- •1. Основные понятия
- •1.2 Реальный объект и расчётная схема
- •1.3 Классификация внешних сил
- •1.4 Метод сечений
- •2. Геометрические характеристики поперечных сечений бруса
- •2.2 Геометрические характеристики простейших фигур
- •2.3 Зависимость между моментами инерции относительно
- •2.4 Главные оси и главные моменты инерции сечения
- •2.5 Зависимость между моментами инерции при повороте осей
- •2.6 Графический способ исследования моментов инерции. Круги Мора
- •2.7 Радиусы и эллипс инерции
- •3.7 Моменты инерции сложных сечений
- •3. Вычисление моментов инерции относительно центральных осей X,y
- •4.Определение главных центральных моментов инерции и положения
- •3. Центральное растяжение и сжатие
- •3.1 Напряжения при центральном растяжении, сжатии
- •3.2 Продольные и поперечные деформации при центральном
- •3.3 Испытание на растяжение. Основные механические характеристики
- •3. 4 Явление наклёпа
- •3.5 Расчёт на прочность при центральном растяжении, сжатии
- •3.6 Статически неопределимые задачи при центральном
- •3.7 Монтажные напряжения в статически неопределимых системах
- •4.Основы теории напряженного и деформированного состояния
- •4.1Основные понятия.
- •4.2 Закон парности касательных напряжений. Главные площадки, главные напряжения.
- •4.3 Виды напряженного состояния.
- •4.4 Линейное (одноосное) напряженное состояние.
- •4.5 Плоское (двухосное) напряженное состояние.
- •4.6 Графический метод исследования напряженного состояния в точке. Построение кругов Мора
- •4.6.1 Прямая задача
- •4.6.2 Обратная задача.
- •4.7 Напряжения на произвольной площадке при объемном напряженном состоянии
- •4.7.1 Круг Мора для объемного напряженного состояния.
- •4.9 Энергия изменения формы и объёма
- •5. Теории предельных напряженных состояний
- •6 Изгиб
- •6.1 Основные понятия об изгибе
- •6.2 Опорные устройства балок и их типы
- •6.3 Определение реакций
- •6.4 Внутренние усилия при изгибе
- •6.5 Дифференциальные зависимости при изгибе между q, q, m
- •6.6 Напряжения при изгибе
- •6.6.1 Нормальные напряжения при чистом изгибе
- •6.6.2 Напряжения при поперечном изгибе
- •6.7 Расчёт балок на прочность по допускаемым напряжениям
- •6.8 О рациональной форме поперечного сечения балки
- •6.9 Перемещения при изгибе.
- •6.10 Балки переменного сечения и балки равного сопротивления
- •7. Сдвиг, кручение
- •7.1 Сдвиг
- •7.1.1 Чистый сдвиг и его особенности
- •7.1.2 Зависимость между упругими характеристиками
- •7.2. Кручение
- •7.2.1 Основные понятия
- •7.2.2Связь между моментом внешних пар сил, передаваемой
- •7.2.3 Напряжения и деформации при кручении круглого вала.
- •7.2.4 Кручение брусьев некруглого поперечного сечения.
- •7.2.5Свободное кручение тонкостенных стержней открытого профиля
- •7.2.6 Свободное кручение составного открытого профиля
- •7.2.7 Кручение тонкостенного стержня с замкнутым профилем
- •8. Устойчивость сжатых стержней
- •8.1 Основные понятия
- •8.2Формула Эйлера для критической силы
- •8.3 Влияние условий закрепления стержня на величину
- •8.4 Критические напряжения. Пределы применимости формулы Эйлера
- •8.5 Расчеты на устойчивость с использованием коэффициента
- •8.6 О выборе материала и рациональной формы поперечного
- •8.7 Продольно - поперечный изгиб
2.3 Зависимость между моментами инерции относительно
x1
Для произвольного сечения, представленного на рис. 2.6, проведем центральные осиx,y, относительно которыхSх = Sу = 0, а затем параллельные им оси Х1, У1. Координаты центра тяжести в этих осях обозначим черези b, тогда координаты элементарной площадки dA будут х1=,у1=.
Рассмотрим осевой момент инерции относительно оси Х1:
Рис.2.6
= ++ dA.
Так как dA=Sх= 0, dA=, dA = А , то= + А,
Аналогично ═+А.
Таким образом, осевые моменты инерции относительно произвольных осей, параллельных центральным, находятся как сумма моментов инерции относительно центральных осей и произведения площади сечения на квадрат расстояния между осями, центробежный момент инерции – как сумма центробежного момента инерции относительно центральных осей и произведения площади сечения на расстояния между осями.
2.4 Главные оси и главные моменты инерции сечения
Рассмотрим некоторое сечение в координатной системе x,y, а затем в координатной системеx1,y1, поверну-той относительно исходной на 900(рис.2.7). Из рисунка следует:
х1 = у, у1 = - х. Тогда=х1у1dA ═ -хуdA ═ -Іху .
Таким образом, при повороте осей на 90 0центробежный момент инерции меняет знак, следовательно, есть такое положение осей, в которых центробежный момент инерции равен нулю. Такие оси называются главными. Главные оси, проходящие через центр тяжести сечения, называются главными центральными осями инерции сечения.
Моменты инерции относительно главных центральных осей называются главными центральными моментами инерции и обозначаются,, причем>.
Если сечение имеет ось симметрии (ось yна рис.2.8), то эта ось всегда будет главной осью инерции сечения. Действительно, для любой элементарной площадки в окрестности точки 1 в силу симметрии найдется такая же площадка в окрестности точки 2. При этом А1=А2,у1=у2, х1= -х2,, тогда=+.
Таким образом, ось у является главной осью, так как центробежный момент инерции относительно её равен нулю.
2.5 Зависимость между моментами инерции при повороте осей
Пусть задана система координат главных центральных осейx0,y0, для которой известны моменты инерции, центробежный момент инерции в этих осях равен нулю (рис.2.9). Вычислим моменты инерции этого сечения относительно новых осейx,y, повернутых по отношению к главным на угол α - угол между осями x0иx. Он будет положительным, если поворот от осиx0к оси x происходит против часовой стрелки и отрицательным - если по часовой стрелке.
Из рис. 2.9 следует:
=,
y=
С учетом этих формул запишем выражения для моментов инерции рассматриваемого сечения в координатных осях x,y:
Iх ==(у0 cоsα - х0sinα)2 dA =уcоs2αdA–
-2х 0у0cоsα·sinα dA+sin2α dA,
т.е. = cоs2α - 2 Іх 0у0 cоsα· sinα + sin2α.
Іу==(х0csα + у0sinα)2 dA =хcоs2α dA++2х 0у0cоsα·sinα dA+уsinαdA=
= cоs2α + 2 Іх 0у0 cоsα ·sinα +sin2α.
Іху= = =
==
= cos2α·cоsα ·sinα +cоsα∙sinα -sin2α.
Так как , cоsα ∙sinα =, то окончательно получим
.
Складывая выражения Іх и Іу, получим
.
Таким образом, при повороте координатных осей сумма осевых моментов инерции не изменяется.