3.7 Монтажные напряжения в статически неопределимых системах

Пусть при сборке стержневой конструкции (рис.3.9 а) стержень 2 оказывается на вели- чину δ корче необходимой длиныℓ. После монтажа стержень 1 окажется сжатым, стержень 2 – растянутым. Для определения внутренних усилий (рис.3.9б), возникших в этих стержнях

а)

после сборки, запишем уравнение равновесия: ∑М₀= -N₁b+N₂c= 0 (3.2). Из этого уравнения видно, что задача статически неопределимая. Для составления недостающего второго уравнения рассмотрим соотношение деформаций стержней после монтажа (рис. 3.9 в)

или (3.3)

Совместное решение уравнений (3.2) и (3.3) позволяет определить усилия N₁ и N₂

,

1. Температурные напряжения

При нагревании бруса его длина изменится на величину ∆ℓ_Т=αℓ∆Т. Здесьα– темпе-ратурный коэффициент линейного расширения материала, ℓ - длина бруса до нагревания, ∆Т-величина изменения температуры.

Рассмотрим задачу определения температурных напряжений в брусе, жестко закреп-

Z

лённом по торцам. Из условия равновесия

∑Z= R_А+ R_В=0 видно, что рассматриваемая задача является статически неопределимой. Из условий закрепления следует: ∆ℓ=∆ℓ_Т+∆ℓ_N=0. Здесь ℓ_Т=αℓ∆Т, ∆ℓ_N=, тогда αℓ∆Т+=0,

R_В

R_А

α∆Т=-=-,σ_t=-Е α∆Т.

Контрольные вопросы

1. Когда брус испытывает деформацию центрального растяжения, сжатия?

2. Какие внутренние усилия возникают при ц.р.с.?

3. Какие напряжения возникают при ц.р.с.? Как они определяются?

4. Что такое абсолютная деформация? Относительная деформация?

5. Как сформулировать закон Гука в деформациях? Закон Гука в напряжениях?

6. Как сформулировать закон Пуассона?

7. Что такое предел пропорциональности? Предел упругости? Предел текучести (физический)? Предел текучести условный? Предел прочности?

8. Условие прочности при ц.р.с.?

9. Как определяется жёсткость при ц.р.с.?

10. Что называется допускаемым напряжением и как оно определяется?

11. Какие системы называются статически неопределимыми?

12. Какие уравнения используются при раскрытии статической неопределимости?

4.Основы теории напряженного и деформированного состояния

4.1Основные понятия.

На различно ориентированных площадках, проходящих через одну и ту же точку, будут отличаться и по величине и по направлению.

Совокупность напряжений по всем площадкам, проходящим через данную точку, называется .напряженным состоянием в точке тела

И

y

x

z

A

Рис. 4.1

сследуя напряженное состояние тела в некоторой точке А, в ее окрестности выделяют элемент в виде бесконечно малого параллелепипеда с ребрамиdx,dy,dz.

Так как все грани параллелепипеда бесконечно малы и в пределе проходят через точку А, то напряжения на соответствующих секущих плоскостях – это напряжения в исследуемой точке. Такой подход возможен на основании гипотезы сплошной среды.

О

Индекс нормального напряжения соответствует оси, перпендикулярно которой расположена площадка. Первый индекс касательного напряжения обозначает нормаль к площадке , на которой оно действует, второй соответствует оси, параллельно которой направлено это напряжение.

Нормальные растягивающие напряжения прини-маются положительными, нормальные сжимающие –отрицательными.

Касательные напряжения считаются положительными, если нормаль к площадке поворачивается до совмещения с вектором напряжения по часовой стрелке (рис. 4.3).

Рис. 4.2

бозначим полные напряжения, действующие на гранях параллелепипедаP_x,P_y,P_z(рис. 4.1). Здесь индексы показывают нормаль к площадке, на которой действует напряжение. Эти полные напряжения раскладываются на три составляющие в направлении координатных осей: одно по нормали к площадке и два в ее плоскости (рис. 4. 2).

Рис. 4.3

Согласно методу сечения, выделенный элемент под действием рассматриваемых напряжений будет находиться в равновесии. Вследствие достаточно малой длины ребер элемента напряжения на параллельных гранях можно считать равными, но противоположно

направленными. Поэтому напряженное состояние в точке может быть задано девятью компонентами по трем взаимно перпендикулярным площадкам