4.5 Плоское (двухосное) напряженное состояние.

П

Напряжения s_aиt_a, действующие на площадкеa, вызываются действием как напряженияs₁, так и напряженияs₂. Применяя принцип суперпозиции, получим выражения

, ,

где - напряжения, вызванные действиемs₁,

- напряжения, вызванные действием s₂.

Согласно уравнениям (4.1), (4.2)

,

Для определения и следует учесть, что нормальn_aобразует с направлениемs₂уголb= 90 –a. Согласно правилам знаков для углов, он будет отрицательным. Тогда

усть по боковым граням элементарного параллелепипеда действуют главные напряженияs₁иs₂. Определим напряжения на произвольной наклонной площадке, расположенной под угломaк главной (рис. 4. 8).

a>0

s₁

n_a

τ_α

s_α

a

s₂

s₂

n_b

s₁

τ_β

σ_β

Рис. 4.8

С учетом этих преобразований , .

Тогда (4.6)

(4.7)

Напряжения на площадке, перпендикулярной к рассмотренной, найдем по формулам (4.3), (4.4) учитывая, что угол между напряжением σ₁ и нормальюn_β равен , а между

напряжением σ₂ и этой же нормалью –α.

(4.8)

(4.9)

При сложении выражений (4.6) и (4.8) подтверждается положение, что сумма нормальных напряжений на взаимно перпендикулярных площадках – величина постоянная,

т. е. .

Для определения наибольшего и наименьшего значения нормального напряжения вычислим первую производную от s_aпоaвыражения (4.6) и приравняем ее к нулю:

. (4.10)

Уравнение (4.10) удовлетворяется при a=0°иa=90°. Согласно (4.6)приa=0°, а приa=90°. В обоих этих случаяхt_a=0, следовательно, нормальные напряженияs₁иs₂принимают экстремальные значения на главных площадках.

Наибольшее значение касательных напряжений, как следует из формулы (4.7), будут при a= 45°, т.е.,: (4.11)

4.6 Графический метод исследования напряженного состояния в точке. Построение кругов Мора

Можно оказать, что уравнения ,представляют уравнение окружности в параметрической форме. Поэтому для графического метода исследования напряженного состояния используются круги напряжений, называемые кругами Мора .

В теории напряженного состояния можно разграничить две основные задачи:

Прямая задача: в точке известны положение главных площадок и соответствующие им главные напряжения, требуется определить нормальные и касательные напряжения по площадкам, наклоненным к главным под угломa.

Обратная задача:в точке известны нормальные и касательные напряжения, действующие по двум взаимно перпендикулярным площадкам, проходящим через данную точку, требуется определить главные напряжения и положение главных площадок.

Рассмотрим решение этих задач графическим методом

4.6.1 Прямая задача

Аналитическое решение прямой задачи определяется формулами (4.6) – (4.9).

Для графического решения строится на плоскости в координатах s-tкруг Мора

(рис. 4.9) в следующей последовательности.

В

Рис. 4.9

ыбирается прямоугольная система координат так, чтобы ось абсцисс была параллельна большему из главных напряженийs₁, по этой оси в выбранном масштабе откладывются отрезки ОА и ОВ, численно равные напряжениямs₁иs₂, а на их разности (на отрезке АВ) как на диаметре проводим окружность с центром в точке С.

Из крайней левой точки (В) круга проводим луч, параллельный внешней нормали к рассматриваемой площадке, т.е. под углом aк осиs. Точка пересечения этого луча с окружностью (D_a) имеет своими координатами отрезкиD_aK_aиOK_a, численно равные касательномуt_aи нормальномуs_aнапряжениям, действующим на рассматриваемой площадке.

И

з рис.4.9 следует:AC=BC=CD_α=,

СК_α=СК_β=СD_αcos2α=cos2α

Точка D_b, лежащая на противоположном конце диаметра от точкиD_a, характеризует напряженияs_βиt_b, действующие по наклонной площадке, перпендикулярной к первой.

Выполненные преобразования проведены с учетом, что 1+cos2α = 2cos²α., 1-cos2α = 2sin²α.

Полученные выражения для s_a, s_b, τ_αиτ_βполностью совпадают с аналитическими формулами (4.6) - (4.9).

В заключение следует отметить, что каждая точка круга Мора имеет своими координатами напряжения, действующие на соответствующей площадке, следовательно, зная главные напряжения для плоского напряженного состояния, можно с помощью круга Мора определить напряжения, действующие на различных площадках, проходящих через данную точку. Максимальное касательное напряжение соответствует точке D_cи равно радиусу круга.