1. Понятие об обобщённых безразмерных величинах

В основе метода подобия лежит принцип обобщения. В результате инженерного расчета должны быть получены значения определенных величин. Однако в зависимости от того, какие параметры будут выбраны для измерения, найденные в расчетах величины могут быть как размерными, так ибезразмерными. Между ними имеется принципиальное различие.

При использовании размерных величин оперируют некоторым эталоном, с которым эта величина сравнивается (метр, килограмм и т.д.) независимо от природы изучаемого явления. При оперировании безразмерными параметрами в качестве масштаба измерения используется величина, органически связанная с природой данного явления. Так, например, движение тела в газовой среде можно охарактеризовать скоростью, выраженной в метрах в секунду, однако без дополнительных сведений о физических свойствах среды (давлении, плотности, вязкости) невозможно выяснить особенности этого движения. Если же движение тела характеризовать безразмерным числом Маха (, гдеvиv₀– соответственно скорость тела и скорость звука в данной среде), то его значение будет нести информацию о явлениях, сопровождающих движение. ПриM >1возникнет аэродинамический нагрев, появится скачок уплотнения, изменится центр давления тела.

Достоинство безразмерного параметра заключается не только в его большей информативности, но и в сокращении количества величин, участвующих в измерении и расчете. Последнее обстоятельство упрощает исследование.

Таким образом, сущность метода подобия состоит в том, что физические и геометрические величины, определяющие скорость и направленность процессов, протекающих в природе и технике, в наибольшей степени проявляют себя не каждая в отдельности, а в виде комплекса или комплексов величин, характерных для каждой группы процессов, причем таких комплексов оказывается значительно меньше, чем первоначальных величин, существенных для течения процесса.

2. Первая теорема подобия

Основу применения теории подобия составляет система теорем подобия, которые позволяют получить ответы на важнейшие вопросы практики применения этой теории:

1. Какие величины необходимо измерять в эксперименте?

2. Как обрабатывать результаты эксперимента, чтобы получить математическое описание процесса?

3. Какие явления подобны изучаемому, или, другими словами, как построить модель, подобную изучаемому объекту (воспроизвести процесс в других масштабах)?

В систему входят три теоремы подобия.

Первая теорема подобия сформулирована И.Ньютоном (1685 г.): подобные между собой явления имеют численно равные значения критериев подобия.

Критерии подобия – безразмерные параметры, бывают двух видов: критерии-комплексы, состоящие из различных физических и геометрических величин, и критерии-симплексы, состоящие из одноименных величин. Примером критерия-комплекса служит, например, число Рейнольдса:

,

где v- скорость течения жидкости;d– диаметр трубы;ρ- плотность жидкости;η- динамическая вязкость жидкости.

Пример критерия-симплекса – рассмотренное ранее число Маха.

Каждый критерий имеет определенный физический смысл и выражает меру соотношения между эффектами, существенными для описываемого процесса. Так, например, если критерий Рейнольдса записать в виде:

,

то станет очевидным, что он выражает соотношение между силами инерции и силами молекулярного трения в потоке жидкости.

Если для двух подобных потоков жидкости критерии численно равны, то:

,

откуда:

,

но отношение физических констант в сходственных точках подобных систем представляет собой соответствующие константы подобия, т.е.:

следовательно:

.

Составленный таким образом параметр из констант подобия представляет собой индикатор подобия, а его равенство единице является закономерным для подобных процессов. Поэтому равенство единице индикатора подобия рассматривается как одна из возможных формулировок первой теоремы подобия.

Метод подобия предусматривает проведение экспериментов для установления взаимосвязи между безразмерными параметрами. Следовательно, при экспериментировании необходимо измерять первоначальные величины, входящие в критерии, которыми описывается изучаемый процесс. Основные критерии, используемые при анализе гидромеханических, тепловых и диффузионных процессов, представлены в научно-технической и учебной литературе [Error: Reference source not found] [33].