Методы менеджмента качества
.pdf140 ГЛАВА 10. Третья задача проектирования норм точности.
W
А , = А * +М, ± -£ , |
(10.9) |
где А, — интервал значений параметра г-го звена параметрической цепи; Af —номинальное значение параметра i-ro звена цепи; М, — ма тематическое ожидание отклонения центра группирования случайной составляющей величины А , от номинального значения Д°; W . — диа пазон рассеяния случайной составляющей величины А , с заданной вероятностью Р.
Теоретически диапазон рассеяния Wlслучайной величины, имеющей нормальный закон распределения, бесконечен. При проектировании норм точности диапазон рассеяния случайной составляющей величины
Д.ограничивают значением ±Зо., что соответствует вероятности
Р= 0,9973, достаточной для практических расчетов (рис. 10.2).
Формулы комплексирования параметров цепи вероятностным ме тодом при решении задачи проектирования норм точности объекта имеют вид:
увязывание по номинальным значениям:
A i = X c .A "; |
( 10.10) |
( = 1 |
|
увязывание по средним отклонениям: |
|
em1 = Y iCr emi; |
( 10.11) |
1=1 |
|
увязывание по допускам: |
|
г 2 = Х С^ 2- |
( 10.12) |
i=i |
|
Примечание 1. Индекс Е относится к замыкающему звену, индекс i — к составляющим звеньям параметрической цепи.
Примечание 2. Формулы (10.10—10.12) представляют самый общий слу чай: параметры цепи —линейные размеры. Для случая, когда звенья цепи — нулевые параметры (например, отклонения формы, расположения), проце дура комплексирования использует только формулы (10.10) и (10.12).
Примечание3. Обязательнымиусловиямисправедливостиформул (10.10— 10.12) являются:
♦параметры цепи объекта распределены по нормальному закону рас пределения;
♦математические ожидания М,. случайных составляющих величин Д. совпадают со средними отклонениями полей допусков е/и,., т. е. (ет(= М.);
10.3. Вероятностный метод |
141 |
♦ диапазоны рассеяния случайных составляющих величин At ИА = ±3ст( с вероятностью Р =0,9973 совпадают с величинами допусков Т, т. е. (Г. = Wj).
—1
Е-Г |
Р * |
I - 1 - |
О |
'"Ч |
1 |
|
Рис. 10.2. Геометрическая интерпретация связи диапазона рассеяния и поля
допуска случайной величины
На практике возможны следующие отклонения от вышеперечислен ных условий, приводящие к невозможности непосредственного исполь зования в расчетах формул ( 10.1010.12).
1.Законы распределения параметров составляющих и замыкающего звеньев отличаются от нормальных.
2.Законы распределения параметров составляющих и замыкающего звеньев близки к нормальному, но с явно выраженной асимметрией по отношению к соответствующим полям допусков, т. е. етп. М.;
3.Диапазоны рассеяния параметров составляющих и замыкающего звеньев W. = ±3ст. не совпадают с величинами соответствующих допус
ков Т., т. е. Г * Wr
Нарушения отмеченных выше ограничений могут привести к сущест венному снижению достоверности проектировочных расчетов в силу достаточно большого количества учитываемых параметров по всей «пирамиде» изделия (см. рис. 2.4). Погрешности расчетов могут дости гать 50 %, причем, как правило, в неблагоприятную сторону.
Рассмотрим подробнее выявленные ситуации.
Случай 1. Законы распределения параметров составляющих и замы кающего звеньев отличаются от нормальных.
Нарушение данного ограничения приводит к некорректности выра жения (10.12). Решение проблемы сводится к задаче приведения зако на распределения первичной неопределенности к нормальному.
