8.4 Критические напряжения. Пределы применимости формулы Эйлера

С учетом величины F_кркритические напряжения определятся выражением

. Так как , то

Выражение называется гибкостью стержня, тогда.

Формула Эйлера была выведена с использованием дифференциального уравнения изогнутой оси балки, которое справедливо в пределах упругих деформаций, поэтому критические напряжения не могут превышать предела пропорциональности, т.е.

.

Из этого равенства определится гибкость стержня, соответствующая пределу пропорциональности

(8.4).

Таким образом, формула Эйлера для определения критической силы может быть использована для стержней большой гибкости, когда .

Критические напряжения в стержнях средней гибкости при определяются по формуле Ясинского. Здесьλ₀ - предельное значение гибкости стержня, при которой потеря устойчивости не наблюдается. Величиныα,β, λ₀, иλ_пред являются параметрами, зависящими от механических свойств материала. Например, для ст. 2, у которой,,λ₀ =62, α=264 МПа,β=0,7 МПа. Стержни малой гибкости не теряют устойчивости(λ₀ ≥λ), они разрушаются при достижении напряжениями предельных величин.

Полный график критических напряжений представлен на рисунке

σ_кр

λ

σ_тс

λ₀

λ_пред

σ_пц

8.5 Расчеты на устойчивость с использованием коэффициента

снижения допускаемого напряжения

В расчётах на устойчивость необходимо рассмотреть два условия. Условие прочности

при сжатии (α) и условие устойчивости(b). Здесь- напряжение предельного состояния. Если разделим равенство (b) на (α), то получим. Введём обозначение,

полученный коэффициент называется коэффициентом снижения допускаемых напряжений. Теперь условие устойчивости примет вид. Коэффициентзависит от гибкости стержня и от материала, а его значения приводятся в виде таблиц или графиков.

Существует два вида расчёта на устойчивость- проверочный и проектировочный.

Проверочный расчёт :

-известны форма сечения и его размеры, определяются площадь сечения А, момент инерции I_min, радиус инерции, гибкость стержня λ;

-по таблицам находится ;

-вычисляется допускаемое напряжение ;

-сравнивается напряжение в стержне с допускаемым .

Проектировочный расчёт.

Известны форма сечения и действующая нагрузка, требуется определить размеры поперечного сечения.

Из условия устойчивости записывается выражение для площади поперечного сечения, в котором неизвестны две величины – А_бруттои. Задача в этом случае задача решается методом последовательных приближений, в каждом из которых выбирается новое значение.

В первой попытке наиболее часто принимают , определяется, вычисляютсяи, по таблице находится фактическое значение. Еслизначительно отличается от, то и напряжение σ будет значительно отличаться от допускаемого. Тогда во второй попытке принимается. В рассмотренном ранее порядке вновь находится фактическое значениеЕсли отличие от рабочего напряжения от допускаемого больше 3…5%, то выполняется третья попытка.

Обычно требуется не более двух-трёх попыток.