- •1. Основные понятия
- •1.2 Реальный объект и расчётная схема
- •1.3 Классификация внешних сил
- •1.4 Метод сечений
- •2. Геометрические характеристики поперечных сечений бруса
- •2.2 Геометрические характеристики простейших фигур
- •2.3 Зависимость между моментами инерции относительно
- •2.4 Главные оси и главные моменты инерции сечения
- •2.5 Зависимость между моментами инерции при повороте осей
- •2.6 Графический способ исследования моментов инерции. Круги Мора
- •2.7 Радиусы и эллипс инерции
- •3.7 Моменты инерции сложных сечений
- •3. Вычисление моментов инерции относительно центральных осей X,y
- •4.Определение главных центральных моментов инерции и положения
- •3. Центральное растяжение и сжатие
- •3.1 Напряжения при центральном растяжении, сжатии
- •3.2 Продольные и поперечные деформации при центральном
- •3.3 Испытание на растяжение. Основные механические характеристики
- •3. 4 Явление наклёпа
- •3.5 Расчёт на прочность при центральном растяжении, сжатии
- •3.6 Статически неопределимые задачи при центральном
- •3.7 Монтажные напряжения в статически неопределимых системах
- •4.Основы теории напряженного и деформированного состояния
- •4.1Основные понятия.
- •4.2 Закон парности касательных напряжений. Главные площадки, главные напряжения.
- •4.3 Виды напряженного состояния.
- •4.4 Линейное (одноосное) напряженное состояние.
- •4.5 Плоское (двухосное) напряженное состояние.
- •4.6 Графический метод исследования напряженного состояния в точке. Построение кругов Мора
- •4.6.1 Прямая задача
- •4.6.2 Обратная задача.
- •4.7 Напряжения на произвольной площадке при объемном напряженном состоянии
- •4.7.1 Круг Мора для объемного напряженного состояния.
- •4.9 Энергия изменения формы и объёма
- •5. Теории предельных напряженных состояний
- •6 Изгиб
- •6.1 Основные понятия об изгибе
- •6.2 Опорные устройства балок и их типы
- •6.3 Определение реакций
- •6.4 Внутренние усилия при изгибе
- •6.5 Дифференциальные зависимости при изгибе между q, q, m
- •6.6 Напряжения при изгибе
- •6.6.1 Нормальные напряжения при чистом изгибе
- •6.6.2 Напряжения при поперечном изгибе
- •6.7 Расчёт балок на прочность по допускаемым напряжениям
- •6.8 О рациональной форме поперечного сечения балки
- •6.9 Перемещения при изгибе.
- •6.10 Балки переменного сечения и балки равного сопротивления
- •7. Сдвиг, кручение
- •7.1 Сдвиг
- •7.1.1 Чистый сдвиг и его особенности
- •7.1.2 Зависимость между упругими характеристиками
- •7.2. Кручение
- •7.2.1 Основные понятия
- •7.2.2Связь между моментом внешних пар сил, передаваемой
- •7.2.3 Напряжения и деформации при кручении круглого вала.
- •7.2.4 Кручение брусьев некруглого поперечного сечения.
- •7.2.5Свободное кручение тонкостенных стержней открытого профиля
- •7.2.6 Свободное кручение составного открытого профиля
- •7.2.7 Кручение тонкостенного стержня с замкнутым профилем
- •8. Устойчивость сжатых стержней
- •8.1 Основные понятия
- •8.2Формула Эйлера для критической силы
- •8.3 Влияние условий закрепления стержня на величину
- •8.4 Критические напряжения. Пределы применимости формулы Эйлера
- •8.5 Расчеты на устойчивость с использованием коэффициента
- •8.6 О выборе материала и рациональной формы поперечного
- •8.7 Продольно - поперечный изгиб
4.6.2 Обратная задача.
Довольно часто приходится решать обратную задачу, т. е. по напряжениям на произвольных площадках sa,ta,sb,tbопределять величину и направление главных напряжений. Проще эта задача решается графически, т. е. с помощью круга Мора (рис. 4.10). Рассмотрим порядок его построения.
