3. Вторая теорема подобия

Вторая теорема подобия отвечает на вопрос о том, каким образом следует обрабатывать результаты экспериментов для того, чтобы их можно было обобщить и использовать для широкого круга явлений. Она была сформулирована Федерманом (1911 г.) и Букингемом (1914 г.): любая зависимость между переменными, характеризующими какое-либо явление, может быть представлена в виде зависимости между соответствующими критериями в форме уравнения подобия (критериального уравнения).

С учетом физической и математической сущности подобия и на основе широкой практики использования метода подобия в науке и технике результаты опытов принято представлять в виде степенной функции, выражающей зависимость определяемого критерия , содержащего искомую величину, от определяющих критериевK₂,K₃,…,K_n, отражающих различные стороны процесса:

.

Таким образом, чтобы получить уравнение, пригодное для расчета, необходимо установить:

1) число критериев, которые нужны для описания соответствующего процесса;

2) вид этих критериев;

3) численное значение коэффициентов.

Покажем, как решается эта задача.

На вопрос о числе критериев, необходимых для описания процесса в обобщенном виде, отвечает так называемая π- теорема: всякое уравнение, связывающее Nфизических и геометрических величин, размерность которых выражена черезnосновных единиц измерения (в СИ это килограмм, метр, секунда, ампер, кельвин, моль, кандела), может быть преобразовано в уравнение подобия, связывающее критериев, гдеπ=N-n.

Например, для определения числа критериев, необходимых для описания перепада давления ∆p[кг·м²/с] при течении жидкости в трубе от диаметра трубыd[м], ее длиныl[м], вязкостиη[кг/(м·с)], плотностиρ[кг/м³] и средней скоростиv[м/с] жидкости в трубе, применимπ- теорему.

Общее количество физических и геометрических величин N=6, в них входитn=3основных единиц системы СИ, следовательно,π=6-3=3, т.е. уравнение подобия должно содержать три критерия. Действительно, в практике моделирования гидромеханических процессов используется уравнение подобия:

,

где Eu, Re, Г– критерии Эйлера, Рейнольдса и геометрического подобия. При этом следует принять во внимание, что каждой паре одноименных первоначальных величин, существенных для рассматриваемого процесса, соответствует один критерий-симплекс. В приведенном примере этоГ=l/d.

Таким образом, критериальное уравнение, характеризующее процесс течения жидкости в трубе, будет составлено из двух критериев-комплексов и одного критерия-симплекса. Последний будет представлять собой отношение характерных линейных размеров, так как одноименными являются линейные размеры пространства, в которых протекает процесс.

Следующим этапом в получении уравнения подобия является установление вида критериев, входящих в уравнение подобия. Для этого необходимо либо располагать уравнением или системой уравнений, обычно дифференциальных, которые описывают рассматриваемое явление, либо воспользоваться теорией размерностей.

Достоинство метода подобия заключается в том, что для установления вида критериев, описывающих какой-либо процесс, нет необходимости получать решения дифференциальных уравнений, но достаточно лишь иметь их. Остановимся на примере определения критерия методом анализа дифференциального уравнения.

В систему дифференциальных уравнений, описывающих теплообмен у поверхности нагрева (Рис. 3), входят граничные условия третьего рода:

,

где λ- теплопроводность стенки,α- коэффициент теплообмена между стенкой и нагреваемой средой;∆T=T₁-T₂– общий температурный напор(разность температур нагревающего и нагреваемого теплоносителя);– градиент температуры.

Рис. 3. Теплообмен у поверхности нагрева

Два подобных случая такого теплообмена будут описываться уравнениями одного и того же вида, но с различными численными значениями входящих в уравнение параметров:

Условием подобия является выражение отношения одноименных величин соответствующими константами подобия, т.е.:

,

отсюда:

.

Заменив в уравнении все параметры соотношениями, приведенными в ряд , получим:

,

или:

Из равенства индикатора подобия в уравнении единице:

,

вытекает в полном соответствии с первой теоремой подобия (вторая формулировка), что оба рассматриваемых случая теплообмена подобны и описываются одним и тем же уравнением .

В свою очередь, заменив в индикаторе подобия коэффициенты подобия их выражениями из ряда формул , получим:

,

или:

,

где Bi– критерий Био.

Это означает, что подобные процессы имеют одинаковые значения критерия Био. Критерий Био представляет собой безразмерную (обобщенную) характеристику граничных условий третьего рода. Физический смысл критерия становится ясен, если записать его в виде:

,

т.е. критерий Био выражает соотношение между термическим сопротивлением теплопроводности стенки и термическим сопротивлением теплообмена между стенкой и окружающей средой.