2. Гидравлическое сопротивление зернистого или пористого слоя при фильтровании

Образующийся на фильтровальной перегородке осадок представляет собой пористый слой, состоящий из, множества сообщающихся между собой пор (каналов) переменного сечения и кривизны. Поскольку частицы осадка обычно мелкие, поры между ними имеют небольшие размеры, поэтому полагают, что движение жидкости в них ламинарное. В простейшем виде можно представить что слой осадка состоит из пор одинакового диаметра и длины, равной высоте слоя осадка.

Зависимость между основными величинами, характеризующими гидравлическое сопротивление зернистого слоя при фильтровании (подобном движению жидкости в трубах и каналах), можно выразить известным из гидравлики уравнением Дарси:

,

где – перепад давлений при фильтровании или гидравлическое сопротивление слоя осадка;– коэффициент сопротивления зернистого слоя;– высота слоя осадка;– плотность жидкости (фильтрата);– эквивалентный диаметр пор осадка;– скорость жидкости в порах.

При ламинарном режиме движения жидкости в порах, когда , коэффициент сопротивлениянаходится по зависимости:

,

где – постоянная величина, равная 133–200.

С учетом значения уравнение примет вид:

.

Обозначив через порозность слоя, выражают скорость движения жидкости в порахчерез скорость, отнесенную ко всему сечению слоя, соотношением:

,

откуда:

.

Значение пор определяют по формуле:

,

где – площадь сечения пор;– смоченный периметр пор.

Умножив числитель и знаменатель в выражении на , получим:

,

где – объем пор;– площадь их поверхности.

Так как объем пор в единице объема , а их поверхностьравна удельной поверхности, то из формулы получают:

.

Эквивалентный диаметр можно выразить также через размер частиц, составляющих слой. Если слой состоит из сферических частиц диаметром, то поверхность одной частицы составит, а ее объем. Тогда число частицв единице объема слоя равно отношению объема, занятого частицами, к объему одной частицы, т. е.:

,

а поверхность всех частиц:

.

Следовательно, эквивалентный диаметр пор:

.

Для несферических частиц вводят коэффициент формы , равный отношению поверхностишара того же объема, что и частица, к поверхностичастицы (). Тогда:

.

После подстановки значений ив уравнение и обозначив произведение всех постоянных величин через, получают следующую формулу Кармана:

.

Формула Кармана широко применяется для определения гидравлического сопротивления, возникающего при движении жидкости через зернистый и пористый слой.

3. Фильтрование под действием перепада давлений

Основными величинами, характеризующими процесс фильтрования, являются скорость и продолжительность фильтрования, зависящие от перепада давлений на фильтре, вязкости фильтрата и гидравлических сопротивлений при фильтровании.

Скоростью фильтрования называют объем фильтрата, полученный с единицы площадифильтра в единицу времени(вили в), т. е..

Согласно закону Дарси скорость фильтрования прямо пропорциональна перепаду давлений на фильтре и обратно пропорциональна сопротивлению слоя осадка, равному, т. е.:

,

где – сопротивление слоя осадка, отнесенное к единице его высоты.

Запишем уравнение в виде отношения перепада давлений к высотеслоя осадка:

.

Сопоставляя уравнения и , получим следующую зависимость, связывающую сопротивление слоя осадка с основными величинами, характеризующими осадок:

,

где – удельное сопротивление осадка высотой 1 м и площадью основания 1.

Тогда уравнение с учетом:

,

запишется так:

.

Общее сопротивление при фильтровании состоит из сопротивлений осадка и фильтровальной перегородки. По аналогии с сопротивлением осадка сопротивление перегородки составит . Так как в процессе фильтрования толщина слоя осадка меняется и значенияиявляются переменными, с учетом общего сопротивленияосновное уравнение для скорости фильтрования призапишем в дифференциальной форме:

,

где – элементарная удельная производительность фильтра, т. е. объем фильтрата, полученный с единицы его площади,.

Сопротивление слоя осадка рассчитывают по формуле . При этом для осадков известной структуры величину находят в справочной литературе или определяют опытным путем.

Если в уравнении выражено в,–,– в,– ви– в Па, тоивыражаются в. Тогда величинав уравнении выражается в. Толщину слоя осадка в уравнении определяют по его объему. Если на площади(в) фильтра отложился осадок слоем (в м), то его объем(в):

.

С другой стороны, если обозначить через объем осадка, приходящийся на 1фильтрата, объем осадка, соответствующий(в) фильтрата, составит:

.

Из совместного решения уравнений и находят толщину слоя осадка (в м):

.

Подставив значение в уравнение , получают:

.

С учетом значения основное уравнение фильтрования запишется в виде:

,

откуда:

.

Интегрируя это выражение в пределах от 0 до и от 0 до, находят продолжительность фильтрования(в с):

.

Решая последнее уравнение относительно , получают удельную производительность фильтра (в):

.

Скорость промывки осадка определяется по уравнению, аналогичному уравнению , т. е.:

,

где – перепад давлений при промывке, Па;– удельноеcoпpoтивление осадка при промывке:

,

где и– динамические вязкости промывных вод и фильтрата,.

Если обозначить через расход воды (в) на 1влажного осадка, объем промывных вод(в), получаемый с единицы площади фильтра,.

Продолжительность промывки (в с) при этом будет равна:

.

Из уравнения , в котором , видно, что скорость фильтрования будет выше при меньшем слое осадка на фильтровальной перегородке. Поэтому для повышения производительности фильтров необходимо стремиться к тому, чтобы слойIосадка на перегородке был небольшим и периодически или непрерывно удалялся с нее.