6.4 Внутренние усилия при изгибе

Рассмотрим в условиях статического равновесия балку, нагруженную сосредоточенной силой F, распределенной нагрузкой с интенсивностью q=q(z) и парой силm (рис.6.7 а). Применяя метод сечений, разделим брус мысленно на две части (рис. 6.7 в). Для того чтобы каждая из частей находилась в равновесии, в сечении необходимо приложить поперечную силу Q и изгибающий момент М (рис.6.7 с). Эти силовые факторы определяются из уравнений равновесия одной из частей бруса по следующим правилам:поперечная сила Qв каком либо

Рис.6.7

сечении балки равна сумме проекций всех внешних сил, расположенных по одну сторону от сечения, на направление перпендикулярное оси балки; изгибающий момент Мв каком либо сечении балки равен сумме моментов всех внешних сил, расположенных по одну сторону от сечения относительно центра тяжести этого сечения.

Правила знаков при определении поперечной силы:поперечная сила Q считается положительной, если внешняя сила стремится повернуть рассматриваемую часть балки отно-сительно сечения по часовой стрелке, если внешняя сила стремится повернуть рассматрива-емую часть балки против часовой стрелки, то Q принимается отрицательной. Эти правила знаков можно представить схемой (рис.6.8)

Правила знаков при определении изгибающего момента: если внешние силы изги-бают балку выпуклостью вниз, то изгибающий момент считается положительным, если выпуклостью вверх - отрицательным (рис. 5.9).

6.5 Дифференциальные зависимости при изгибе между q, q, m

Вырежем из балки на участке с распределенной нагрузкой (рис.6.10 а) элемент длиной dz , по торцам которого будут действовать внутренние усилия (рис.6.10 б). В силу малости

У

Z

dz

q=q(z)

q·dz

Q_(z)+ dQ_(z)

участка dz интенсивность распределенной нагрузки на нем можно принять постоянной, тогда её равнодействующая будет равняться q·dz. Рассмотрим равновесие этого элемента

∑У = 0, Q_(z)+ q·dz –Q_(z)- dQ_(z)=0, из этого уравнения следует, что, т.е., производная от поперечной силы Q по длине балки z равна интенсивности распределенной нагрузки q.

В качестве второго уравнения равновесия рассмотрим сумму моментов всех сил относительно правого торца: - M_(z)- Q_(z)·dz - q·dz·+ M_(z) + dM_(z)=0, так как q·dz·величина второго порядка малости, то ею можно пренебречь, тогда, т.е., производная от изгибающего момента по длине балки z равна поперечной силе Q_(z).

Полученные соотношения выведены при направлении оси Z слева направо (в правой системе координат). При противоположном её направлении правые части полученных дифференциальных зависимостей изменят знак:,.

Рассмотренные дифференциальные зависимости используются для контроля эпюр Q и М

1. Если на участке балки Q>0, то момент на этом участке возрастает, если Q<0, то момент убывает, если Q=0, то М= const.

2. Если эпюра Q плавно меняет знак

(рис. 6.11), то момент в этом сечении принимает экстремальное значение. При смене знака с плюса на минус он будет максимальным, при смене знака с минуса на плюс - минимальным.

Рис. 6.11

3. В сечении балки, где имеется сосредоточенная сила, на эпюре Q будет скачок, равный по величине этой силе, а на эпюре М излом (рис.6.12).

4. В сечении балки, где имеется сосредоточенный момент, на эпюре моментов будет скачок, равный по величине этому моменту (рис.6.13).

F

М

Q

5. На участке с распределенной нагрузкой эпюра моментов описывается параболой с выпуклостью на встречу нагрузке (рис.6.14).

6. Эпюры изгибающих моментов, согласно принятым правилам знаков, всегда строятся на сжатых волокнах.

Рис.6.14

6. Эпюры изгибающих моментов, согласно принятым правилам знаков, всегда строятся на сжатых волокнах.