книги из ГПНТБ / Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах

V

V

наличие; недостаток же, умноженный на наличие, дает недостаток; знак же для недостатка— т|з (пси) укорочен­ ное и опрокинутое впиз: Д .

(X) После объяснения умножения становится ясным и деление заданных видов; начинающим будет полезно поупражняться в сложении, вычитании и умножении этих видов: как неравные наличия и недостатки прибав­ ляются к тем же самым, или также к наличиям и недо­ статкам, и каким образом из наличных видов и других недостатков вычитаются другие наличия или также нали­ чия и недостатки.

(XI) После этого, если в какой-нибудь задаче полу­ чится равенство одних видов таким же, но в неравном количестве, то в каждой из частей равенства нужно от­ нять подобные от подобных, пока один вид не станет равен тоже одному виду. Если же в какой-нибудь части

40

АРИФМЕТИКА КНИГА I

имеется наличие, а в обеих недостатки некоторых видов, то к обеим частям надо прибавлять недостающие, пока в каждой части не останутся только находящиеся в на­

нии предложений так, чтобы получилось равенство од­

Теперь мы перейдем к задачам, в которых собрано большое количество предложений относительно видов. Поскольку они имеются в очень большом числе и требуют много труда, то они медленно усваиваются и запоминаются учащимися; я постарался распределить все содержащееся так, чтобы в начале находились элементарные и от более простых совершался переход к более трудным, как и по­ лагается. Так облегчится путь начинающим и запом­ нится его развитие, и все сочинение будет изложено в тринадцати книгах.

1. Заданное число разложить на два числа, имеющие

2.Заданное число требуется разложить на два числа

взаданном отношении.

Требуется разложить 60 на два числа в отношении 3.

(Ярилі. pea.)

41

ДИОФАНТ

Положим меньшее число равным х, тогда большее число будет За;, т. е. большее число в три раза больше меньшего. Остается, чтобы оба (вместе) равнялись 60, и два сложенных числа дадут Ах. Значит,

Ах — 60, и X будет 15.

из них на заданное число превышало определенное от­ ношение от 2-го числа.

Пусть требуется разложить 80 на два числа так, чтобы 1-е превышало на 4 трижды взятое 2-е.

Положим, что меньшее число х, тогда большее будет Зх и 4, большее будет в 3 раза больше меньшего и будет иметь разность 4. Я желаю, чтобы оба вместе равнялись 80. Но оба сложенные будут Ах и 4. Значит,

Ах + 4 равно 80.

Из подобных вычитаю подобные, тогда 76 равно Ах\

иX получится равным 19.

Кподстановкам. Меньшее число будет 19, а большее

61. [После прибавления 4 отнимаем их от 80, их отняли, чтобы найти, скольким единицам будет равно каждое число, затем к большему числу добавили 4, чтобы узнать, сколько единиц будет в каждом.]

4. Найти два числа в заданном отношении таких, что­ бы была заданной и их разность.

Зададим отношение большего числа к меньшему рав­ ным 5, и пусть разность их составляет 20.

Положим, что меньшее число будет х , тогда большее будет 5х. Затем я желаю, чтобы разность Ъх и х равнялась 20. Но разность между ними составляет Ах, она же рав­ на 20.

Меньшее число равно 5, а большее 25. И большее бу­ дет в 5 раз больше меньшего, а разность станет равной 20.

5. Предложенное число разложить на два таких числа, чтобы заданные их неодинаковые части при сложении образовали заданное число.

•' Фраза, поставленная в скобки, по мпепию Танпери, принадлежит позд* неіішему комментатору. (Прим, рев.)

42

АРИФМЕТИКА КНИГА I

Это заданное число должно быть таким, чтобы оно занимало среднее место между двумя получающимися числами, если от первоначального числа взять две задан­ ные неодинаковые части.

Пусть число 100 требуется разложить на два числа так,

а само это число 90—Зх. Затем я хочу, чтобы два сложен­ ных числа давали 100. Но оба сложенных числа 90 — Зх и 5х дают 100.

Отнимаем подобные от подобных, 2х — 10, следова­ тельно, X = 5.

К подстановкам. Я положил 1/5 2-го числа равной х, тогда X = 5 и само 2-е число 25. Но 7 3 1-го числа 30 — х будет 25, следовательно, само это число 75. И сумма трети 1- го и пятой части 2-го равна 30, они, сложенные вместе, образуют первоначально заданное число.

6. Предложенное число разложить на два числа так, чтобы данная часть 1-го числа превышала данную часть 2- го на заданное число.

Необходимо, чтобы это заданное число было меньше того числа, которое получается, если от предложенного чи­ сла взять данную часть, соответствующую уменьшаемому.

Поставим себе целью разложить 100 на два числа так, чтобы четвертая часть 1-го превышала на 20 шестую часть 2-го числа.

Я положил шестую часть 2-го числа х, следовательно,

сложенных числа составили 100, т. е. 10а: + 80 равня­ лись 100.

ченные будут сложены вместе и образуют заданное число.

