7.2.5Свободное кручение тонкостенных стержней открытого профиля

Характерной геометрической особенностью тонкостенных стержней является то, что их толщина существенно меньше прочих линейных размеров. Они разделяются на замкнутые и открытые.

Характер распределения напряжений в поперечном сечении тонкостенного стержня проще всего устанавливается при помощи плёночной аналогии.

Р

Рис. 7.14

ассмотрим расчётные формулы для открытого профиля (рис.7.14). На основе плёночной аналогии было установлено, что напряжения в стержне сильно не изменятся, ели профиль сечения распрямить. Из этого следует, что напряжения в криволинейном открытом профиле будут примерно такими же, как и в прямом. Следовательно, в этом случае можно использовать расчётные формулы для прямоугольного сечения с большим отношением сторон. При отношении, тогда получим

,(7.17)

. (7.18) ЗдесьS-длина контура поперечного сечения (бòльшая сторона прямоугольника);

-толщина профиля ( меньшая сторона прямоугольника).

Полученные расчётные формулы являются общими и не зависят от формы профиля, если он может быть развёрнут в прямоугольник.

7.2.6 Свободное кручение составного открытого профиля

Если тонкостенный открытый профиль является составным (рис. 7.15), то поступают следующим образом: крутящий момент в сечении рассматривают как сумму моментов, действующих на отдельных участках; угол поворотаотдельных участков равен углу поворота всего сечения, т.е.,. В этом случае согласно формулам (7.17 ), (7.18)

,

. (7.19)

При помощи плёночной аналогии установлено, что максимальные касательные напря-жения возникают на участке с максимальной толщиной. Для этого участка, которому пропишем номерi, также справедливы формулы (7.18), (7.19):

; ,

где - доля крутящего момента, соответствующегоi- ому участку;- угловое перемеще-ние, единое для всех участков. Исключая из этих выражений, находим

,

учитывая выражение (7.20), получим

(7.20)

7.2.7 Кручение тонкостенного стержня с замкнутым профилем

Рассмотрим кручение стержня с поперечным сечением в форме тонкостенного замкнутого профиля (рис.7.16). В этом стержне, в отличие от открытого профиля, напряжения по толщине стенки распределяютя равномерно. Выделим из этого стержня элементарный объём длиной dz, расстояние между точками 1 и 2 которого произвольное. Пусть толщина контура в точке 1 будет δ₁, а в точке 2 – δ₂. Обозначим соответственно через τ₁и τ₂напряжения в поперечном сечении. В продольных сечениях будут действовать парные напряжения.

Рис. 7.16

Составим для рассматриваемого элемента уравнение равновесия, спроектировав все силы на направление оси стержня

.

Из полученного равенства следует, что τδ = const, так как точки 1 и 2 взяты произвольно. Таким образом, произведение τδ по длине замкнутого контура является величиной постоянной. На участках с меньшей толщиной напряжения будут соответственно бòльшими.

Выразим крутящий момент через напряжения τ. Для этого возьмём на контуре элементарную дугу длиной ds(рис. 7.17). Момент силы τ·δ·dsотносительно произвольной точки О равен τδds|ОА|. Тогда

М_к = ∫.

Так как τδ по длине дуги не изменяется, то получим

М_к= τδ ∫.

Выражение представляет собой удвоенную площадь треугольника ОВС, а интеграл от этого произведения по длине замкнутого контура даёт удвоенную площадь, ограниченную средней линией контура. Обозначим эту площадь через F^*. Таким образом,

М_к= τδ2F^*.

наибольшее напряжение

.

Для определения углового перемещения φ рассмотрим соотношение потенциальной энергии , выраженной через напряжения τ и выраженной через внешний момент М. Удельная потенциальная энергия при сдвиге определяется выражением

.

Энергия, накопленная в элементарном объёме с размерами ds,z, δ равна

dU = .

Это выражение необходимо проинтегрировать по длине стержня и по дуге замкнутого контура

U= .

Последний интеграл зависит от закона изменения толщины по дуге контура и является геометрической характеристикой сечения. Учитывая, что

τδ =

Получим

U = .

Теперь эту же энергию найдём как работу внешнего момента М на угловом перемещении φ:

U= .

Из равенства этих двух выражений находим

.

Если толщина δ по дуге контура не меняется, то

где s- длина замкнутого контура.

Для рассмотренного тонкостенного замкнутого профиля вводятся геометрические параметры W_k,I_k, которые согласно полученным формулам для вычислений напряжений углов поворотов определятся выражениями:

.

Теперь формулы для вычислений напряжений углов поворотов примут вид:

Контрольные вопросы

1. Когда брус испытывает кручение?

2. Что называется валом?

3. Какие внутренние усилия действуют в поперечном сечении вала? Как они

определяются?

4. Какие напряжения действуют в поперечном сечении вала?

5. Как определяются максимальные напряжения в поперечном сечении вала?

5. Условие прочности при кручении вала ?

6. Какие перемещения возникают в вале при кручении и как они определяются?

7. Как определяется жёсткость при кручении вала?