книги из ГПНТБ / Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах

Д И О Ф А Н Т

Ищу сначала такие три квадратных числа,'чтобы они имели одинаковые разности, причем каждое число дол­ жно быть меньше полусуммы всех трех.

Возьму 1-е число как х2, а 2-е как х2 + 2х + 1; пх разность будет 2х Ң- 1; если 2х + 1 я приложу ко 2-му числу, то получится 3-е число х2 -1- 4х + 2; это я делаю равным квадрату на стороне х — 8; и х получается рав­ ным 62/20, или 31/10.

1-е число будет 961, 2-е 1681, 3-е 2401; они решают искомую задачу, а именно; имеются три квадрата с оди­ наковыми разностями, и половина суммы трех чисел больше каждого из них.

Теперь я перехожу к ранее поставленной задаче, а именно: найти такие три числа с одинаковыми разностями, чтобы они, взятые по два, давали в сумме квадраты. Сна­ чала ищу три квадратных числа с одинаковыми разно­ стями. Это уже сделано, и квадраты будут: 1-й 961, 2-й 1681, 3-й 2401.

Теперь нужно сделать так, чтобы

1- й Д- 2-й равнялись 961, 2- й + 3-й равнялись 2401

и, изменяя порядок в разности, 3- й + 1-й равнялись 1681.

Положим, что сумма трех будет х; и так как эти три равны

равную 2401, то получу 1-ѳ х — 2401. Наконец, если от х отниму сумму 3-го и 1-го, равную 1681, то получу 2-е X - 1681.

Остается, чтобы эти три числа сложенные дали бы х;

иX получается равным 25211/2.

И1-е число будет 1201/2, 2-е 840Ѵ2 и 3-е ІБбО1^; и пред­ ложенное получается.

8*. Дано некоторое число; подыскать такие три дру­ гих, чтобы суммы любых двух вместе с данным числом образовали квадрат и, кроме того, сумма всех трех вместе с заданным числом тоже образовала квадрат.

Пусть заданное число будет 3, а сумма двух первых х2 + 4х + 1, чтобы вместе с 3 получался квадрат; сумма

80

А РИ Ф М ЕТИ К А К Н И ГА Ш

X = 13.

1-е число будет 33, 2-е 189 и 3-е 64. И задача выпол­ нена.

9*. Задано некоторое число; найти такие три других, чтобы сумма каких-нибудь двух минус заданное давала квадрат и, кроме того, сумма всех трех минус заданное тоже давала бы квадрат.

Пусть опять заданное число будет 3; а сумма двух первых X2 -j- 3; после вычитания 3 получается квадрат;

И так как сумма всех трех чисел равна х2 + 4z + 7, где сумма 1-го и 2-го равна х2 4- 3, то в остатке будет 3-е

двух из них, сложенное с заданным числом, образовало квадрат.

Пусть заданное число будет 12.

Так как мы ищем, чтобы произведение 1-го и 2-го чисел, взятое вместе с 12, давало квадрат, то если от

81

Д И О Ф А Н Т

какого-нибудь квадрата я отниму 12, то получу произве­ дение 1-го на 2-е. Пусть этот квадрат будет 25; если отнять от него 12, то в остатке получу произведение 1-го на 2-е, именно 13. Тогда пусть 1-е будет 13, а 2-е 1; построим их в я-ах, чтобы произведение их давало 13. И пусть 1-ѳ будет 13а;, а 2-е — арифметичная часть Их.

Если я отниму 12 от другого квадрата, то буду иметь произведение 2-го на 3-е. Пусть этот квадрат будет 16; тогда остаток — произведение 2-го на 3-е — будет 4. Построим опять в z-ax так, чтобы произведение их давало 4; если 2-е есть Их, то остающееся 3-е будет 4а;.

Требуется, чтобы произведение 1-го и 3-го вместе с 12 давало квадрат. Но произведение 1-го и 3-го равно 52а;2. Тогда нужно, чтобы 52а;2 вместе с 12 образовали квадрат; если бы количество Ь-ов] 1-го числа равнялось 13, то уравнение получилось бы просто. Но это не так; приходится найти два таких числа, чтобы их произведе­ ние было квадратом и еще чтобы каждое из них вме­ сте с 12 давало квадрат. Если вместо чисел взять ква­ драты, то произведение будет квадратом. Следовательно, надо искать два квадрата, каждый из которых вместе с 12 давал бы квадрат. Это же легко, и, как мы уже сказали, равенства решаются простох).

Пусть это будет 4 и 1/4; каждое из них, сложенное с 12, даст квадрат.

