Методы менеджмента качества

110 ГЛАВА 9. Вторая задача проектирования норм точности...

величины переменные, зависящие от входной координаты х: при х = 0 они равны 0, при х* 0 они носят мультипликативный характер.

Приведенные (частные) значения неопределенностей параметров а, b, Р (с учетом коэффициентов влияния) как неопределенности положе­ ния рабочего элемента, вызванные первичными неопределенностями

Пример 2. Рассмотрим механизм шарнирного четырехзвенника (рис. 9.2):

Проектируя геометрические параметры механизма на координатные оси Ох и Оу, получим функцию преобразования движения в виде систе­ мы уравнений:

r c o s a + / c o s P - i ? c o s y =

(9.8)

г ■sin а +1 ■sin Р - R ■sin у

где г , I ,R —длины плеч кривошипа 1, шатуна 2, коромысла 3 соответст­ венно; а, у — входная и выходная координаты механизма соответственно; Р — угол наклона шатуна 2 к горизонтали, а — базовый размер механизма.

Задача. Дифференциальным методом определить коэффициенты влияния неопределенностей параметров г , 1, R.

Обозначим неопределенности всех параметров, участвующих в функ­ ции преобразования движения, как иг , uR , u l, иа, м|3, и у .

Примечание. Неопределенность параметра иа не рассматривается, так как это входная координата, априори считающаяся «идеальной» и поэтому не являющаяся объектом проектирования норм точности.

Дифференцируя выражения (9.8) в частных производных по каж­ дому параметру, после ряда преобразований получим выражение:

Из первого уравнения (9.9) выразим неопределенность wp и подста­ вим во второе уравнение системы. Затем представим комплексную не­ определенность иу через неопределенности линейных параметров и г ,

Здесь сомножители неопределенностей параметров и г , и!, uR , иа являются коэффициентами влияния данных неопределенностей:

Приведенные (частные) значения неопределенностей параметров г , I , R , а (с учетом коэффициентов влияния) как неопределенности по­

Примечание. Существует модернизированныйдифференциальный метод, который лишен указанных недостатков и ограничений. Он позволяет искус­ ственно вводить в функцию связи неопределенности нулевых параметров, как аргументы функции и, таким образом, определять по ним частные про­ изводные как коэффициенты влияния.

9.2.2. Метод относительных неопределенностей

Обязательным условием применения метода относительных нео­ пределенностей является наличие функции связи, представленной про­ изведением сомножителей в степени.

Под относительной неопределенностью параметра q понимают:

(9.19)

где <7(.и uq. —соответственно значение и абсолютная неопределенность параметра.

Для относительной неопределенности положения (5у) /перемеще­ ния (5Y) рабочего элемента изделия или его структурного компонента характерно то, что независимо от принадлежности действующих отно­ сительных неопределенностей параметров тому или иному звену их коэффициенты влияния равны +1 или -1. Таким образом, суммарная относительная неопределенность положения рабочего элемента изде­ лия или его структурного компонента равна алгебраической сумме относительных действующих радиальных неопределенностей. Для из­ делия механического типа или его структурного компонента с после­ довательным преобразованием сигнала можно утверждать, что:

(9.20)

т. е. 8у (относительная неопределенность положения рабочего элемен­ та механизма) есть полный дифференциал натурального логарифма функции связи.

Учитывая ограничение, что функция связи f(q s) представляет со­ бой произведение сомножителей в степени, прологарифмируем ее:

Полный дифференциал выражения (9.21) можно представить как:

114 ГЛАВА 9. Вторая задача проектирования норм точности.

С учетом того что дифференциал натурального логарифма выража­

Так как абсолютные значения первичных неопределенностей пара­ метров малы, дифференциалы dqsможно заменить на малые прираще­

т. е. что относительная неопределенность положения рабочего элемен­ та изделия или его структурного элемента равна алгебраической сумме относительных неопределенностей влияющих параметров, входящих в функцию связи.