7.От одного и того же числа отнять два заданных числа

исделать так, чтобы полученные остатки имели бы междз

собой заданное отношение.

43

ДИОФАНТ

Пусть от одного и того же числа задано отнять 100 и 20 и сделать, чтобы большее равнялось утроенному мень­ шему.

Положим, что искомое число будет х. Если я от него отниму 100, то остаток будет х — 100, если же отниму 20, то будет X — 20. И нужно, чтобы большее число равня­ лось утроенному меньшему, следовательно, три меньших будут равны большему. Но три меньших дадут За: — 300,

х; следовательно, оно будет 140. Если я от него отниму 100, то останется 40, а если отнять 20, то останется 120.

Ибольшее число будет в три раза больше меньшего.

8.К двум данным числам прибавить одно и то же такое число, чтобы получающиеся числа имели между собой заданное отношение.

Необходимо, чтобы заданное отношение было меньше того, которое большее из данных чисел имеет к меньшему.

Предположим, что к 100 и 20 было прибавлено одно и то же число, и сделаем, чтобы большая сумма была в 3 раза больше меньшей.

Возьмем в качестве х число, прибавляемое к каждому. Если мы прибавим к 100, то получим 100 + х, а если к 20, то будет 20 + X. И необходимо, чтобы отношение большей суммы к меньшей было 3; следовательно, утроенная мень­ шая сумма будет равняться большей. Но утроенная мень­

К подстановкам. Я положил прибавляемое число рав­ ным X; оно будет 20. Если мы прибавим его к 100, то получится 120, а если к 20, то получатся 40. И большее будет равным утроенному меньшему.

Необходимо, чтобы заданное отношение было больше того, которое большее из заданных чисел имеет к мень­ шему.

44

АРИФМЕТИКА КНИГА I

Пусть задано: от 20 и 100 отнять то же самое число и сделать, чтобы большее число было шестикратным мень­ шего.

Положим, что X будет отнимаемое от каждого числа. Когда оно отнимается от 100, то остается 100 — х, а когда от 20, то остается 20 — ж. И нужно, чтобы большее было в 6 раз больше меньшего. Следовательно, меньшее, взя­ тое 6 раз, будет равно большему. Но ушестеренное мень­ шее будет 120 — 6.г, это равно 100 — х.

Прибавим недостаток к обеим частям и отнимем по­ добные от подобных. В остатке будет Ъх = 20; и х полу­ чается равным 4.

К подстановкам. Отнимаемое от каждого числа я взял за х; оно будет 4. Если мы отнимаем его от 100, то оста­ нется 96, а если от 20, останется 16. И большее будет равно ушестеренному меньшему.

10. Даны два числа, к меньшему из них надо приба­ вить, а от большего отнять то же самое число и сделать, чтобы получающаяся сумма имела заданное отношение к остатку.

Пусть предложено к 20 прибавить, а из 100 вычесть одно и то же число и сделать, чтобы большее было в 4 раза больше меньшего.

Положим, что прибавляемое и отнимаемое от каждого

меньшему. Следовательно, учетверенное меньшее равно

К подстановкам. Я положил прибавляемое и отнима­ емое от каждого числа х, он будет равен 76. И если к 20 прибавить 76, то получается 96, а если 76 отнять от 100, то останется 24. И действительно, большее будет в четыре раза больше меньшего.

11. Даны два числа, одно требуется прибавить, а другое отнять от одного и того же числа и сделать так, чтобы полученные числа находились между собой в за­ данном отношении.

45

ДИОФАНТ

Требуется 20 прибавить, а 100 отнять от одного и того же числа и сделать так, чтобы большее число было в три раза больше меньшего.

Пусть искомое будет х. Если прибавим к нему 20, то получится 20 + z, а если от него отнять 100, то оста­ нется X — 100. И нужно, чтобы большее было в три раза больше меньшего.

Следовательно, три меньших будут равны большему. Но три меньших будут За; — 300, значит, За: — 300 рав­ но X + 20. Прибавим к обеим частям недостатки и от­ нимем подобные от подобных. Тогда 320 равно 2а;; и по­ лучается X — 160.

К подстановкам. Большее будет 180, а меньшее 60. И действительно, большее будет в три раза больше мень­

разложения имело заданное отношение [т] к одному числу [z2] из второго разложения, а оставшееся число [zj из второго разложения к оставшемуся [г/2] от первого раз­ ложения тоже имело бы заданное отношение [я].

Пусть будет предложено разложить 100 на два числа двояко так, чтобы большее число из первого разложения [ух] было в 2 раза больше меньшего числа из второго раз­ ложения [z2], а большее из второго разложения [zj было в 3 раза больше меньшего числа [г/2] из первого разло­ жения.

Обозначим меньшее число из второго разложения через X, следовательно, большее число из первого разложения [*/і1 будет 2z; значит, меныпее число из первого разложе­ ния [у2] будет 100 — 2х. И так как большее число из вто­ рого разложения [zj втрое больше [г/2] — меньшего числа из первого разложения, то оно будет 300 — 6z. После этого числа [zt и z2] из второго разложения сложенные

первого разложения, как 2z, оно будет 80; меньшее же

40. И доказательство очевидно.