В данном случае рационально использовать устоявшуюся междуна родную практику комплексирования неопределенностей при расчете
142 |
ГЛАВА 10. Третья задача проектирования нормточности.. |
расширенной неопределенности измерений (2.7). Известно, что для каж дого закона распределения имеют место собственные вероятностные характеристики. Руководство по выражению неопределенностей резуль татов измерений предлагает условно трансформировать закон распреде ления первичной неопределенности параметра в нормальный путем пре образования вероятностных характеристик. Это позволяет корректно представлять результат измерений в соответствии с выражением (2.7), причем суммарная стандартная неопределенность оценки результата измерения их(Л°) предполагает, что стандартные неопределенности и, влияющих параметров условно приведены к нормальному закону.
При этом следует учитывать:
1. Если об истинном распределении параметра нет никакой инфор мации, можно предположить, что его значение в диапазоне [—а\+а\ распределено по равновероятному закону (рис. 10.3.). Тогда стандарт ная неопределенность параметра в этом случае определяется как:
и, = |
(10.13) |
S |
' |
Ри с . 10.3. Законы распределения: а — равновероятный; б — Симпсона; в —
нормальный (X — среднее значение параметра, соответствующее середине поля допуска)
2. Если априорно известно, что значения параметра стремятся к сре дине диапазона [-<я;+а], но информации недостаточно, следует при нять закон распределения Симпсона (треугольный). Тогда стандартная неопределенность параметра в этом случае определяется как:
(10.14)
S'
3.Если априорно известно, что значения параметра распределены по
нормальному закону, то стандартная неопределенность параметра определяется как:
10.3. Вероятностный метод |
143 |
«,=!■ |
(Ю.15) |
Для проектировочных расчетов норм точности изделий механичес кого типа или их структурных компонентов при отсутствии данных о законах распределения влияющих параметров можно воспользовать ся рекомендациями Руководства по выражению неопределенностей результатов измерений для определения значений коэффициентов приведения закона распределения к нормальному:
действ |
|
|
к,„Риа = - ^ |
г , |
(10.16) |
I |
|
|
где м""®" — стандартная неопределенность г'-го параметра цепи, имею щего некоторый действительный закон распределения, например рав новероятный, треугольника, нормальный и т. д.; м""рм — стандартная неопределенность этого же параметра цепи при условии, что он имеет нормальный закон распределения.
Коэффициенты приведения законов распределения параметров к нор мальному приведены в табл. 10.2.
Таблица 10.2. Коэффициенты приведения характерных законов распреде ления неопределенностей параметров
144 |
ГЛАВА 10. Третья задача проектирования норм точности. |
|||
|
|
Окончание табл. 10.2 |
||
Закон распреде |
Графическое |
Стандартная |
Коэффициент |
|
неопределен |
приведения |
|||
ления |
изображение |
|||
ность и. |
гг |
|||
|
|
/ прив |
||
|
№ ) |
|
|
|
Гаусса |
N |
а |
1 ,0 |
(нормальный) |
|
||
|
|
|
|
ашА |
|
3 |
|
а* х |
|
|
Учет закона распределения в процессе комплексирования неопреде ленностей параметров цепи объекта производится корректированием формулы ( 10.12):
К = 1т1 — 1 с ^ . х , 2пр , |
(10.17) |
I прив
При априорном определении закона распределения комплексной неопределенности параметра цепи полезно использовать известные закономерности компонирования случайных величин, распределенных по тем или иным законам.
Известно, что при компонировании двух случайных величин, рас пределенных по равновероятным законам распределения, результат — случайная величина — будет распределен по закону, близкому к закону Симпсона (рис. 10.4).
При компонировании двух случайных величин, распределенных по закону Симпсона, результат — случайная величина — будет распреде лен по закону, близкому к нормальному (рис. 10.4). Следовательно, уже при наличии в параметрической цепи объекта четырех и более влияю щих неопределенностей параметров распределение результирующей неопределенности можно считать нормальным.
