальной), а также в проверке статистической гипотезы о значимом отличии его от нуля на основе экспериментальных данных.

Пусть в результате эксперимента для системы (X,Y) получена выборка значений .

При изучении корреляционной зависимости двух случайных величин (X,Y) по выборке общую картину их взаимной изменчивости можно получить, изобразив на координатной плоскости все точки. Это изображение называют корреляционным полем.

(1)

Уже по виду корреляционного поля часто можно сделать вывод о наличии и характере связи между случайными величинами Y и X. Так на рисунке (1) выборочные точки лежат внутри некоторого эллипса (эллипса рассеяния) с осями, параллельными координатным. Следовательно, с изменением, например, X величина Y не будет менять своего условного распределения, т.е. Х и Y , по-видимому, некоррелированы.

(2)

На рисунке (2) видно, что условное математическое ожидание имеет линейный характер изменения, и значит, следует ожидать, что коэффициент корреляцииблизок к единице.

(3)

На рисунке (3) расположение точек говорит о наличии нелинейного характера изменения и, следовательно, коэффициент корреляции может оказаться близким к нулю, а корреляционное отношение – близким к единице.

§ 4. Анализ коэффициента корреляции.

4.1 Точечная оценка коэффициента корреляции.

Пусть экспериментальные данные представлены в не сгруппированном виде. Тогда в качестве точечной оценки коэффициента корреляции берут его выборочное значение :

4.2 Интервальная оценка коэффициента корреляции и проверка значимости.

При построении доверительного интервала для коэффициента корреляции и проверки его значимости будем предполагать, что генеральная совокупность имеет двумерный нормальный закон распределения. В этом случае оценка коэффициента корреляции имеет асимптотически нормальный закон распределения с математическим ожиданием

и дисперсией .

Используя общий метод построения доверительного интервала, основанный на нормальном законе распределения соответствующей оценки при доверительной вероятности γ=1−α, можно получить следующие значения для нижней и верхней границ интервальной оценки:

Где:

- точечная оценка коэффициента корреляции;

-квантиль стандартного нормального распределения уровня .

Этими оценками можно пользоваться при достаточно больших объемах выборки (не менее 500). При малых объемах выборки можно использовать построение доверительного интервала для , основанное на преобразовании Р.Фишера:

или

.

Оказывается, что случайная величина уже при небольших значениях приблизительно распределена по нормальному закону с параметрами

, .

Это приводит к представлению

, .

где:

,

.

При проверке статистической гипотезы (т.е. гипотезы о том, что нормально распределенные случайные величиныX и Y независимы) используют критерий:

;

Эта случайная величина имеет распределение Стьюдента с n-2 степенями свободы. Если окажется, что

то гипотезу H0 принимают при уровне значимости α.