Пример 1. Усилие проектируемой винтовой пружины сжатия ана­ литически выражается следующим образом:

(9.27)

8 D l-i

где G — модуль сдвига; d — диаметр проволоки; X — индекс пружины; D0 — средний диаметр пружины; i — число рабочих витков пружины.

Задача. Методом относительных неопределенностей определить ко­ эффициенты влияния неопределенностей параметров, входящих в функ­ цию связи (9.27).

Для анализа неопределенности воспроизведения пружиной усилия Р применим метод относительных неопределенностей, так как функция связи (9.27) представлена произведением сомножителей в степени.

Произведем преобразования в соответствии с выражениями (9.22) — (9.26), заменим логарифмы на относительные неопределенности:

9.2. Кинематические методы определения коэффициентов влияния__________ щ

Абсолютная неопределенность иР усилия Р получится при умноже­ нии относительной величины неопределенности на номинальное зна­ чение усилия Р.

Пример 2. Определим коэффициенты влияния неопределеннос­ тей рычажно-винтового механизма, схема которого приведена на рис. 9.1.

Задача. Методом относительных неопределенностей определить ко­ эффициенты влияния неопределенностей параметров, входящих в функ­ цию связи (9.1).

Найдем полный логарифм функции связи (9.1), взятой по модулю (знак минус указывает только на то, что направления входной и выход­

Произведем преобразования в соответствии с выражениями (9.22) —

Абсолютная неопределенность иу положения рабочего элемента^ по­ лучится при умножении относительной величины неопределенности

Примечание. Неопределенность параметра х далее не будем принимать к рассмотрению, так как это входная координата, априори считающаяся «идеальной».

Абсолютная неопределенность иу положения рабочего элемента ме­ ханизма окончательно может быть рассчитана по формуле

Примечание 1. Такой же результат был получен при использовании диф­ ференциального метода.

Примечание 2. Получающаяся в результате расчетов конечная сумма мо­ жет быть и вероятностной, хотя это и математическое нарушение.

Достоинства метода относительных неопределенностей. Метод прост в реализации, не требует дополнительных геометрических по­ строений, дает возможность анализа и рационального проектирова­ ния норм точности неопределенностей различной природы. Метод может быть эффективно использован для определения коэффициен­ тов влияния отдельных параметров на значение функции отклика в других видах деятельности, например в метрологии, при проекти­ ровании точностных характеристик технологических процессов.

Недостатки метода относительных неопределенностей. Метод мо­ жет использоваться только для изделий или их структурных компо­ нентов, у которых функция связи представляет собой произведение сомножителей в степени. Метод не позволяет анализировать неопре­ деленности нулевых параметров, в том числе нерегулярные случай­ ные, не входящие в функцию связи.

9.2.3. Геометрический метод

Геометрический метод основан на сопоставлении реального меха­ низма, имеющего рассматриваемую действующую неопределенность какого-либо параметра, с его номинальным прототипом. Сопоставле­ ние выполняется с помощью геометрических построений, откуда и на­ звание метода.

Реализация метода включает два этапа.

На первом этапе производят геометрические построения изделия или его структурного компонента (возможно, даже фрагмента), позволяю­ щие наглядно выявить первичную неопределенность анализируемого параметра и ее проявление в виде приведенной неопределенности поло­ жения рабочего элемента для одного из характерных положений объек­ та. Как правило, характерное положение объекта соответствует проме­ жуточному (между двумя крайними) положению ведущего звена. Номинальный и реальный объекты изображаются наложенными друг на друга, т. е. для одной и той же входной координаты сначала строится номинальный объект, а затем на него накладывается реальный объект с утрированно увеличенной действующей неопределенностью анализи­ руемого параметра.

На втором этапе с использованием подходов и методов тригономет­ рии получают формулы, связывающие первичную неопределенность параметра с приведенной неопределенностью положения рабочего эле­ мента. При выводе формул, связывающих неопределенность положе­ ния механизма с действующими неопределенностями, вводится ряд допущений, значительно упрощающих реализацию данного метода, например: