Методы менеджмента качества
.pdf120 ГЛАВА 9. Вторая задача проектирования норм точности.
чие первичной неопределенности иа приведет к тому, что толкатель окажется в положении у . Неопределенность положения ползуна:
ЧУш = У~Уо- |
(9.42) |
Для нахождения зависимости неопределенности положения меха низма иуиа от первичной неопределенности на рассмотрим треугольник
ВВ'С (рис. 9.6,5). Угол ZB'BC будет равен ц + ifX, так как сторона
И 2
ВВ’ перпендикулярна биссектрисе угла /.В А В '. Из треугольника ВВ'С запишем, что:
иуш— tg(P + y )-i« i. |
(9.43) |
Знак минус показывает, что направления действия первичной нео пределенности иа и приведенной неопределенности иуш противопо ложны.
Поскольку угол иу мал, то можно записать, что:
»Уш s “ tgP' = С*, ■ча, |
(9.44) |
где —tgP = Сиа — искомый коэффициент влияния первичной неопреде ленности.
Пример 4. В процессе анализа конструктивной цепи функциональ ного устройства «зубчатая передача», определяющего межосевое рас стояние Л“ между шестерней 1 и зубчатым колесом 2, идентифициро вана первичная неопределенность uz смещения левого шипа вала 3 шестерни в пределах зазора z в подшипнике 4 (рис. 9.7, а).
Задача. Геометрическим методом определить коэффициент влия ния неопределенности uz смещения левого шипа вала 3 шестерни в пре делах зазора z в подшипнике на значение межосевого расстояния Aw в зубчатой передаче.
Для номинального положения объекта имеет место номинальное (расчетное) значение межосевого расстояния Л® (выходного звена). Для реального положения объекта, наложенного на номинальный, на личие первичной неопределенности uz приведет к изменению межосе вого расстояния до значения Ак. Неопределенность межосевого рас стояния выразим как:
«4. = 4 ,- 4 2 - |
(9.45) |
В данном случае зазор z в подшипнике выбирается полностью в на правлении сил, действующих в зубчатой передаче.
9.2. Кинематические методы определения коэффициентов влияния |
121 |
Направление выбора зазора
а |
б |
Рис. 9.7. Конструктивная цепь функционального устройства
«зубчатая передача», определяющая межосевое расстояние между шестерней
и зубчатым колесом
Для нахождения зависимости неопределенности межосевого расстоя ния иАш от первичной неопределенности uz рассмотрим получившийся в результате геометрических построений треугольник (рис. 9.7, а).
Из рисунка следует, что если зазор выбирается полностью в плоскос ти валов в направлении межосевого расстояния, то:
uA =uz— —— . |
(9.46) |
A + i2 |
|
На самом же деле плоскость, в которой выбираются зазоры под дей ствием сил в зубчатом зацеплении, не совпадает с плоскостью располо жения валов (рис. 9.7, б). Угол между ними «20°, в результате форму лу (9.46) следует скорректировать:
uAu.=uz———sin 20° = С„u•z, |
(9-47) |
Ц +L, |
|
где Сш= ——— sin 20° — искомый коэффициент влияния первичной А + ^2
неопределеннрсти.
Достоинства геометрического метода. Метод прост в реализации и нагляден, не требует составления функции связи, дает возможность анализа и рационального проектирования норм точности неопределен
122 |
ГЛАВА 9. Вторая задача проектирования норм точности.. |
ностей всех типов, в том числе и нулевых параметров, что очень важно на уровне конструктивных цепей, соединений, деталей. Метод может быть эффективно использован для определения коэффициентов влия ния отдельных параметров на значение функции отклика в других ви дах деятельности, например при оценивании погрешностей измерения в метрологии, при проектировании точностных характеристик техно логических процессов.
Недостатки геометрического метода. Применение метода требует большого количества геометрических построений (по числу выявлен ных неопределенностей). Метод не всегда эффективен при проектиро вании норм точности на уровне преобразующих функциональных устройств и изделий, например зубчатая передача, передача «винт — гайка» и т. п.
