15. Молекуланың жылдамдығына тәуелді функцияның (скалярлық, векторлық немесе
тензорлық)
орташа мәнін f
үлестірілу
функциясы арқылы анықтау. Мысал
келтіріңіз.
Мейлі,
молекуланың жылдамдығына тәуелді
функция болсын.
функция скалярлық, векторлық немесе
тензорлық болуы мүмкін. Осы функцияның
орташа мәнін
үлестірілу функциясы арқылы былай
анықтаймыз:
. Мысалы,
молекулалардың орташа арифметикалық
жылдамдығы (4.6) бойынша
өрнегімен
анықталады. Сонымен молекулалардың
жылдамдықтар бойынша үлестірілуін біле
отырып, жылдамдықтың функциясы болып
табылатын кез келген шаманың орташа
мәнін табуға болады.
Молекула
жылдамдығының
компоненті
және
ара-сында жататын ықтималдығы
жылдамдықтың
және
ком-поненттеріне тәуелді емес деп
болжайды. Жылдамдықтың
және
компоненттерінің мәндері
,
және
,
интер-валында жататын ықтималдығы онда
және
.
Олай болса, (4.1) өрнегі бойынша
(4.7) жылдамдық компоненттері
интервалында жататын бірлік көлемдегі
молекула санын анықтайды. Онда (4.2) –
(4.5) қатыс-тарын ескерсек, үлестірілу
функциясы төмендегі түрде жазылуы
тиіс:
=
,
(4.8)
мұндағы
–
жылдамдықтар бойынша үлестірілу
функциясы,
–
жылдамдық компоненттерінің
интер-валында
жататын ықтималдықтары.
Тепе-теңдік
тыныштық күйдегі газда жылдамдықтардың
ешқандай басым бағыттары болмайды,
сондықтан
ықтимал-дықтары барлық бағыттарда
бірдей болады. Онда
үлесті-рілу
функциясының
-ке
тәуелділігі тек
жылдамдықтың абсолюттік шамасы (модулі)
арқылы анықталуы мүмкін.
Осы айтылған шарттар төмендегі қатынасты жазуға мүмкіндік тудырады:
.
(4.9)Бұл (4.9)-ші функционалдық теңдеудің
шешуінің түрі былай жазылады:
(4.10)Онда (4.9) ескеріп, үлестірілу функциясын
анықтайтын (4.8) өрнегін мына түрде
жазамыз
(4.11)мұндағы
– еркінше алынған тұрақтылар. Осы (4.11)
өрнектегі үлестірілу функцияны үш
соқтығысу инва-рианттары (
–
молекулалық масса,
–
молекулалық импульс және
–
молекуланың кинетикалық энергиясы)
арқылы табады:
(4.12)мұндағы
–
тұрақтылар, оларды газдың сандық
тығыздығы
,орташа
жылдамдығы
және температурасының
анықтамаларын
қолданып анықтайды. Осы (4.10), (4.11), (4.12)
өрнектерін теория жүзінде алғашқы
ұсынған 1859 ж. Максвелл. Сондықтан бұл
үлестірілу функциясы соның есімімен
аталып кеткен. Сөйтіп, осы үлестірілу
функциясымен анықталатын газдың күйінмаксвеллдік
күй
деп атайды. (4.12)-ші теңдеудегі
тұрақты Максвеллдің дәлелдеуі бойынша
,
мұндағы
–
Больцман тұрақтысы,
–
температура. Сонымен (4.12)-дегі үлестірілу
функциясының анық түрін Максвелл мына
түрде ұсынған:
,
(4.13)Осы формула молекулалар жылдамдықтарының
үлестірілуі үшін анықталғанМаксвелл
функциясының
әдеттегі түрі. Максвеллдің үлес-тірілу
функциясының экспонента дәрежесінің
көрсеткіші
молекуланың орташа энергиясын сипаттайтын,
-ға
бөлінген кине-тикалық энергиясы болады.
Сөйтіп, осы анықтаудан тығыздығы, орташа
жылдамдығы және температурасы белгілі
біртекті тепе-теңдік күйдегі газдың
тек бір ғана орнықты молекулаларының
жылдамдықтарының үлестірілуі байқа-лады.
Ал одан өзгешелік үлестірулер болса,
олар өзгере, максвеллдік үлестірілуге
жақындайды екен