Прямоугольную систему координат s,tвыберем так, чтобы ось абсцисс была параллельна большему из нормальных напряжений (пустьsa>sb). На осиsотложим в выбранном масштабе отрезки ОКa, ОКb, численно равныеsaиsb. Из точек Кaи Кbпроведем перпендикуляры КaDa, КbDb, которые численно равны соответственноta и τβ (КaDa=ta,КbDb=τβ = - ta). На отрезкеDaDb, как на диаметре, построим круг с центром в точке С. Крайнюю правую точку пересечения круга с осьюsобозначим буквой А, крайнюю левую – буквой В. Касательные напряжения в этих точках равны нулю, следовательно, ОА=s1, ОВ=s2– главные напряжения (.в соответствии с прямой задачей).
t s2
Da
sb
s2
ta
sa 0 B Kb C Ka A s
a0 a0
s1 tb
s2
Db D¢a
sb
s1
sa
s1
Рис. 4.10
параллельна большему из нормальных напряжений (пусть sa>sb). На осиsотложим в выбранном масштабе отрезки ОКa, ОКb, численно равныеsaиsb. Из точек Кaи Кbпроведем перпендикуляры КaDa, КbDb, которые численно равны соответственноta и τβ (КaDa=ta,КbDb=τβ = - ta). На отрезкеDaDb, как на диаметре, построим круг с центром в точке С. Крайнюю правую точку пересечения круга с осьюsобозначим буквой А, крайнюю левую – буквой В. Касательные напряжения в этих точках равны нулю, следовательно, ОА=s1, ОВ=s2– главные напряжения (.в соответствии с прямой задачей).
Из рис.6.10 определим радиус круга R и величину отрезка ОС (4.12)
(4.13)
Cучетом выражений (4.12) , (4.13) получим следующие формулы для главных напряжений
ОА= σI = ОС + R =+(4.14)
ОВ = σII= ОС – R =-(4.15)
Или (4.16)
Для определения направления главного напряжения s1проведем луч через крайнюю левую точку круга В и точкуDa¢, которая симметрична точкеDaотносительно осиs. Направление луча ВDa¢совпадает с направлениемs1, направлениеs2перпендикулярно ему. Уголa0определится из треугольника ВКaDa¢(рис. 6.10):
(4.17)
Угол a0считается положительным, если его откладывают от осиsпротив часовой стрелки.
4.7 Напряжения на произвольной площадке при объемном напряженном состоянии
Вэлементарном параллелепипеде, по граням которого действуют все три главных напряжения, рассмотрим произвольную площадкуa, нормаль к которой составляет с координатными осями 1,2,3 углыα1α2α3.(рис. 4. 11). На этой площадке будет действовать полное напряжениерα,составляющее с нормальюnуголα. Определим его проекции на нормаль к площадке -σα и на саму площадку –τα.
Н
Рис.4.11
где- напряжение на рассматриваемой площадке, вызванное действием ,а,- соответственно от напряженийи.Для вычисления этих величин воспользуемся формулой для линейного напряжённого состояния:=,=,=.
С учетом этих значений нормальные напряжения на произвольной площадке определятся равенством
(4.18 )
Для вывода формулы касательных напряжений ταследует рассмотреть его векторную величину. Так как , то .
Опуская выводы, которые следуют из уравнений равновесия рассматриваемой трёх- гранной пирамиды (рис. 3.11), запишем формулу в окончательном виде для вектора полного напряжения на площадке nα :
.
С учётом этого выражения
(4.19)
В качестве примера рассмотрим напряжения на площадке, равнонаклонённой ко всем главным площадкам. Такая площадка называется октаэдрической, а напряжения, действующие на этой площадке, называются октаэдрическими.
Так как для такой площадки , а учитывая, что всегда
, то . Следовательно (4.20)
(4.21)
Так же, как и в случае плоского напряженного состояния, при объемном напряженном состоянии сумма нормальных напряжений по трем взаимно перпендикулярным площадкам, проходящим через рассматриваемую точку, есть величина постоянная.