6. Третья теорема подобия

Новые типы бытовых машин и приборов разрабатываются по результатам, полученным на моделях и экспериментальных установках. Процессы в экспери-ментальных установках должны быть подобны тем, которые будут протекать в промышленном образце.

Две первые теоремы распространяются на явления, обладающие подобием. Третья теорема подобия М.В. Кирпичева и А.А. Гухмана (1931 г.) определяет необходимые и достаточные условия, при которых явления можно считать подобными: подобны те явления, которые описываются одной и той же системойдифференциальных уравнений и имеют подобные условия однозначности.

Требование условий однозначности при критериальном обобщении имеет тот же смысл, что и установление единственности (однозначности) аналитического решения физических дифференциальных уравнений.

Дифференциальное уравнение описывает широкий круг явлений данного класса, основой которых является общий закон физики (например, класс явлений распространения тепла). Однако такое общее уравнение не отражает индивидуальных признаков частного явления (например, прогрева ткани утюгом). Поэтому исходному уравнению удовлетворяет множество решений. Специалиста обычно интересует конкретное явление данного класса, наблюдаемое в условиях работы определенной машины или прибора. Поэтому из множества возможных решений исходного уравнения (или системы уравнений) надо выбрать одно решение, соответствующее индивидуальному явлению. Для этого в условия задачи вводят дополнительные условия однозначности (краевые условия), не содержащиеся в исходной системе уравнений и ограничивающие решение единственным конкретным случаем. Условия однозначности включают следующие необходимые данные:

1) сведения о геометрических свойствах системы (конфигурация и размеры рабочего объема аппарата);

2) данные о физических свойствах продуктов и материалов (теплопроводность, теплоемкость стенок аппарата, вязкость, плотность рабочих сред и др.);

3) данные о состоянии системы на ее границах (граничные или пространственные краевые условия) и о взаимодействии с окружающей средой (интенсивность теплообмена или массообмена, распределение температур или концентраций на поверхности и др.);

4) данные о состоянии системы в начальный и конечный моменты времени процесса (временные условия).

Исходная система физических уравнений совместно с условиями однозначности определяет конкретные явления данного класса. Решение такой системы в виде формулы не всегда может быть получено из-за чрезмерной сложности ее вывода. В этом случае прибегают к методу обобщенных переменных, т.е. к теории подобия.

Очевидно, критерии подобия следует выводить не только из основного физического уравнения процесса, но и из уравнений, составляющих условия однозначности. Результатом подобия условий однозначности будет одинаковый вид функций и совпадение значений искомого критерия для двух и ряда подобных процессов.

2. Моделирование и виды моделей

Моделированиемназывается метод изучения существующего или создаваемого объекта, при котором вместо объекта (оригинала) изучается модель (другой объект, замещающий оригинал), а результаты количественно распространяются на оригинал.

Основное назначение моделирования – предсказание поведения оригинала. Потребность в моделировании возникает тогда, когда исследование непосредственно самого объекта-оригинала невозможно, затруднительно, дорого, требует длительного времени и т.п. Моделирование позволяет освободить изучаемый процесс от побочных эффектов и исследовать его в чистом виде.

Все исследовательские модели разделяются на теоретические (идеальные) и экспериментальные (материальные).

Теоретическая модельявляется описательной и обычно состоит из математических зависимостей, связывающих параметры процесса. Важной особенностью теоретической модели является возможность ее упрощения через целый ряд допущений. Теоретические модели легко реализуются на компьютере и удобны для анализа.

Экспериментальная модельявляется физическим объектом, воплощенным в металле, приборном оснащении, исследуемом веществе и т.п. Экспериментальные модели разделяются на физические и аналоговые.

Физическая модельимеет одинаковую с изучаемым объектом природу и отличается только масштабом.

Аналоговая модельоснована на сходстве математического описания процессов различной природы и воспроизводит аналогию между законами. Классическим примером аналоговой модели является электрический колебательный контур, на котором изучают механические колебательные процессы.

Физическое моделирование процесса выполняют обычно в таком порядке:

1) описывают процесс с помощью дифференциальных уравнений и условий однозначности или на основе метода размерностей;

2) выводят критерии подобия и из них выделяют критерий, содержащий искомую величину;

3) из условия равенства единице всех индикаторов подобия выбирают константы подобия для каждой из физических величин;

4) на основе этих данных рассчитывают и изготовляют модель, рабочий объем которой геометрически подобен рабочему объему проектируемого аппарата; масштаб модели определяют с учетом размеров и производительности аппарата; обеспечивают требуемые скорости, расходы, температуры и другие параметры рабочих тел;

5) принимают меры, чтобы при проведении опытов определяющие критерии в модели изменялись в тех же пределах, что и в проектируемом образце.

В познавательных целях используют готовые модели. Экспериментальная физическая модель позволяет в натуре, а теоретическая виртуально воспроизвести процесс и исследовать взаимосвязь его параметров. На основе теоретических моделей строятся методики расчета бытовых машин и приборов.