20. Орташа арифметикалық жылдамдық, орташа квадраттық жылдамдығық және ең ықтимал жылдамдықтарды анықтайтын өрнектерді салыстырып байланыстарын талдаңыз

Осы өрнектегі үлестірілу функциясының орнына (4.29) анықтайтын шамасын қойып,деп, оны 0 және аралығын-дағы мүмкін болатын жылдамдықтар бойынша интегралдап, орташа арифметикалық жылдамдықтың мәнін табамыз:интегралдың өрнегін қоссақ және есеп-теулер жүргізсек, онда былай шығады:,демекнемесе,мұндағы– мольдік масса, –молекула массасы, –Авогадро саны, Т–температура, R–универсал газ тұрақтысы.

(4.34)-ші теңдеу молекуланың орташа арифметикалық жылдам-дығын анықтайды.4.5-суретіндегі қисықтың үлестірілу функциясының максимал мәніне сәйкес келетін жылдамдық модулін ең ықтимал жылдамдық деп айтады. Оны деп белгілейді.молекулалардың орташа квадраттық жылдамдығы мынаған тең болады:,

демек

21. Максвеллдің формуласының өлшемсіз түрі. Салыстырмалы жылдамдық. F(u)

функцияның u жылдамдыққа тәуелділігін сипаттайтын графикті сызып, талдаңыз. Көптеген мәселелерді шешу үшін Максвеллдің үлестірілу функ-циясын анықтайтын (4.28) формуланы салыстырмалы жылдамдықтар арқылы жазу ыңғайлы. Онда молекулалар жылдамдығы салыстыр-малы жылдамдық арқылы бейнеленеді, мұндағы жылдамдықтың бірлігі ретінде молекулалардың ең ықтимал жылдамдығын алады. Сондықтансалыстырмалы жылдамдық былай анықталады:, (4.51)мұндағы – молекулалардың өзінің жылдамдығы, ал – ықтимал жылдамдығы Т температура тұрақты болғанда.Максвеллдің формуласына екі қайтарашама кіреді.Осышаманы соған теңқатынасымен алмасты-рып және (4.51) ескеріп, мына түрде жазуға болады:(4.52) Бұл теңдеусалыстырмалы жылдамдықтар үшін Максвеллдің үлестірілуі, демек Максвеллдің формуласының өлшемсіз түрін береді. (4.52)-ші қатынас – универсалды, демек жан-жақты. Осы түрде үлесті-рілу функциясы не газдың тегіне, не температураға тәуелді емес. Молекулалар жылдамдығының құраушылары үшін осыған ұқсас тең-деуді жазуға болады. Егер жылдамдықтың -компонентін алсақ, онда салыстырмалы жылдамдық мынаған тең болады:. (4.53) Онда, (4.18) бойынша молекулалар жылдамдығының құраушы-лары үшін анықталатын үлестірілу функциясының өлшемсіз түрі былай жазылады:

(4.54)

(4.10)-сурет салыстырмалы жылдамдықтар үшін үлестірілу функ-циясын бейнелейді.(4.52) және (4.54) теңдеулердің мәндерін алдын ала әр түрлі жәнемәндері үшін есептеуге болады. 4.1-кестеде осы функция-лардың мәндері келтірілген.

Мысалы, жылдамдықтары 275 м/с және 276 м/с аралығында болатын Т=300 К температурадағы азот молекулаларының үлесін табу керек.

4.10-сурет

ық

Бұл есепті шығару үшін (4.52)-ші теңдеуді пайдалану қажет. Осыдан -ді табамыз. Алдымен азот молекулаларының 300К-де ең ықтимал жылдамдығын есептейміз:

м/с.Онда салыстырмалы жылдамдығы мынаған тең болады.

, бұл өрнегі бойынша анықталады. Есептің шартында жылдамдықтар интервалы, өте аз шама, сондықтан.4.1-кестеде берілген үлестірілу функциясыныңсалыс-тырмалы жылдамдыққа сәйкес мәні

.

Осыдан

.

Сонымен молекулалардың тек -нің жылдамдықтары көрсе-тілген 275м/с және 276 м/с жылдамдықтар интервалында жатады.

Қорытындылай келе, мәселен, берілген жылдамдықтың мәнінен қайсыбір жылдамдықтар артық болатын барлық молекулалар үлесін бағалап өтейік. Мұндай есептерді шығару үшін (4.52)-ші формуланы қолдану ыңғайлы. Жылдамдықтары -дан артық болатын, демек онда белгілі-дан да артық болатын молекулалар үлесін (4.52)-ші теңдеуді

интегралдап табамыз. Интегралдау шектері берілген жылдамдық пен шексіздік аралығында жатады. Сонда молекулалар үлесінанықтайтын өрнегі мына түрде жазылады:(4.55) мұндағы,,– молекулалар саны, салыстырмалы жылдамдықтары берілген жылдамдықтан үлкен. Сонымен есептеу үшін (4.55)-гі интегралды табу қажет.Мысалы, ең ықтимал жылдамдықтан артық жылдамдықпен қозғалатын молекулалар үлесін анықтайық, демеконда, осыған сәйкес келетін (4.55) интеграл мәні 0,5724 немесе. Жылдамдықтарықозғалатын газ молекулалар саны жартысынан көп.