Найдя эти числа, я перехожу к первоначальному за­ данию и полагаю 1-е равным 4х, 2-е Их и 3-е 1Ііх. Нужно, чтобы произведение 1-го и 3-го вместе с 12 давало квадрат. Но произведение 1-го и 3-го равно хъ. Тогда х2 вместе с 12 должен равняться квадрату. Я строю квадрат на стороне

Так как мы хотим, чтобы произведение 1-го и 2-го минус 10 давало квадрат, то я получу их произведение, если к какому-нибудь квадрату приложу 10; пусть этот квадрат равен 4. Тогда произведение 1-го на 2-е будет 14.

82

А РИФ М ЕТИКА К Н И ГА I II

х-ах, чтобы произведение давало 14; пусть 1-е будет

14а;, а 2-е 1/х.

Прибавив 10 к другому квадрату, я получу произве­ дение 2-го на 3-е. Пусть этот квадрат будет 9; тогда про­ изведение 2-го на 3-е даст 19; если 2-е равно Их, то оста­ ющееся 3-е будет 19а:.

Теперь нужно, чтобы и произведение 3-го на 1-е минус 10 (давало квадрат. Но произведение 3-го и 1-го минус 10> будет 266а;2 — 10; оно должно равняться квадрату. И на основании сказанного в предшествующем дело све­ лось к нахождению двух квадратов, каждый из которых после вычитания 10 давал бы квадрат; это же нетрудно.

[Ты найдешь решение, поискав, какой квадрат после вычитания 10 останется квадратом. Действительно, если к какому-нибудь числу прибавить 1, половину суммы воз­ вести в квадрат и из полученного квадрата отнять перво­ начальное число, то остаток опять будет квадратом; поэтому, если к 10 я прибавлю 1, половину полученного, т. е. 5Ѵ2, возведу в квадрат и отниму 10 от получающихся 30Ѵ4, то буду иметь квадрат 20Ѵ4 на стороне 41/2.

Теперь 1-е число я полагаю 30Ѵ4, а 3-е х2; нужно, чтобы после вычитания 10 из х2 остаток тоже был квадра­ том, следовательно, х2 — 10 тоже будет равен квадрату. Строю этот квадрат па стороне х — 2; он будет х2 + 4 —

— 4х, и X получается ЗѴ2. Так как 3-е число я положил X2, то оно будет 121/4. А первое число уже есть 30Ѵ4; оба они без 10 будут квадратами.] *).

Возвращаюсь к первоначальному заданию и полагаю 1-е равным (30Ѵ4) х, 2-е 1/х и 3-е {12г/4)х; произведение

1-го и 3-го будет |3 7 0 y ^ j x 2; если из этого вычесть 10,

то должен получиться квадрат. Чтобы х2 было целым, увеличиваю этот квадрат в 16 раз. Тогда 5929х2 — 160 приравниваю квадрату на стороне 77х — 2, т. е. 5929х2 + + 4 — 308х. И X получается 41/77.

*) Весь текст, взятый в квадратные скобки, вероятно, является позднейшей вставкой. (Прим, ред.)

83

Д И О Ф А Н Т

12. Найти такие три числа, чтобы произведение двух любых из них, сложенное с оставшимся, давало квадрат.

Так как мы хотим, чтобы произведение 1-го и 2-го чисел, сложенное с оставшимся, давало квадрат, то, взявши какой-нибудь квадрат, некоторую часть его на­ зовем 3-м числом, а остаток — произведением 1-го на 2-е; таким образом, мы удовлетворим одному из поставленных условий. Построим квадрат на х + 3; он будет х2 + 6а: + + 9; положим, что 9 есть 3-е число; тогда остальное будет произведением 1-го на 2-е .г2 + 6а;. Положим, что 1-е будет х; тогда 2-е число дает (х + 6. Теперь нужно, что­ бы произведение 2-го и 3-го чисел, сложенное с 1-м, т. е. > 10а; + 54, было равно квадрату и, кроме того, произве­ дение 3-го и 1-го вместе со 2-м, равное 10а: + 6, также равнялось бы квадрату. И получается двойное равенство, в котором разность 10а: + 54 и 10а; + 6 будет 48.

Следовательно, нужно найти два квадрата с разностью 48, это делается легко и бесконечным количеством спо­ собов. Пусть меньший квадрат будет 16, а больший 64; какой бы из них я ни взял для сравнения, я получу под­ становку для X. Если мы положим, что 10а: + 54 должно равняться 64, то х получится равным 1, если же мы затем скажем, что меньший 16 должен равняться 10а; + 6, получится X = 1.

К подстановкам. 1-е число будет 1, 2-е 7 и 3-е 9; оии удовлетворяют поставленным условиям.

13. Найти такие три числа, чтобы произведение двух любых из них минус оставшееся давало квадрат.

