4.7.1 Круг Мора для объемного напряженного состояния.

Рассмотрим графический метод анализа напряженного состояния в точке при объемном напряженном состоянии.

Прежде всего определим напряжения на площадках, параллельных одному из главных напряжений (рис. 4.12)

s₁

s₂

s₃

а) б) в)

Рис.4.12

На площадках, параллельных s₁, (рис. 4.12, а), напряжения зависят только отs₂иs₃и не зависят отs₁, т. к. , тогда согласно (4.18)

Рис. 4.13.

Круг Мора, соответствующий этому случаю, представлен на рис. 4.13 кругом «а».

Напряжения в семействе площадок, параллельных s₂, определяются по кругу «б», а в семействе площадок, параллельныхs₃– с помощью круга «в».

В теории упругости доказывается, что площадкам общего положения соответствуют точки, лежащие в заштрихованной области (рис. 4.13).

Из представленного рисунка следует, что наименьшее и наибольшее нормальные напряжения равны наименьшему и наибольшему главным напряжениям , .

Наибольшие касательные напряжения равны радиусу наибольшего круга

и действуют по площадке, равнонаклонённой к площадкам максимального и минимального из главных напряжений ().

2. Деформации при объемном напряженном состоянии.

Обобщенный закон Гука

Рассматривая вопросы прочности при объемном и плоском напряженных состояниях, необходимо в соответствии с основными гипотезами считать, что материал изотропный, следует закону Гука, а деформации малы.

Изучая центральное растяжение, сжатие, было установлено, что относительные продольная и поперечная деформации определяются выражениями

, (4.12)

Эти равенства выражают закон Гука при простом растяжении или сжатии, т.е. при линейном напряженном состоянии (рис. 4.14).

Рассмотрим зависимость между напряжениями и деформациями в случае объемного напряженного состояния.

П

Рис.4.14

рименяя принцип суперпозиции, объемное напряженное состояние изобразим как сумму трех линейных напряженных состояний (рис. 4.15). В этом случае деформацию по направлению первого главного напряженияs₁можно записать ,где , , - относительные удлинения в

направлении s₁, вызванные соответственно действием только

Рис. 4.15

напряжениями s₁,s₂,s₃.

Поскольку является для напряженияs₁продольной деформацией, а , - поперечными деформациями, то из формул (4.12) следует:

, , . (4.13)

Складывая эти величины, получим .

Аналогично получаются выражения для двух других главных удлинений. В результате

(4.14)

.

Эти формулы носят название обобщенного закона Гука для изотропного тела, т. е. определяют зависимость между линейными деформациями и главными напряжениями в общем случае объемного напряженного состояния. Из этих формул легко получить закон Гука для плоского напряженного состояния. Например, :

Выражения (4.14) справедливы не только для главных деформаций, но и для относительных деформаций по любым трем взаимно перпендикулярным направлениям.

При выводе аналитического выражения обобщенного закона Гука в этом случае будем

исходить из условия, что угловые деформации не зависят от нормальных напряжения, а ли-нейные деформации не зависят от касательных напряжений. В этом случае относительное удлинение по направлению оси хбудет обусловлено напряжением σ_х и равно. Напряжениямв этом направлении будут соответствовать удлиненияи.По аналогии получим такие же выражения дляи.

Таким образом,

(4.15)

.

Угловые деформации определяются соответствующими касательными напряжениями

(4.16)

Совокупность деформаций, возникающих по различным направлениям и в различных плоскостях, проходящих через данную точку, называетсядеформированным состоянием в точке.

Наряду с линейной и угловой деформацией в сопротивлении материалов приходится рассматривать иногда и объёмную деформацию, т.е., относительное изменение объема в точке. Линейные размеры ребер элементарного параллелепипеда в результате деформации меняются и становятся равными. Абсолютное приращение объёма определится разностью

-.

Раскрывая скобки и пренебрегая произведениями линейных деформаций, как величинами второго порядка малости, получим .

Относительное изменение объёма обозначается буквой е и определится из отношения

е.

Заменив деформации их выражениями по закону Гука, получим

e(4.17)

Это соотношение на ряду с формулами (4.14)-(4.16) относится к обобщенному закону Гука.

4.8 Потенциальная энергия деформации

в общем случае напряженного состояния

Потенциальная энергия, накопленная в элементарном объёме, определяется суммой работ сил, распределённых по поверхности этого объёма (рис.4.16). Нормальная силана грани перпендикулярной осихсовершит работу на перемещении, равную, где- относительная линейная деформация вдоль осих, вызванная всеми действующими силами.

Аналогичные работы совершат и остальные нормальные силы, действующие по граням перпендикулярным осям уи х:,.

Касательная сила dxdzна площадке перпендикулярной осиyсовершит работу на перемещении, равную. Аналогичные выражения работ дают и касатель-

альной энергией и будет равна

Используя выражения закона Гука для деформаций (4.15), (4.16), окончательно полу-чим (4.18)

Для главных напряжений . (4.19)