Таким образом, на высших уровнях иерархической структуры изде лия (см. рис. 2.4) при комплексировании полей допусков можно счи тать, что неопределенности параметров составляющих звеньев цепей распределены по нормальному закону ввиду их высокой степени ком плексности. Это характерно для проектирования норм точности на уровне изделия и функциональных устройств.
Случай 2. Законы распределения параметров составляющих и за мыкающего звеньев близки к нормальному, но с явно выраженной
10.3. Вероятностный метод |
145 |
асимметрией йо отношению к соответствующим полям допусков, т. е. ет. * М. (рис. 10.5).
Рис. 10.4. Примеры закономерностей компонирования случайных величин
Рис. 10.5. Геометрическая интерпретация асимметрии
закона распределения и поля допуска
146 ГЛАВА 10. Третья задача проектирования норм точности..
Как видно из рис. 10.5, разность a tTt = Mi -em t является абсолют ным значением. Рационально для расчетов представить эту величину в относительном виде, например, отнесенной к допуску параметра. Тогда коэффициент относительной асимметрии имеет вид:
Mi - |
ет. |
а. = |
(10.18) |
Т, |
|
Коэффициент асимметрии — величина алгебраическая (рис. 10.5). Если математическое ожидание Mi располагается правее координаты ет. (рис. 10.6, а), то асимметрия считается положительной ( а > 0), если левее (рис. 10.6, б), то асимметрия считается отрицательной (а < 0). Для случая, когда Mt = emt (рис. 10.6, в), коэффициент асим метрии а = 0 .
Рис. 10.6. Виды асимметрии законов распределения и полей допусков
Учет несовпадения средних отклонений и математических ожида ний в процессе комплексирования неопределенностей параметров цепи объекта производится корректированием формулы (10.11). Поскольку Mt - eml +a l -Ti, формула (10.11) будет иметь вид:
em s= [£ С ,• (ет,.+ а 7”,)] - ос j.-Tj., |
(10.19) |
где а ,, a L — коэффициенты относительной асимметрии законов рас пределения замыкающего и составляющих звеньев.
Примечание. В процессе проектирования значение коэффициента асим метрии можно определить, используя стандартный показатель качестватех нологического процесса — индекс пригодности процесса Ррк. Поправку а ■Т можно представить в следующем виде:
а Т = \ ~ Р р к^ |
(10.20) |
10.3. Вероятностный метод |
147 |
где О —стандартное отклонение; Ррк —индекс пригодности процесса, который учитывает центрирование экстремума кривой распределения по отношениюк серединеполядопуска. Допустимоезначение Л* на практике, как правило, известно и задается как ограничение технического процесса, обеспечивающего заданный параметр.
Если для проектировочныхрасчетов принять, что Г = 6а ,тогда выраже ние (10.20) примет вид:
( 10.21)
Случай 3 . Диапазоны рассеяния параметров составляющих и замы кающего звеньев W. = ±30; не совпадают с величинами соответству ющих допусков Г., т. е. Г ф W..
Допуски параметров конструктор определяет, находя компромисс между двумя основными факторами:
♦результаты проектирования норм точности как запланированные требования к точности параметров,
♦результаты оценки технологичности — способности технологичес кого процесса достигать запланированных требований в рамках зара нее определенных ограничений (метода, оборудования, инструмента, условий и т. д.) (см. главу 6).
Компромисс предполагает, что при принятии конструктором реше ния в отношении нормирования результатов проектирования норм точности важно соблюдать соответствие поля допуска параметра и тех нологии его формирования.
Для хорошо отлаженного, статистически управляемого, стабильного технологического процесса принято, что диапазон рассеяния параметра W. = ±3ст(. соответствует допуску Г. (рис. 10.7, а). Однако могут совер шенно обоснованно возникнуть случаи несоответствия.
1.Диапазон рассеяния параметра W. = ±3а. больше допуска Т.
