- •1. Основные понятия
- •1.2 Реальный объект и расчётная схема
- •1.3 Классификация внешних сил
- •1.4 Метод сечений
- •2. Геометрические характеристики поперечных сечений бруса
- •2.2 Геометрические характеристики простейших фигур
- •2.3 Зависимость между моментами инерции относительно
- •2.4 Главные оси и главные моменты инерции сечения
- •2.5 Зависимость между моментами инерции при повороте осей
- •2.6 Графический способ исследования моментов инерции. Круги Мора
- •2.7 Радиусы и эллипс инерции
- •3.7 Моменты инерции сложных сечений
- •3. Вычисление моментов инерции относительно центральных осей X,y
- •4.Определение главных центральных моментов инерции и положения
- •3. Центральное растяжение и сжатие
- •3.1 Напряжения при центральном растяжении, сжатии
- •3.2 Продольные и поперечные деформации при центральном
- •3.3 Испытание на растяжение. Основные механические характеристики
- •3. 4 Явление наклёпа
- •3.5 Расчёт на прочность при центральном растяжении, сжатии
- •3.6 Статически неопределимые задачи при центральном
- •3.7 Монтажные напряжения в статически неопределимых системах
- •4.Основы теории напряженного и деформированного состояния
- •4.1Основные понятия.
- •4.2 Закон парности касательных напряжений. Главные площадки, главные напряжения.
- •4.3 Виды напряженного состояния.
- •4.4 Линейное (одноосное) напряженное состояние.
- •4.5 Плоское (двухосное) напряженное состояние.
- •4.6 Графический метод исследования напряженного состояния в точке. Построение кругов Мора
- •4.6.1 Прямая задача
- •4.6.2 Обратная задача.
- •4.7 Напряжения на произвольной площадке при объемном напряженном состоянии
- •4.7.1 Круг Мора для объемного напряженного состояния.
- •4.9 Энергия изменения формы и объёма
- •5. Теории предельных напряженных состояний
- •6 Изгиб
- •6.1 Основные понятия об изгибе
- •6.2 Опорные устройства балок и их типы
- •6.3 Определение реакций
- •6.4 Внутренние усилия при изгибе
- •6.5 Дифференциальные зависимости при изгибе между q, q, m
- •6.6 Напряжения при изгибе
- •6.6.1 Нормальные напряжения при чистом изгибе
- •6.6.2 Напряжения при поперечном изгибе
- •6.7 Расчёт балок на прочность по допускаемым напряжениям
- •6.8 О рациональной форме поперечного сечения балки
- •6.9 Перемещения при изгибе.
- •6.10 Балки переменного сечения и балки равного сопротивления
- •7. Сдвиг, кручение
- •7.1 Сдвиг
- •7.1.1 Чистый сдвиг и его особенности
- •7.1.2 Зависимость между упругими характеристиками
- •7.2. Кручение
- •7.2.1 Основные понятия
- •7.2.2Связь между моментом внешних пар сил, передаваемой
- •7.2.3 Напряжения и деформации при кручении круглого вала.
- •7.2.4 Кручение брусьев некруглого поперечного сечения.
- •7.2.5Свободное кручение тонкостенных стержней открытого профиля
- •7.2.6 Свободное кручение составного открытого профиля
- •7.2.7 Кручение тонкостенного стержня с замкнутым профилем
- •8. Устойчивость сжатых стержней
- •8.1 Основные понятия
- •8.2Формула Эйлера для критической силы
- •8.3 Влияние условий закрепления стержня на величину
- •8.4 Критические напряжения. Пределы применимости формулы Эйлера
- •8.5 Расчеты на устойчивость с использованием коэффициента
- •8.6 О выборе материала и рациональной формы поперечного
- •8.7 Продольно - поперечный изгиб
4.9 Энергия изменения формы и объёма
Энергия деформации расходуется на изменение формы тела и его объёма U0 =
Выведем выражения для этих энергий, которые потребуются в дальнейшем при изучении вопросов, связанных с пластическими деформациями и предельными напряженными состоя-ниями
Если тело подвергнуть всестороннему сжатию со средним напряжением то его форма изменяться не будет, а будет меняться только объём. В этом случае
После преобразования получим (4.20)
5. Теории предельных напряженных состояний
Задачей теорий предельных напряженных состояний является оценка прочности детали при известном напряженном состоянии в её опасной точке. Эта задача решается просто при простых деформациях, в частности для одноосного напряженного состояния, так как в этом случае значения предельных (опасных) напряжений достаточно просто установить опытным путем.
Предельное (опасное) напряженное состояние наступает, когда напряжения в детали достигают значений, соответствующих началу разрушения (при хрупком состоянии материала) или появлению остаточных деформаций (в случае пластичес-кого состояния материала).Испытание образцов из данного материала при одноосном растяжении или сжатии позволяет легко установить значения опасных напряжений(σ0 ): предел прочности для хрупких и предел текучести для пластических материалов, т.е., σ0= σв, илиσ0= σт . А
условие прочности в любой точке детали при линейном напряженном состоянии примет вид
, где=,=.
