6.8 О рациональной форме поперечного сечения балки

Согласно полученным формулам ( 6.10), (6.13) для напряжений при поперечном изгибе нормальные напряжения , изменяясь по линейному закону, равны нулю на нейтраль-ной оси и достигают наибольшего значения на поверхности балки, а касательные напряжения равны нулю на поверхности и максимальные на нейтральной оси. Рассмотренный характер распределения напряжений позволяет сделать определенный вывод о рациональной форме сечения при изгибе. Так как в балках наиболее часто нормальные напряжения значительно больше касательных, то материал, расположенный у нейтрального слоя, нагружен очень мало. Поэтому с целью его экономии и снижения веса конструкции следует выбирать такие формы сечения, у которых большая часть материала бала бы удалена от нейтральной линии, являю-щейся осью симметрии (рис.6.24 а). Из практически используемых профилей наиболее опти-мальным для материала, одинаково сопротивляющегося растяжению, сжатию, будет двутав-ровое сечение (рис. 6.24 б), для которого толщина стенки h будет определяться величиной τ_max.

Рис.6.24

Если материал неодинаково сопротивляется растяжению, сжатию, то опти-мальной формой сечения в этом случае будет тавровое сечение. Материал сжатию сопротив-ляется обычно лучше, чем растяжению и, следовательно, допускаемое напряжение на сжатие будет больше допускаемого напряжения на растяжение ,поэтому тавр следует располагать таким образом, чтобы его волокна, наиболее удаленные от нейтрального слоя, располагались в сжатой области (6.24 в)

6.9 Перемещения при изгибе.

Дифференциальное уравнение упругой линии балки.

При изгибе ось балки искривляется, а поперечные сечения перемещаются поступательно и поворачиваются вокруг нейтральных осей, оставаясь при этом перпендикулярными к изогнутой продольной оси (рис.6.23). Деформированная ось балки называется упругой линией, а поступательные перемещения сечений, равные перемещениям у(z) их центров тяжести сечений – прогибами балки. Прогибы у(z) и углы поворота сечений θ(z) связаны между собой. Из рис.6.22 видно, что угол поворота сечения θ равен углу φ наклона касательной к упругой линии, так как это углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Согласно геометрическому смыслу первой производной у' =tgφ. Таким образом, tg θ = tgφ = у'.

В пределах упругих деформаций прогибы балок малы, а углы поворота не превышают 0,1рад, поэтому можно принять θ= у'.

Форма упругой линии балки определяется выражения кривизны(α), полученной при выводе формулы нормальных напряжений.

Рис.6.22

В тоже время кривизна плоской кривой равна.(b)Из равенства правых частей выражений (α) и(b) следует

.

Полученное уравнение называется дифференциальным уравнением упру-гой линии балки. Как отмечалось выше, при малых деформациях (у')²<<1, поэтому этой величиной можно пренебречь. В результате получим упрощенное

дифференциальное уравнение упругой линии балки .(6.14)

Выбор знака в правой части этого уравнения определяется направлением оси У, так как от этого направления зависит знак второй производной

При ЕI_х=const, М=М( z) =,.

Постоянные интегрирования C и D определяются из граничных условий.

EI

EIEI

Из граничных условий при z = 0 следует:,

Рассмотрим дифференциальное уравнение консольной балки, загруженной парой сил на свободном конце (рис.6.23).

EI.

Полученное уравнение прогибов представляет квадратичную параболу, но по выра-жению ==constбалка должна изогнуться по дуге окружности. В полученных результатах наглядно проявляется приближенный характер уравнения. Однако, в пределах длины балки ℓ указанные дуги параболы и окружности практически совпадают.

Если балка имеет несколько участков с различными аналитическими выражениями из-гибающих моментов, то дифференциальные уравнения упругой линии также будут различны. Интегрирование таких уравнений для nучастков приводит к 2n постоянных интегрирования. Для их определения к граничным условиям на опорах добавляются условия равенства проги-бов и углов поворота сечений на стыке смежных участков. Рассмотрим это на примере балки с двумя участками (рис.6.24).

Iучасток: 0:EI_x=z,

Z_II

EI_x=

EI_x=

Рис.6.24

I I участок: α EI_x=z – F(z-α),

EI_x=,

EI_x=.

Здесь интегрирование идет без раскрытия скобок, т.е., переменной интегрирования является (z – α) а не z, что скажется только на величинах С_{I I} ,D_{I I}

Граничные условия: ;

, =0,

,

.