9.2.4. Метод преобразования исходной схемы (метод преобразованного механизма или построения плана малых перемещений)
Метод преобразованного механизма совместно с методикой выявле ния действующих неопределенностей является элементом теории точ ности механизмов, разработанной академиком Н. Г. Бруевичем.
Метод позволяет графически, графо-аналитически или аналитичес ки находить коэффициенты влияния первичных неопределенностей по всем параметрам механизма, причем для первых двух случаев без по мощи функции связи. Метод сводится к отысканию передаточного от ношения преобразованного механизма.
Преобразованный механизм — это механизм с идеально выполнен ными звеньями, у которого ведущее звено закреплено в конкретном положении, а звено, имеющее анализируемую действующую неопреде ленность, преобразовано в ведущее. Направление движения «нового» ведущего звена совпадает с направлением анализируемой действующей неопределенности, т. е. действующая неопределенность является, по сути, входной координатой преобразованного механизма. При этом в ме ханизм необходимо ввести дополнительные кинематические пары пя того класса (вращательные или поступательные) для сохранения пер воначальной степени подвижности механизма и мгновенного закона движения. Коэффициент влияния анализируемой первичной неопре деленности, принадлежащей «новому» ведущему звену, на неопреде ленность положения ведомого звена есть не что иное, как передаточное отношение всего преобразованного механизма.
9.2. Кинематические методы определения коэффициентов влияния |
123 |
Таким образом, можно записать алгоритм построения преобразован ного механизма:
1)закрепить ведущее звено механизма;
2)преобразовать звено, имеющее анализируемую действующую не определенность, в ведущее;
3)ввести дополнительные кинематические пары для сохранения сте пени подвижности механизма и мгновенного закона движения.
В рамках данного метода рассматривают два способа определения передаточного отношения механизма:
1)графический (метод малых перемещений);
2)аналитический.
9.2.4.1.Графический способ построения и анализа преобразованного механизма
Способ основан на построении в масштабе известного из теории ме ханизмов и машин плана малых перемещений, из которого находят связь между анализируемой первичной неопределенностью параметра
ивызванной ею неопределенностью положения ведомого звена. Пример 1. Рассмотрим схему кривошипно-шатунного механизма
(рис. 9.8). В процессе проектирования норм точности механизма была идентифицирована первичная неопределенность иг длины г кривоши па 1.
Задача. Методом преобразованного механизма определить коэффи циент влияния первичной неопределенности иг на неопределенность положения иуиг рабочего элемента (точки В ползуна 3) в заданном на правлении _у.
А
Схема преобразованного механизма, построенного по приведенному выше алгоритму, представлена на рис. 9.9, а.
124 |
ГЛАВА 9. Вторая задача проектирования норм точности. |
«Новым» ведущим звеном в преобразованном механизме стал ползун 4, перемещение которого вдоль закрепленного неподвижно кривошипа 1 имитирует неопределенность иг как новую входную координату х'.
Р и с . 9.9. Кривошипно-шатунный механизм: а — схема преобразованного кривошипно-шатунного механизма; б — план малых перемещений
Построение плана малых перемещений преобразованного механизма аналогично построению планов скоростей в теории механизмов и ма шин. Для центра кинематической пары В можно записать классическое уравнение перемещения точки, участвующей в сложном движении:
Pb = Ра+аЬ, |
(9.48) |
где РЬ — результирующее перемещение точки В (вектор перемещения параллелен ОВ); Ра — поступательное перемещение точки В вместе с точкой А (вектор перемещения параллелен звену ОЛ); ab — переме щение точки В относительно точки А в относительном вращательном движении (вектор перемещения перпендикулярен звену АВ).