46

чтобы одно число из первого разложения [yj имело бы заданное отношение к одному из чисел [z2] второго раз­ ложения, оставшееся же [гх] из второго разложения имело бы заданное отношение к одному из чисел [щ] третьего разложения, а оставшееся после третьего разложения число [iij имело бы заданное отношение к числу [у2], оставшемуся после первого разложения.

Пусть будет предложено разложить 100 на два числа трояким образом так, чтобы большее число из первого разложения [yj было втрое больше меньшего числа [z2] из второго разложения, а большее число из второго раз­

разложения [u.J было бы в четыре раза больше меньшего числа из первого разложения1).

Положим меньшее число из третьего разложения [ц2] равным z; тогда большее число из второго разложения

будет 100 — 2х. И так как втрое больше его [z2] будет большее число из первого разложения, то оно [yj получится как 300 — 6z; следовательно, меньшее из чисел [у2] первого разложения будет 6z — 200. А так как это число [у2], взятое 4 раза, дает большее число [a j из третьего разложения, то оно будет 24z — 800. Наконец, сложенные числа третьего разложения дадут 100. Но это сложение дает 25z — 800. Это равно 100; z оказывается равным 36.

К подстановкам. Меньшее из чисел третьего разложения равно 36, а большее 64.

Меньшее число первого разложения 16, а большее 84. Меньшее число второго разложения 28, а большее 72. Ясно, что они удовлетворяют условию задачи.

14. Найти два числа таких, чтобы их произведение имело заданное отношение к их сумме.

Необходимо, чтобы предположенное количество еди­ ниц одного из чисел было больше подобноимеиного числа единиц в заданном отношении.

Пусть отношение произведения к сумме будет тройным.)*

*) у 1 = 3 (І00 — z,), — 2i(j, 100 — и , = 4 (100 — i/i).T (iIptut. перво,)

47

ДИОФАНТ

Положим 1-е из этих чисел равным х, 2-е же согласно предварительному условию должно быть большим 3,

Положим, что 1-е число [у], заимствуя от 2-го 30, ста­ новится в 2 раза больше остатка:

[у + 30 = 2 (z - 30)]

а 2-е Ы, взяв от 1-го 50, становится в 3 раза больше остатка:

[z + 50 = 3 (у — 50)].

Возьмем теперь 2-е число равным х + 30; тогда 1-е число [у] должно оказаться равным 2х — 30, чтобы после получения от второго 30 оно стало вдвое больше остатка *).

Далее, 2-е число [z = х + 30], получив от 1-го 50, должно стать втрое больше 2х — 80.

Но если 1-е отдает 50, то остаток будет 2х — 80; 2-е же, приняв от 1-го 50, станет х 4- 80. Остается сделать, чтобы X + 80 равнялось утроенному 2х — 80; следова­ тельно, утроенное меньшее равно большему:

48

Положим, что все три вместе равны х. И так как 1-е и 2-е дают 20, то, отняв 20 от х, получу 3-е х — 20, на том же основании 1-е будет х — 30, а 2-е х — 40; остается сумму всех трех чисел приравнять х , но три сложенных числа дают За: — 90; это равно х\ и получается х = 45.

К подстановкам. 1-е будет 15, 2-е 5, и 3-е 25. И дока­ зательство очевидно.

17. Найти четыре таких числа, чтобы они, сложенные по три, давали заданные числа.

Необходимо, чтобы третья часть суммы всех четырех [заданных] была больше каждого из них.

Пусть три последовательных числа, начиная с 1-го, дают в сумме 20, три, начиная со 2-го, — 22, три, начиная

все четыре числа; их сумма будет равна х. Но эта же сум­ ма будет Ах — 93; это равно х, которое получается рав­ ным 31.

К подстановкам. 1-е будет 9, 2-е 7, 3-е 4 и 4-е 11. И они удовлетворяют задаче.

18. Найти три таких числа, чтобы сумма попарно двух превышала бы оставшееся на заданное число.

Пусть сумма 1-го и 2-го чисел превышает 3-е на 20, сумма 2-го и 3-го больше 1-го на 30, а сумма 3-го и 1-го больше 2-го на 40.

Положим сумму всех трех равной 2х. Так как 1-е и 2-е вместе больше 3-го на 20, то, прибавив к обеим частям 3- е, получим, что сумма всех трех будет равна удвоенному 3-му и 20. Значит, если от суммы трех, т. е. 2х, я отниму 20, то получу удвоенное 3-е, равное 2х — 20; следова­ тельно, одни раз взятое 3-е будет равно х — 10.

На том же основании 1-е число будет равно х — 15, а 2-е X — 20. Теперь все три вместе дадут 2х, но их сумма составит За: — 45, а это равно 2а:. Отсюда х получается равным 45.

Кподстановкам. 1-е число будет 30, 2-е 25 и 3-е 35.

Ивсе они удовлетворяют предложенному.

49