Если в точках детали два или все три главных напряжений σ1, σ2, σ3 отличны от нуля, то в этих случаях, как показывают опыты, для одного и того же материала опасное состояние может наступить при различных предельных значениях главных напряжений, т.е., предельное состояние будет зависеть не только от значений главных напряжений, но и от соотношений между ними. Экспериментально установить предельные значения главных напряжений очень сложно не только из-за большого количества опытов, но и из-за технических порой непреодолимых трудностей.
Другой путь решения этой задачи заключается в выборе критериев прочности (критериев предельного напряженного состояния). В этом случае вводится гипотеза о преимущественном влиянии на прочность какого-то определенного фактора, полагая, что нарушение прочности материала при любом напряженном состоянии возможно тогда, когда этот фактор достигает своего предельного значения, величина которого может быть определена на основании простых опытов на растяжение. Такой подход позволяет сопоставить сложное напряженное состояние с линейным напряженным состоянием и установить эквивалентное (расчетное) напряжение, обеспечивающее в обеих случаях одинаковый коэффициент запаса.
Выбранные рассмотренным образом критерии прочности часто называют теориями прочности. Рассмотрим некоторые из этих теорий.
Первая теория прочности – теория наибольших нормальных напряжений была предложена в1638 году Галилео Галилеем. Согласно этой теории нарушение прочности в общем случае сложного напряженного состояния наступает, когда наибольшее нормальное напряжение достигает своего предельного значения σ0. В этом случае условие прочности будет следующим: σ1илидля материалов одинаково работающих на растяжение, сжатие; σ1рилисдля материалов неодинаково сопротивляющихся растяжению, сжатию.
Таким образом, первая теория прочности из трёх главных напряжений учитывает толь-ко одно наибольшее, считая, что два других на прочность не влияют.
Опыты показали, что эта теория дает удовлетворительные результаты только для весь-ма хрупких материалов.
Вторая теория прочности – теория наибольших линейных деформаций была предложена в1686 году Бойли Мариоттом. Согласно этой теории нарушение прочности в общем случае сложного напряженного состояния наступает, когда наибольшая линейная деформация достигает своего предельного значения ε0, которое определяется при простом растяжении, сжатии. Таким образом, разрушение наступает при. А условие прочности будет следующим:(5.1)
Так как может принимать значения равныеили, то левая часть условия прочности (5.1) может быть записана с использованием обобщенного закона Гука
или . (5.2)
При простом растяжении (5.3)
После подстановки (5.2), (5.3) в условие прочности (5.1) получим
(5.4)
(5.5)
Опытная проверка этой теории показала, что она, как и первая теория, дает удовлетворительные результаты лишь для весьма хрупких материалов.
Третья теория прочности – теория наибольших касательных напряжений была предложена в 1773 году Кулоном. В этой теории в качестве критерия прочности принята величина наибольшего касательного напряжения, а нарушение прочности в общем случае сложного напряженного состояния наступает, когда наибольшие касательные напряжения достигают своего предельного значения τ0,т.е., разрушение наступает при. Предельное значение τ0 определяется при простом растяжении.
Условие прочности - . (5.6)
Так как , а для одноосного растяжения, то из равенства (5.6) следует условие прочности по третьей теории
(5.7)
Эта теория прочности хорошо подтверждается экспериментально для материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие. Её недостатком является то, что она не учитывает влияния на прочность материала среднего по величине главного напряжения σ2
Если материал не одинаково сопротивляется растяжению, сжатию, то Мор предложил следующее условие прочности, называемое теорией Мора
, (5.8)
где для пластических,для хрупких материалов, аσТр , σТс, σвр , σвс пределы текучести и пределы прочности материала при растяжении и сжатии,
Использование этой теории затруднено, так как не для всех материалов есть данные для определения коэффициента «k».
Четвёртая теория прочности – теория октаэдрических касательных напряжений
(энергетическая теория прочности), предложенная Губертом в1904 году.
Условие прочности с указанным критерием
IY( 5 .9)
Левая часть этого выражения определяется известной формулой
(5.10)
Для правой части при одноосном растяженииσ1= σ, σ2= σ3=0, тогда
, IY (5.11)
После подстановки (5.10), (5.11) в выражение (5.9) получим формулу, определяющую условие прочности по четвертой теории предельного напряженного состояния.
σэквIV=(5.12)
Контрольные вопросы
Что называется напряженным состоянием в точке?
Сколько и какие компоненты напряжений определяют напряженное состояние в точке?
В чем заключается закон парности касательных напряжений?
Какие площадки называются главными?
Какие напряжения называются главными?
Виды напряженного состояния?
Как вычисляются напряжения на произвольных площадках, повернутых от глав- ных на угол (альфа), аналитическим способом при плоском напряжённом состоянии?
Как вычисляются напряжения на произвольных площадках, повернутых от главных на угол альфа, графическим способом при плоском напряжённом состоянии?
Как определяются главные напряжения и положение главных площадок аналитическим способом при плоском напряжённом состоянии?
Как определяются главные напряжения и положение главных площадок графическим способом при плоском напряжённом состоянии?
Обобщенный закон Гука для главных площадок при объёмном напряжённом состоянии?
Обобщенный закон Гука для произвольных площадок при объёмном напряжённом состоянии?
Условие прочности по третьей теории прочности?
Условие прочности по четвёртой теории прочности?