Для построения плана малых перемещений введем масштабный ко эффициент ц. Отложим от полюса плана Р направленный отрезок иг в виде вектора Ра с учетом масштабного коэффициента ц (геометричес кая интерпретация анализируемой первичной неопределенности) (рис. 9.9, б). Через точку а проведем линию, перпендикулярную шатуну АВ. На пересечении этой линии с направлением^ перемещения ползу на 3, проведенным через точку Р , получим точку b , а вместе с тем и от резок РЬ, который и является геометрическим аналогом неопределен ности положения рабочегозвена иуж,т. е. иут =\i-Pb . Задача сводится к определению отрезка РЬ. В результате геометрических построений треугольников APab, АРЬЬ’ (рис. 9.9, б) и тригонометрических преоб разований получим:
9-2- Кинематические методы определения коэффициентов влияния__________ 125
|
|
(9.49) |
„ |
cos(a + |3) |
„ |
где Сиг = ------- -— |
— искомым коэффициент влияния первичнои |
|
cosp
неопределенности и г.
Пример 2. Рассмотрим тот же кривошипно-шатунный механизм (рис. 9.8). В процессе проектирования норм точности механизма была идентифицирована первичная неопределенность ul длины I шатуна 2.
Задача. Методом преобразованного механизма определить коэффи циент влияния первичной неопределенности ul на неопределенность положения иуи1 рабочего элемента (точки В ползуна 3) в заданном на правлении^.
Схема преобразованного механизма, построенного по приведенному выше алгоритму, представлена на рис. 9.10, а. «Новым» ведущим зве ном в преобразованном механизме стал шатун 2, относительное посту пательное перемещение которого вдоль камня кулисы 4, закрепленно го шарнирно на неподвижном кривошипе 1,имитирует неопределенность ul параметра I как новую входную координату х.
Вданном случае по аналогии с предыдущим примером для точки
Вползуна 3 справедливо выражение (9.49).
Для построения плана малых перемещений введем масштабный ко эффициент ja.
а б
Рис. 9.10. Преобразованный кривошипно-шатунный механизм: а — схема; б —
план малых перемещений
Отложим от полюса плана Р направленный отрезок ul в виде век тора Ра с учетом масштабного коэффициента ц (геометрическая интер претация анализируемой первичной неопределенности) (рис. 9.10, б).
126 |
ГЛАВА 9. Вторая задача проектирования норм точности.. |
Через точку а плана проведем линию, перпендикулярную шатуну АВ. На пересечении этой линии с направлением у перемещения ползуна 3, проведенным через точку Р , получим точку b , а вместе с тем и отрезок
РЬ, который и является геометрическим аналогом неопределенности положения рабочего звена иуи, ,т. е. uyv, - ц • РЬ. Задача сводится к опре
делению отрезка РЬ. В результате геометрических построений тре угольника ДРаЬ (рис. 9.10, б) и тригонометрических преобразований получим выражение:
uyu,= u l— |
, |
(9.50) |
cosp |
|
|
где Сы = — —искомый коэффициент влияния первичной неопредеcosp
ленности u l.
Пример3. Рассмотрим кулачковый механизм с коромыслом (рис. 9.11). В процессе проектирования норм точности механизма была идентифи цирована первичная неопределенность мр текущего радиуса кривизны р профиля кулачка 1.
Задача. Методом преобразованного механизма определить коэффи циент влияния первичной неопределенности up текущего радиуса кри визны р на неопределенность положения и<рир рабочего элемента — ко ромысла 2.
Схема преобразованного механизма, построенного по приведенному выше алгоритму, представлена на рис. 9.12, а. «Новым» ведущим зве-
9.2. Кинематическиеметоды определения коэффициентов влияния |
127 |
ном в преобразованном механизме стал толкатель 4, поступательное перемещение которого в направлении нормали пп к профилю кулачка в данной точке имитирует неопределенность ир как новую входную координату х.
3
Рис. 9.12. Преобразованный кулачковый механизм:
а — схема; б — план малых перемещений
Для точки В коромысла 2 можно записать уравнение
Pb = Ра +аЬ, |
(9.51) |
где РЬ —результирующее перемещение точки В (вектор перемещения
перпендикулярен линии ВС); Ра —поступательное перемещение точ ки В вместе с точкой А (вектор перемещения параллелен нормали пп);
аЬ — перемещение точки В относительно точки А (вектор перемещения параллелен касательной tt в данной точке кулачка).
Для построения плана малых перемещений введем масштабный ко эффициент |i. План перемещений показан на рис. 9.14,6.