(рис. 10.7, б). Это типичный случай, когда возможности технологическо го процесса не позволяют достигать запланированных требований, на пример, по причине несоответствующих оборудования, инструмента, квалификации персонала, условий и т. п. Проблема решается путем вве дения компенсаторов, селективной сборки, пригонки, регулировки, юс тировки и т. п.
2. Диапазон рассеяния параметра W. = ±3а. значительно меньше допуска Г. (рис. 10.7, в). Это типичный случай, когда возможности ус тоявшегося технологического процесса (оборудование, инструмент, условия среды и т. д.) имеют коэффициент запаса технологичности
148 |
ГЛАВА 10. Третья задача проектирования норм точности.. |
в отношении запланированных требований (допуска Г). Тенденции современных подходов к обеспечению качества продукции показыва ют, что коэффициент запаса технологичности, известный как коэф фициент воспроизводимости Срк, принимают равными 2..А, считая, что это экономически целесообразно. Общепринятый стандарт качест ва технологического процесса — Срк= 1,33 (минимум).
V I
Л |
1 \ |
ш м щ м ш |
1 |
П Т V |
|
1, И'-ТЗо, |
Г1 |
|
|
б |
в |
Рис. 10.7. Несоответствие поля допуска и диапазона рассеяния
Учет несоответствия между допуском и диапазоном рассеяния пара метра в процессе комплексирования неопределенностей параметров цепи объекта производится корректированием формулы ( 10.12).
Корректирование формулы (10.12) можно реализовать различными способами, например через стандартный показатель качества техноло гического процесса — индекс пригодности процесса Ррк:
Ррк = ^ |
( 10.22) |
В случае, показанном на рис. 10.7, а, Ррк= 1, на рис. 10.7, б — Ррк> 1, на рис. 10.7, в — РРК< 1.
С учетом индексов пригодности технологических процессов Ррк формула ( 10.12) принимает вид:
Сг Т1
(10.23)
' Р2 '
pki
Корректирование формулы (10.12) можно реализовать через так на зываемый коэффициент относительного рассеяния, численно равный
К = — . Тогда формула (10.12) принимает вид:
рк
(10.24)
К.
Резюме
Конечные формулы для комплексирования случайных неопределен ностей вероятностным методом имеют вид:
10.4. Рекомендациипоопределению коэффициентовотносительногорассеяния... 149
увязывание по номинальным значениям:
A i= £ c ,- A ? ; |
(10.25) |
1= |
|
увязывание по средним отклонениям: |
|
emz = [ZC (-(«я1.+ а 1.- 7 \) ] - а г-Г1; |
(10.26) |
увязывание по допускам: |
|
T\ = i r h |
-----I е' ^ |
(10-27> |
Z |
X прив *= |
|
10.4. Рекомендации по определению коэффициентов относительного рассеяния К и относительной асимметрии а
Коэффициенты Кг и а Едля замыкающего параметра цепи объекта можно принимать по следующим рекомендациям:
1. Коэффициент относительной асимметрии неопределенности за мыкающего параметра аЕможно принять равным нулю при выполне нии любого из следующ их условий:
♦ законы распределения неопределенностей составляющих пара метров симметричны относительно нормирующих их соответству ющих полей допусков, т. е. а(. = 0;
♦число составляющих параметров с однородными по величине до пусками и любыми законами распределения не менее пяти;
♦среди влияющих параметров цепи с любыми законами распреде ления есть два или более параметра, имеющих а ; = 0 и доминирующие допуски.
Примечание. Однородными повеличине считаютсядопуски неопределен ностей параметров цепи, различающиеся не более чем на 30 %.
2. Коэффициент относительного рассеяния неопределенности замы кающего параметра цепи можно принимать равным Кг = 1, если выпол няется условие: среди влияющих параметров цепи с любыми законами распределения есть два или более параметра, имеющих К:= 1 и доми нирующие допуски.
Если перечисленные условия не выполняются, то приближенные значения коэффициентов Kv можно вычислить по следующим фор мулам: