2.6 Графический способ исследования моментов инерции. Круги Мора

Можно показать, что формулы для моментов инерции

І_х = cоs²α + sin²α , І_у = cоs²α +sin²α., І_ху =sin2α представляют уравнение окружности в параметрической форме. Поэтому вычисление моментов инерции по полученным аналитическим формулам можно заменить графическим определением этих величин в системе координат (І_х, І_у), І_ху, построив круг, называемый кругом инерции.

В графическом способе исследования моментов инерции рассматриваются прямая и обратная задачи.

Прямая задача: известны главные центральные моменты инерции, , требуется графическим способом найти моменты инерции І_х, І_у, І_хуотносительно осей х и у, повернутых от главных осей на угол α.

В координатной системе (І_х, І_у) , І_ху (рис.2.10) построим круг на диаметре АВ, отложив в масштабе отрезки ОА=, ОВ= . В центре круга С от оси абсцисс отложим центральный угол 2α (α >0, если он откладывается против часовой стрелки), пересечение стороны этого угла с окружностью обозначим черезD_х, а диаметрально ей расположенную точку черезD_у. Проекции этих точек на ось абсцисс обозначим через К_х,, К_у.

Докажем, что отрезки ОК_х= І_х, ОК_у= І_у, К_хD_х= І_ху .

Из рис.2.10 видно, что ОК_х=ОС + СК_х, ОК_у=ОС – СК_у, ОС=ОВ+ВС,

ВС=АС=СD_х=, тогда ОС=+=,

CК_х= СD_хcos2α =∙cos2α,

ОК_х=+∙cos2α =

= .

А

В

К_х

D_у

D_х

К_у

2α

I_ху

С

О

Рис.2.10

I_х,I_у

Так как 1+cos2α =2cos²α, 1-cos2α =2sin²α., то

ОК_х =∙cos²α + ∙sin²α = І_х,

ОК_у=∙sin²α + ∙cos²α = І_у,

D_хК_х = СD_х∙sin2α =∙sin2α = І_ху

Обратная задача: известны моменты инерции относительно центральных осей

І_х, І_у, І_ху, необходимо определить главные центральные моменты инерциии положение главных центральных осей.

Отложим в масштабе по координатным осям (І_х, І_у), І_хуотрезки ОК_х= І_х, ОК_у= І_у,

К_хD_х= І_ху, К_уD_у= - І_ху (рис.2.11). На отрезкеD_ХD_Укак на диаметре построим круг и обозначим на оси абсцисс его крайние точки : крайнюю правую точкой А, крайнюю левую то Из преды-дущей задачи следует: ОА= , ОВ= Найдем значения этих величин, выразив их через отрезки круга: ОА=ОС+СА,

ОВ=ОС-ВС, СА=ВС=СD_Х=,

СК_х = СК_у=,

тогда

СА=ВС=,

ОС = ОК_у + СК_у= І_у +=.

Используя значения полученных отрезков, запишем выражения для главных центральных моментов инерции

ОА= I,

ОВ= I.

Из рис. 2.11 следует, что α₀ = -α, тогда

tgα₀=.

2.7 Радиусы и эллипс инерции

Осевые моменты инерции сечения можно представить как произведение площади сечения на квадрат некоторой величины, называемой радиусом инерции: І_х == =А,где -радиус инерции относительно оси х. Из этого выражения следует, что,. Главным центральным осям будут соответствовать главные радиусы инерции

, .

Выражение=1 представляет уравнение эллипса, полуосями которого являются главные радиусы инерции.

Эллипс, построенный на полуосях, равных главным радиусам инерции, называется эллипсом инерции.

Необходимо отметить, что при построении эллипса отрезки, равные , откладываются по оси у₀, а отрезки, равные , - по оси х₀. Поэтому эллипс инерции всегда вытянут вдоль сечения (рис.2.12), и он не может быть больше сечения, а так же заметно меньше его (рис.2.13).

Для определения момента инерции относительно произвольной оси Х необходимо провести касательную α -α к эллипсу инерции, параллельную этой оси. Перпендикуляр СК, опущенный из центра эллипса С на эту касательную будет равен радиусу инерции, т.е., і_х=СК,I_х=(СК)²А

У₀

У₀

У₀

Х

правильно

неправильно

α

Х₀

к

Х₀

Х₀

α

с

Рис.2.13