Отложим от полюса плана Р параллельно нормали пп направленный
отрезок мр в виде вектора Ра сучетом масштабного коэффициента р (гео метрическая интерпретация анализируемой первичной неопределеннос ти) (рис. 9.12, б). Через точку а проведем линию параллельно касатель ной tt, проведенной вточкеD касания кулачка 1 и роликаj?.На пересечении этой линии с линией перемещения точки В коромысла 2 во вращатель ном движении, проведенной через точку Р (перпендикулярно линии ВС), получим точку b . Отрезок РЬ является геометрическим аналогом неопределенности положения рабочего звена иф„р, т. е.:
иф„р = arctg(—— -). |
(9.52) |
128 |
ГЛАВА 9. Вторая задача проектирования нормточности.. |
Задача сводится к определению отрезка РЬ. Анализ треугольника АРаЬ (рис. 9.12, б) показывает, что строгих тригонометрических формул вывести в данном случае не представляется возможным, и как таковой коэффициент влияния Сцр получить нельзя. Однако если выбрать большой масштабный коэффициент р, то отношение
- ^ в формуле (9.52) сможет быть найдено с достаточной точно-
ВС
стью.
Достоинства метода преобразованного механизма (при использова нии только графических построений). Метод прост в реализации и на гляден, не требует составления функции связи. Метод дает возможность анализа и рационального проектирования норм точности неопределен ностей всех типов, в том числе и нулевых параметров, что очень важно на уровне конструктивных цепей, соединений, деталей.
Недостатки метода преобразованного механизма (при использовании только графических построений).
Реализация метода требует большого количества геометрических построений (для каждой первичной неопределенности свой преобра зованный механизм и свой план малых перемещений).
9.2.4.2. Аналитический способ построения и анализа преобразованного механизма
Его суть заключается в том, что для преобразованного механизма составляется функция преобразования движения, в которой входной координатой является рассматриваемая первичная неопределенность. В результате для преобразованной схемы оказывается возможным при менение дифференциального метода, рассмотренного выше, с после дующим переходом к заданной схеме и получение частного решения задачи из общего.
Пример. Рассмотрим рычажный параллелограммный механизм, ши роко применяемый в точных устройствах управления, преобразующий входную угловую координату х кривошипа 1 в выходную угловую ко ординату коромысла 3 (рис. 9.13).
В процессе проектирования норм точности механизма были иденти фицированы первичные неопределенности и/,, и/2 линейных размеров звеньев /,, /2.
Задача. Аналитическим методом преобразованного механизма опре делить коэффициенты влияния первичных неопределенностей «/,, ы/2 на соответствующие неопределенности положения и у ,иу[п рабочего элемента — коромысла 3.
9.2. Кинематическиеметоды определения коэффициентов влияния__________ 129
При равенстве противоположных пар звеньев (13 -1,, /4 = 12), харак терном для этого механизма, функция преобразования движения име ет вид у = х. Как уже отмечалось, функция такого вида не содержит конструктивных параметров объекта проектирования и поэтому для целей анализа коэффициентов влияния дифференциальным методом бесполезна.
Для нахождения неопределенности положения рабочего звена меха низма, происходящей от первичных неопределенностей и/, и и/2, вос пользуемся аналитическим методом преобразованного механизма.
Преобразуем параллелограммный механизм в шарнирный четырехзвенник, изменив длины звеньев /2 и /3 соответственно на /2' и 1'ъ таким образом, что 1[ Ф/4, /3' * /, (на рис. 9.13 показаны штриховыми линия ми). Для преобразованного таким образом механизма теперь можно составить функцию преобразования движения (отличную от у Ф х ), куда войдут все длины звеньев
Получив уравнение для суммы проекций замкнутого контура меха низма на ось к и решив его относительно выходной угловой координа ты преобразованного механизма у ' , найдем функцию преобразования движения:
/, sinx + Zj cosp-Zj'sinjy' = /4. |
(9.53) |
Эта функция включает все четыре параметра (размеры звеньев), имеющих первичные неопределенности.
Обозначим первичные неопределенности параметров м/,, м/2' , ul' и м/4 и составим дифференциал функции (9.53):