7.2. Кручение

7.2.1 Основные понятия

Будем рассматривать прямой брус постоянного сечения. Такой брус испытывает кручение, если он нагружен парами сил, плоскость действия которых перпендикулярна его оси.

Брус, испытывающий деформацию кручения, называется валом.

Если вал находится в состоянии покоя или рав-номерного вращения, то выполняется условие равновесия ∑М_і= 0.

Внутренние усилия в любом попереч-ном сечении, приводятся к паре сил, действую-щей в плоскости, перпендикулярной оси бру-са, так как все внешние пары сил так же перпендикулярны этой оси (рис.7.5). эта внутреннее усилие называется крутя-щим моментом и определяется методом сечений Рассечём вал (рис.7.1) плоскостью и рассмотрим равновесия каждой его части.

пара сил называется крутящим мо-ментом (М_к)и определяется мето-дом сечений. Рассечём вал (рис.7.5) плоскостью и рассмотрим равнове-сия каждой его части.

Равновесие левой части (рис.7.5, α): _,

b)

Рис. 7.5

а)

Равновесие правой части (рис.7.5, b): _,

Из полученных выражений следует, что крутящий момент в любом сечении равен сумме моментов внешних пар сил, расположенных по одну сторону от сечения. При этом принимаются следующие правила знаков: если смотреть на сечение со стороны внешней нормали то крутящий момент принимается положительным, если он направлен против хода часовой стрелки, и отрицательным, если направлен по ходу часовой стрелки.

Эпюра крутящих моментов М_к– это график изменения его величины вдоль оси вала (рис.7.6).

Рис.7.6

7.2.2Связь между моментом внешних пар сил, передаваемой

мощностью и числом оборотов вала

Обычно известны передаваемая мощность N и число оборотов вала n.

Мощность - это работа внешних сил за единицу времени :. При кручении вала работа определяется произведением величины внешнего момента М на угол поворота φ, т.е.,,, но-угловая скорость, следовательно,N= Мω .Угловая скорость определится по формуле, с учётом которой момент определится из выражения

М= . (7.4).

Здесь N– передаваемая валом мощность,n– число оборотов вала в минуту, М – внешний момент на валу.

7.2.3 Напряжения и деформации при кручении круглого вала.

Расчет на прочность и жёсткость

Рассмотрим брус круглого сечения, нагруженный парами сил в плоскости торцевого сечения (рис.7.7). В поперечных сечениях этого бруса возникает постоянный крутящий.момент

мя сечениями в процессе деформации кручения не изменяется (ε_z = 0);

3) поперечные сечения в своей плоскости не деформируются, т.е., радиусы не искривляются и не изменяют своей длины, они лишь поворачиваются как жесткие диски (ε_х=0, ε_у=0).

На основании этих допущений σ_х =σ_у =σ_z =τ_ху =0, поэтому в поперечных сечениях будут действовать только касательные напряженияτ_zx иτ_zу, следовательно, при кручении брус испытывает деформацию чистого сдвига.

Двумя поперечными сечениями выделим из вала элемент длиной dz, а из него затем выделим элементарное кольцо с радиусамиρиρ + dρ(рис. 7.8). Будем считать левое торцевое сечение неподвижным, тогда правое торцевое сечение кольца повернется под действием крутящего момента относительно левого на уголdφ. Образующая цилиндра АВ при этом повернётся на уголγ и займет положение. С одной стороны дуга^/=ρdφ, с другой - В^/В^/=γdz, следовательно,

. (7.6)

Угол γ – это угол сдвига цилиндрической поверхности, а величинаΘ называется относительным углом закручивания (аналогично).

Рис. 7.8

По закону Гука для сдвига τ=Gγ, тогда

,

откуда следует

(7.7)

Подставляя (7.7) в уравнение (7.5), получим

Так как , тоУчитывая, чтополучим

,(а),.

Из последнего выражения следует формула угла закручивания

(7.8)

Если крутящий момент М_ки жесткость вала GІ_ρпо его длине не изменяются, то

τ _max

(7.9)

Вернёмся к выражению (7.7). Используя уравнение(а),получим формулу касательных напряжений при кручении круглого вала

=(7.10)

Согласно этой формуле касательные напряжения в поперечном сечении вала распределяются вдоль радиуса по линейному закону, достигая наибольшей величины в точке наиболее удаленной от оси бруса (рис.7.9).

Согласно (7.10): или.

Введя обозначение(момент сопротивления сечения при кручении), получим

.

Для круглого сечения

Материал вала возле оси недогружен, поэтому применяют пустотелые валы. При равных площадях поперечных сечений и одинаковом крутящем моменте в пустотелом вале напряжения будут меньше, а при равных напряжениях в пустотелом вале крутящий момент будет больше.

Для такого вала ,

где D- наружный диаметр,d– внутренний диаметр вала,,

.

Расчёт на прочностькруглого вала может выполняться по двум методам: по допус-каемым напряжениям и по допускаемым нагрузкам. В данном разделе рассмотрим первый метод- метод допускаемых напряжений, так как он наиболее часто используется на практике.

П

Рис.7.10

редельное состо-яние в опасной точке, расположенной на повер-хности вала (рис.7.10) достигается в сечении с наибольшим крутящим моментом. В этой точке будет напряжённое сос-тояние чистого сдвига, т.е. по граням элементарного параллелепипеда действу-ют только касательные напряжения (рис.7.11). В этом случае

У

Рис.7.11

словие пластичности по энергетической теории предельного напряжённого

состояния определяется выражением

.

Для рассматриваемого случая оно примет вид =.

Для безопасной работы вала должно выполняться условие ,т.е.

, где .

Таким образом, условие прочности при кручении круглого вала запишется формулой:

. (7.11)

Из него следуют формулы для назначения размеров поперечного сечения вала и определения грузоподъёмности:

,(7.12)

Условие жесткости . (7.13)

Произведение GI_ρ называется жесткостью при кручении.І_ρ– полярный момент инерции, G – модуль упругости при сдвиге.

Если вал имеет несколько участков, то угол закручивания φна всей его длине найдется как сумма углов закручивания на всех участкахφ_i :

φ =∑ φ_i =∑ (7.14)

Пример: подобрать размеры круглого и кольцевого сечения вала, передающего мощ-ность 80 кВт при числе оборотовn=600об/мин, если, α =. Сравнить массы валов с указанными сечениями.

М_к=,.

Для круглого сечения : , тогда,

площадь сечения А = .

Для кольцевого сечения: , ,

, площадь сечения А=.

Массы валов будут пропорциональны площадям поперечных сечений , т.е., полый вал будет почти в два раза легче сплошного вала.