17.Молекулалардың жылдамдықтар модулі бойынша үлестірілуі. Максвел заңы f(||)-ның V-қа тәуелділігін сипаттайтын графикті сызып, талдаңыз.

Көлем бірлігіндегі барлық n молекула декарт координат жүйесінің басында орналасады және олардың жылд:

Молекулалардың жылд. бірлік уақыттақа дейін өзгереді. Сонда осы уақыт аралығында оларкөлемнің ішіне түседі. Оның ішінде молекулаларықтималды тығыздығымен үлестіріледі. Мына суреттегіпараллелепипедті қапсыратын екісфера беттерді сызамыз. Мұнда молекулалар жылд. ішкі радиусы, ал () сыртқы радиусы () және () сфералық қабатпен шектеседі. Бұл қабаттың көлемікөбейтіндісіне тең. Мұндағықабаттың ауданы, алқалыңдығы болады. Сонымен жылд.аралығында жататын молекулалар санын есептеп шығаруға мүмкіндік береді. Ол үшінсфералық қабаттың көлемін, соның ішіндегі молекулалар тығыздығына көбейтеміз, демек

Сөйтіп, теңдеу бойынша сфералық қабаттағы молекулалар санын есептеу үшін, өрнегі бойынша алмастырып, былай жазамыз:

Осы теңдеу жылдамдықтар бойынша молекулалардың үлестіру заңы немесе Максвелл заңы д.а.

Бұл өрнек Максвелдің үлестірілу ф-ның бір түрі болып келеді. Ол газдың бірлік көлеміндегі жылд. =S интервалындағы молекулалар үлесін анықтайды. ф-я нольден басталады. =0 max мәніне = болғанда, содан

y=

Сонымен f(||)ф-я нольге тең болады, егер

Графиктегі қисықтық үлестірілу ф-ясының max мәніне сәйкес келетін жылд. модулін ең ықтимал жылд. д.а.

Молекулалар жылд. интервалында жататын газдың көлем бірлігіндегі молекулалар үлесін f()-ныңға тәуелділік графигі бойынша табуға болады.мәні төмендегі суреттегі тілімнің ауданына тең.

Тілімнің биіктігі f(), табаныf(||) қисығымен қамтитын аудан көлем бірлігіндегі жалпы молекулалар санын анықтайды.

18. Әр түрлі температурада молекулалардың жылдамдықтар бойынша үлестірілу

функциясының f -ның жылдамдыққа тәуелділігін сипаттайтын графикті сызып,

талдаңыз. Берілген молекулалардың ішінде жылдамдықтары-ға тең, мәндеріжәнеинтервалында жататын, көлем бірлігін-дегімолекулалардың санын анықтайық. Молекулалардың жылдамдықтарының абсолюттік мәніқозғалыс бағыттарына тәуел-сіз болады.Көлем бірлігіндегі барлықмолекула декарт координаттар жүйесінің басында орналасты делік және олардың жылдамдығы. Молекулалардыңжылдамдықтары бірлік уақытта (мысалы, 1 сек),,-қа дейін өзгерді деп алайық. Онда, осы уақыт аралығында оларкөлемнің ішіне түседі (4.4 сурет). Оның ішінде молекулаларықтималдық тығыздығымен үлестіріледі. 4.4 суреттегіпараллелепипедті қапсыратын екіжәнесфера беттерді сызалық. Мұнда молекулалар жылдамдықтары ішкі радиусы, алсыртқы радиусыжәнесфералық қабатпен шектеледі. Бұл қабаттың көлемікөбейтіндісіне тең болады. Мұндағы– қабаттың ауданы, ал– қалыңдығы болады.Сонымен, жылдамдықтары жәнеаралығында жататын молекулалар санын есептеп шығаруға мүмкіндік шығады. Ол үшінсфералық қабаттың көлемін, соның ішіндегі молекулалар тығыздығына көбейтеміз, демек

.Сөйтіп, (4.27)-ші теңдеу бойынша жәнесфералық қабаттағы молекулалар санын есептеу үшін,-ні (4.13)-ші өрнегі бойынша алмастырып, былай жазамыз:немесеОсы (4.28)-ші теңдеужылдамдықтар бойынша молекулалардың үлестірілу заңы немесе Максвелл заңы деп аталады. Бұл формула газдың бірлік көлеміндегі абсолюттік жылдамдықтары жәнеаралығында жататын молекулалар санын анықтайды.

Әр түрлі температурада молекулалардың жылдамдықтар бойынша үлестірілу функциясының графигі 4.7-суретте берілген. Осы графиктен байқайтынымыз, температура өскенде молекула жылдамдығы артып, барлық қисық оң жаққа қарай, демек үлкен жылдамдықтарға қарай ығысады.

2

3

Бірақ қисығы және жылдамдықтар осімен қамтылған аудан-дар өзгермейді

нормалау шарты ((4.4) формула) бойынша, сондықтан температура өскенде қисықтың максимумы төмендейді. Соңғы нормалау шартты былай түсіндіруге болады: молекула жылдамдығының 0 менаралығында сөзсіз бір мәні болады, демек осы аралықтағы жыл-дамдықтың бір мәніне молекула ие болатындығының ықтималдығын анықтайды. Онда бұл ықтималдық нақты болатын оқиғаның ықтимал-дығы, сондықтан ол бірге тең болады.

19. Молекулалардың орташа арифметикалық жылдамдығын максвеллдің үлестірілу функциясын қолданып, табыңыз. Максвеллдік күйдегі газ үшін молекулалық жылдамдықтың кез кел-ген функциясының орташа мәнін (4.6) бойынша былай анықтайды:

Осы (4.30)-шы өрнектегі үлестірілу функциясының орнына (4.29) анықтайтын шамасын қойып, деп, оны 0 және аралығын-дағы мүмкін болатын жылдамдықтар бойынша интегралдап, орташа арифметикалық жылдамдықтың мәнін табамыз:

мұндағы , алдеп белгілесек, ондатүріне келтіріледі. Мұндай интеграл-дардың мәнін келесі есептеу ережелерін қолданып, табамыз:

а) егер - жұп сан болса, онда

; (4.31)

б) егер – тақ сан болса, онда

.(4.32) бойынша (4.33) Егер (4.31)-ге (4.33)-тегі интегралдың өрнегін қоссақ және есеп-теулер жүргізсек, онда былай шығады:,демекнемесе, (4.34) мұндағы– мольдік масса,– молекула массасы, – Авогадро саны, Т – температура, R – универсал газ тұрақтысы.

(4.34)-ші теңдеу молекуланың орташа арифметикалық жылдам-дығын анықтайды. Газдың белгілі массасындағы молекулалардың орташа арифметикалық жылдамдығы тек температураға тәуелді екен.

Орташа арифметикалық жылдамдықты жылдамдықтың ком-понентінің модулінің орташа мәнімен салыстырсақ ((4.26) өрнек), онда ол -дан екі есе кіші болады, демек . (4.35)