Положим 1-е число х, 2-е х + 4; тогда их произведение будет X2 + 4а;. Теперь нужно, чтобы оно без 3-го числа давало квадрат; если я возьму 3-е число 4а;, <то одно из условий будет выполнено. Теперь нужно, чтобы произведе­ ние 2-го и 3-го без 1-го давало квадрат > и произведение 3-го

и1-го без 2-го тоже давало квадрат. Но произведение 2-го

и3-го без 1-го будет 4а:2 + 15а;, равное квадрату; произве­ дение же 3-го и 1-го без 2-го будет 4а;2 — (а; + 4), тоже равное квадрату. Мы опять получаем двойное равенство. Так как разность оказывается 16а: + 4, то я ищу два чис­ ла, произведение которых будет 16а; + 4; это 4 и 4а; + 1.

Далее, полусумма этих чисел, умноженная па себя, должна равняться большему, а полуразность, умноженная на себя, — меньшему; и х получается 25/20.

84

А РИ Ф М ЕТИ К А К Н И ГА I II

1-е число будет 25, 2-е 105, 3-е 100 [двадцатых], и предложенное верно.

14. Найти такие три числа, чтобы произведение двух любых из них, сложенное с квадратом оставшегося, да­ вало квадрат.

Возьмем 1-е х, 2-е 4х + 4, 3-ѳ 1, чтобы были выполнены два из назначенных условий.

Теперь остается, чтобы произведение 3-го и 1-го чисел вместе с квадратом 2-го числа, равное 16а:2 + 33а: + 16, давало квадрат; пусть он будет на стороне 4а: — 5, т. е. 16а;3 + 25 — 40а;; получается х = 9/73.

1-е число будет 9, 2-е 328 и 3-е 73.

15*. Найти три таких числа, чтобы произведения лю­ бых двух из них, сложенные с их суммой, давали квадрат.

У всех квадратов произведение двух последовательных квадратов, сложенное с их суммой, будет квадратом.

Возьмем 1-е число 4, а 2-е 9; их произведение, именно квадрат 36, сложенное с их суммой, дает квадрат. Оста­ ется, чтобы произведение 2-го на 3-е, сложенное с их суммой, а также и произведение 3-го на 1-е, сложенное с их суммой, давали квадраты.

Положим, что 3-е число будет х; тогда произведение 2-го на 3-ѳ вместе с их суммой 10х + 9 должно быть ква­ дратом, а также произведение 3-го на 1-е, сложенное с их суммой 5х + 4, тоже должно быть квадратом; опять полу­ чается двойное равенство, и разность будет 5х + 5.

любых двух, сложенное с их суммой, давало квадрат. Положим, что 1-е будет х, а 2-ѳ 3; их произведение

вместе с суммой 4х + 3. Оно равно квадрату; пусть по­ следний будет 25, и X получится 5Ѵ2. Тогда 1-е число будет 5Ѵ2, а 2-е 3, и одно из условий удовлетворено; действи­ тельно, произведение этих чисел, сложенное с их суммой, дает квадрат.

85

Д И О Ф А Н Т

Теперь нужно, чтобы произведение 2-го и 3-го, а также 3-го и 1-го вместе с их суммами давали квадраты.

Положим, что 3-е будет х\ тогда произведение 2-го и 3-го вместе с их суммой будет опять 4х + 3, а произве­ дение 3-го и 1-го (вместе с их суммой) (61І2)х -f- 5Ѵ2, и каждое из них должно быть квадратом. Но так как ко­ личества х-оъ и единиц одного равенства больше соот­ ветствующих количеств другого и, кроме того, ие имеют отношения квадрата к квадрату, то сделанная подстановка не годится.

Таким образом, дело свелось к отысканию двух чисел, произведение которых вместе с суммой давало бы квад­

же равно 4Ѵ5. Их произведение вместе с суммой полу­

86

А РИ Ф М ЕТИ К А К Н И ГА I I I

Если, подобно предыдущему, положим одно пиело равным X, а другое какому-нибудь количеству единиц, то попадем опять в безвыходное положение. Чтобы отно­ шение некоторого количества х к другому количеству х равнялось отношению двух квадратных чисел, нужно искать два таких числа, чтобы их произведение минус их сумма равнялось квадрату <и также чтобы эти числа, уменьшенные на 1, имели друг к другу отношение двух квадратных чисел).

Пусть одно число будет па 3 меньше четырехкратного другого; тогда оба эти числа, уменьшенные на 1, имеют друг к другу отношение, как одно квадратное число к дру­ гому; [действительно, если отнять от каждого числа по 1, то уменьшенные будут 4 и 1; так же ясно, что если от четырехкратного отношения отнять четырехкратное, то получится тоже четырехкратное, т. е. отношение квадрата к квадрату] *).

Полагаю 1-е число х -}- 1, а 2-е 4а; -J- 1; если я отниму от их произведения сумму, то получится 4а;2 — 1, равное квадрату на стороне 2х — 2, т. е. 4а;2 -j- 4 — 8а;, и х = = 5/8. Одно число будет 13/8, а другое 28/8, и первое условие удовлетворено.

