8. Устойчивость сжатых стержней

8.1 Основные понятия

Под устойчивостью понимается способность конструкции сохранять свою первоначальную форму равновесия при воздействии внешних сил.

При эксплуатации конструкция может подвергаться воздействиям, которые стремятся её вывести из равновесия. Эти воздействия называются возмущающими. Если после прекращения возмущающих воздействий конструкция возвращается в исходное состояние, то её состояние называется устойчивым. Если конструкция не возвращается к исходной форме равновесия, то её положение будет не устойчивым.

Под потерей устойчивости понимается переход от устойчивой формы равновесия к неустойчивой.

Рассмотрим достаточно длинный стержень по сравнению с размерами его поперечного сечения и нагрузим его силой F, которая будет постепенно возрастать.

Пока сила Fмала стержень сохраняет прямолиней-ную форму. С увеличением её до некоторого значе-нияF=F_кр после отклонения стержня он уже не вып-рямляется. Положение стержня будет неустойчивым. При дальнейшем увеличении нагрузки, когдаF>F_кр , может произойти разрушение из-за потери устойчи-вости.

Критические напряжения не зависят от местных ослаблений поперечного сечения бруса.

Допускаемое напряжение при потере устойчивости ,

здесь n– коэффициент запаса по устойчивости

Сила, превышение которой вызывает потерю устойчивости, называется критической и обозначаетсяF_кр, критические напряжения определятся формулой.

8.2Формула Эйлера для критической силы

Вывод формулы Эйлера рассмотрим на примере двух опорной балки, нагруженной сжимающей осевой силойF. ПриF=F_крбалка прогнется. Запишем дифференциальное уравнение изогнутой оси:

, .

здесь I=I_min.

Обозначим, получим дифференциальное уравнение второго порядка без правой части.

(8.1).

Его решение имеет вид:

.

Значения А и В определятся из граничных условий (z= 0 иz=ℓ). В рассматриваемой балке имеем приz=0y=0; приz=ℓy=0. Тогда из(8.1)следует

так как ,sinkℓ≠0, то В=0, тогда

Asinkℓ=0.

Но A≠0, так как балка не будет иметь прогибов, поэтому

sinkℓ=0, т.е.kℓ=0,, 2π, 3π,…nπ.

Из последнего равенства находим

k²==,

откуда следует формула

,

n≠0, тогда приn=1 получим окончательное выражение для критической силы, называемой формулой Эйлера:

. (8.2)

8.3 Влияние условий закрепления стержня на величину

критической силы

Уравнение изогнутой оси стержня при потере устойчивости определится формулой., т.е. она представляет собой дугу синусоиды. Для рассмотренного стержня, шарнирно закрепленного по концам (эйлеровский случай), изогнутая ось принимает форму полуволны синусоиды длиной ℓ. Стержень с жестким закреплением при изгибе принимает форму четверти волны синусоиды, а полая полуволна будет располагаться на длине 2ℓ. Для такого стержня критическая сила будет равна.

Для сопоставления критической силы эйлеровского стержня с критической силой стержня, имеющего другие условия закрепления концов, вводится коэффициент приведения длины, который показывает во сколько раз следует изменить длину стержня с заданными ус-

ловиями закрепления по сравнению с длиной стержня с с шарнирно закрепленными концами. Форма изогнутой оси и коэффициенты приведения её длины представлены на рисунке

С учетом рассмотренного коэффициента приведения длины стержня μ критическая сила будет определяться формулой(8.3).