И так как 1-е число равно 13/8 и 2-е ЗѴ2, то 3-е я пола­ гаю X. Произведение 2-го на 3-е будет (ЗѴ2) а;; после вы­

тания суммы обоих получается -g- х — -g- , что равно квад­

рату. Это умножаю на 16, что дает 10а; — 26.

Их разность 12 равна произведению 2 и 6; половина суммы, умноженная на самое себя, дает 16, которое приравниваем большему 10а; — 14. И получается

X — 3.

3-е число будет 3 или 24/8; имеем 1-е равным 13/8, а

87

Д И О Ф А Н Т

Полагаю 1-е число х, а 2-е Ах — 1; если одно число в четыре раза больше другого минус 1, то их произведение вместе с меньшим дает квадрат.

Остается удовлетворить и два остальных условия: чтобы произведение вместе со 2-м давало квадрат и еще чтобы произведение вместе с суммой давало квадрат. Но произведение вместе со 2-м будет 4а;2 + За; — 1 = 0 ; про­ изведение вместе с суммой обоих будет Ах? + Ах — 1 = Q .

Получается двойное равенство; разность будет х и оп­ ределяется произведением V4 и Ах\ х получается равным

65/224.

1-е число будет 65, а 2-е 36 [двести двадцать четвертых долей]; задача решена.

18. Найти такие два числа, чтобы их произведение минус каждое из чисел или их сумма составляло квадрат.

Положу одно X -f- 1, а другое Ах; если одио число в че­ тыре раза без 4 больше другого J), то произведение их ми­ нус большее число дает квадрат.

Кроме того, нужно, чтобы их произведение минус меньшее число, а также это произведение минус сумма обоих давали квадрат. Но их произведение минус меньшее будет Ах? + Ъх — 1, а минус сумма обоих 4.x2 — х — 1, и они должны быть равны квадратам. Разность их будет

19*. Найти четыре таких числа, чтобы квадрат суммы всех четырех чисел оставался квадратом, если к нему при­ бавить или из него вычесть каждое из этих чисел.

Так как во всяком прямоугольном треугольнике квад­ рат на гипотенузе остается квадратом, если к нему приба­ вить или от него отнять удвоенное произведение сторон, прилегающих к прямому углу, то прежде всего я ищу че­ тыре прямоугольных треугольника, имеющих одинако­ вые гипотенузы; эта задача одинакова с задачей на разло­ жение какого-нибудь квадрата на два квадрата, и притом четырьмя способами, а мы знаем, что разложение данного квадрата на два квадрата можно производить бесконеч­ ным числом способов.

*) 4 (ж + і ) — 4 = 4ж; полагается, что ж > 1. (Прим, переа.)

88

А РИ Ф М ЕТИ К А К Н И ГА III

Теперь возьмем два прямоугольных треугольника из наименьших чисел, как, например, 3, 4, 5 и 5, 12, 13, и помножим каждый из взятых на гипотенузу другого; тог­ да первый треугольник будет 39, 52, 65, а второй 25, 60, 65. Это будут прямоугольные треугольники, имеющие одинаковые гипотенузы.

По своей природе число 65 разлагается на квадраты двумя способами, а именно на 16 и 49, а также и на 64 и 1. Это происходит потому, что 65 получается от произве­ дения 13 и 5, а каждое из этих чисел раскладывается на два квадрата. Теперь для взятых 49 и 16 я нахожу сто­ роны, они будут 7 и 4, и образую прямоугольный треу­ гольник на двух числах 7 и 4; это будет 33, 56, 65.

Точно так же у 64 и 1 сторонами будут 8 и 1; я опять образую на этих числах прямоугольный треугольник со сторонами 16, 63, 65.

Таким образом, получаются четыре прямоугольных треугольника с одинаковыми гипотенузами; возвраща­ ясь к первоначальной задаче, в качестве суммы нужных четырех чисел я беру 65а;, а каждое из этих чисел в э?, взятым число раз, равное учетверенной площади, именно: 1-е 4056а;2, 2-е 3000а;2, 3-е 3696а;2 и 4-е 2016а^.

И сумма четырех чисел 12768а;2 будет равна 65а;, так что X получается равным 65/12768.

К подстановкам. 1-е число будет 17136600, <2-е 12675000) таких же долей. 3-е 15615600 таких же долей, четвертое 8517600, а знаменатель равен 163021824.

20. Данное число разложить на два числа и подобрать для шгх такой квадрат, который по вычитании каждой

Поэтому я полагаю, что 1-я часть будет 2х + 1 , а 2-я 4а;. Оба этих числа после сложения должны произвести дан­

89