книги из ГПНТБ / Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах

Д И О Ф А Н Т

Но знаменатель является квадратом, так что и 12Іг -)- 24 должно быть квадратом, и t = 1.

Теперь я полагаю 6,т2 — іх = ж2, и х получается 4/5. Значит, стороны искомого прямоугольного треугольника будут 12/5, 16/5, 4.

Если ты ие хочешь пользоваться зпачеиием 1, то по­ ложим меньшее т 4- 1 х).

Тогда 3і2 + 6 равносильно Зт2 -|- 6т + 9, которое нетрудно приравнять квадрату. Значение т получится не больше 13/9, значит, t будет не больше 22/9, и его квадрат, вычтенный из 6, сделает х рациональным.

14*. Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы его площадь без гипотенузы или одной из сторон при пря­

том и 15і2 — 36.

Но это равенство невозможно вследствие того, что 15 ие разделяется на два квадрата. Однако первоначальная задача вообще не будет невозможной; таким образом, нужно воспользоваться треугольником другого вида, т. е. необходим диоризм. Действительно, 15і2 получилось из некоторого квадрата, меньшего площади, умноженного на произведение гипотенузы и одного из катетов, а вычита­

*) Здесь Диофант вводит новое, третье по счету, неизвестное, которое обо­ значает той же буквой, что и первые два. (Прим, рев.)

*) Диофант вновь полагает, что сторона квадрата равна І'х*. (Яріш. peD.

1 6 0

Д И О Ф А Н Т

будет 67, а сам квадрат 4489, и он удовлетворяет пред­ ложенному.

15*. Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы его площадь, сложенная с гипотенузой или с одной из сторон при прямом угле, давала квадрат.

Если мы возьмем треугольник заданного вида, то нам опять придется устроить диоризм и искать другой прямо­ угольный треугольник и квадраттгое число, большее пло­ щади, чтобы квадрат, помноженный на <произведение) гипотенузы и одного из катетов искомого прямоугольного треугольника мипус тело, получившееся от произведения площади, упомянутого катета и разности, на которую гипотенуза превосходит этот катет, <а эта разность и сама должна быть квадратом), образовал квадрат.

Образуем треугольник из 4 и 1, а квадрат возьмем 36; он не будет больше площади. Итак, мы имеем два числа: одно — произведение гипотенузы и одного из ка­ тетов, т. е. 136, и другое телесное, образуемое площадью, одним катетом и разностью гипотенузы с упомянутым катетом и равное 4320. И так как некоторый квадрат, именно 36, умноженный на 136 и уменьшенный на 4320, образует квадрат, то будем искать другой квадрат, боль­

то найдем бесконечное количество квадратов, удовлетво­ ряющих поставленной задаче; один из них будет 676.

Итак, возьмем прямоугольный треугольник 8,т, 15а:, 17.т; получится

60аг + 8х = 676.+,

откуда X = 1/77.

К подстановкам. ■8. 15

77 ’ 77 ’

16. Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы при рассечении пополам одного из его острых углов длина биссектрисы была рациональной.

KiS Пусть биссектриса будет 5а;, один из отрезков основа­ ния За;; следовательно, другой катет будет 4а;.

Положим, что первоначальное целое основание равня­ лось скольким-то единицам, кратным тройке; пусть их число будет 3; тогда остающийся отрезок основания будет 3—За;. Но так как угол разделен пополам и катет равеп

162

А РИ Ф М 1ІТ И К А К Н И Г А V I

4/3 прилежащего сегмента [основания], то гипотенуза равна 4/3 оставшейся части основания; но оставшаяся часть основания положена равной 3—Зж; следовательно,

17*. Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы площадь его вместе с гипотенузой давала квадрат, а пери­ метр его был кубом.

Положим его площадь х, а его гипотенузу — некото­ рому квадратному числу единиц минус ж; пусть опа будет

16 — X.

Но так как мы предположили, что его площадь равна х, то произведение его сторон, прилежащих к прямому углу, получается равным 2х. Но 2х представляет произведение

И периметр получается равным 18 и не является кубом. Но 18 получилось из некоторого квадрата и 2; следова­ тельно, нужно будет найти квадрат, который после при­ бавления 2 становится кубом; следовательно, куб больше квадрата на 2.

Возьмем теперь сторону квадрата за ж + 1 , а сторону

двойку больше квадрата; значит, квадрат с двойкой, т. е.

площадь ж, то полагаю гипотенузу 25 — ж. Основание со­ храняется равным 2, а катет ж.

Остается, чтобы квадрат гипотенузы равнялся квадра­ там сторон при прямом угле. Получается

ж2 + 625 — 50ж — ж2 + 4,

откуда ж — 621/50.

К подстановкам. [Предложенное] выполнено.

Д И О Ф А Н Т

18. Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы его площадь, увеличенная на гипотенузу, образовала куб, а периметр был квадратом.

Если, как в предыдущем, положим площадь х, а ги­ потенузу — некоторому кубическому числу единиц минус

имеем основание 2 и катет = х. Теперь, если квадрат гипотенузы приравняем сумме квадратов сторон при прямом угле, то получим х рациональным:

Іх = 24121185/628864].

19. Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы площадь с катетом давала квадрат, а периметр был кубом.

Построим прямоугольный треугольник на некотором неопределенном нечетном числе; пусть оно 2 a ;- fl2). Тогда катет будет 2х -f- 1, основание 2а;2 -f 2х и гипоте­ нуза 2z2 -\-2х - f 1. Остается, чтобы его периметр равнялся кубу, а площадь вместе с одной из сторон при прямом угле давала квадрат.

Периметр получается как

4а/2 -f 6а; -f 2 = кубу.

Это число будет составным, именно произведением 4а; -f 2 и а: - f l . Тогда, если каждую сторону разделим на ж - f l , то получим периметр [подобного] треугольника 4а; -f 2; это должно быть кубом.

Остается, чтобы площадь вместе с одной из сторон при прямом угле давала квадрат. Но площадь будет

’) Если площадь ж, то сумму катетов можно положить равной 2 + х. (Прим.

п ер в о .)

') Такое образование прямоугольного треугольника па нечетном числе при-

ІСА

выражения к одному знаменателю, то сумма числителей будет 2а;3 -f- 5х2 + 4х -j- 1. И общим знаменателем явля­

И дело сводится к отысканию куба, который был бы вдвое больше квадрата; это же будут 8 и 4.

Пусть 4х + 2 = 8; х получается П о­ следовательно, прямоугольный треугольник будет

8/5, 15/5, 17/5. И все установлено.

20. Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы его площадь, увеличенная на один из катетов, образовы­ вала куб, а его периметр был квадратом.

Опять, если мы воспользуемся тем же методом, что в предшествующем, то все сведется к тому, чтобы сделать

его периметр был квадратом, а после прибавления его

трудно; действительно, если разделить 2 на какой-нибудь квадрат без двойки, то найдешь х. Но х нужно найти

куб получается от деления 8 на возведенное в куб выра­ жение і2 — 2. И тот же квадрат удвоенный получается от

*) Это новое неизвестное Диофант обозначает тем же символом, что и пер­

165

Д И О Ф А Н Т

следовательно, пусть 2і‘1равно кубу. Разделим все на і3; получится 2t = кубу. Если мы приравняем кубическому числу единиц, то мы получим, что t равняется половине некоторого куба. Пусть этот куб будет 8; тогда половина будет 4... 1), и ж2 равняется 1/49; и отсюда нужно отнять 1, так как один из катетов равен ж2 — 1; и дело сводится к отысканию куба такого, чтобы XU его квадрата была больше 2 и меньше 4.

И если мы положим куб равным х3, то будем искать, что­ бы Ѵ4ж6 было больше 2 и меньше 4; следовательно, ж6 больше 8 и меньше 16. Таким будет 729/64; следователь­ но, куб будет 27/8.

Теперь полагаю 21равным 27/8, и t получается равным 27/16, а і2 = 729/256. Если мы разделим 2 на это іг без двойки, то найдем х равным 512/217 и из этого квадрата можем вычесть 1 2).

22. Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы его периметр был кубом, а сложенный с площадью давал квадрат.

Прежде всего нужно посмотреть, каким образом для двух заданных чисел можно найти такой прямоугольный треугольник, чтобы его периметр был равен одному из данных чисел, а площадь его была равна другому.

Пусть эти два числа будут 12 и 7. Положим, что 12 будет его периметр, а 7 — площадь. Следовательно, про­ изведение сторон при прямом угле равно 14, и если один

катет мы возьмем —, то другой будет 14ж. Но пери­ метр треугольника равен 12; значит, гипотенуза будет

Остается, чтобы ее квадрат, который будет ^ + 196z2 +

+ 172— + ЗЗбж), равнялся сумме квадратов катетов,

т. e . ~ - f 196z2. X3 1

166

ДИОФАНТ АЛЕКСАНДРИЙСКИЙ «О МНОГОУГОЛЬНЫХ ЧИСЛАХ»

умножения некоторого числа на самого себя; доказывает­ ся также, что каждый многоугольник, умноженный на число, зависящее 3) от количества его углов, и сложенный с квадратом некоторого числа, тоже зависящего от коли­ чества его углов, может быть представлен как некоторый квадрат [2]. К этому мы придем, показав, как по данной стороне находится многоугольник и как для данного мно­ гоугольника определяется сторона. Сначала докажем все, что будет для этого необходимо.

I

Если три числа имеют одинаковые разности, то восемь раз взятое произведение наибольшего и среднего, сложен-

№

О М Н О Г О У Г О Л Ь Н Ы Х Ч И С Л А Х

ное с квадратом наименьшего, будет квадратом, сторона которого равна сумме наибольшего и двух средних [3].

Действительно, пусть три числа AB, ВГ и БД имеют одинаковые разности; нужно доказать, что 8АВ-ВГ1), (сложенное с AB2 2), образует квадрат, сторона которого равна сумме AB и 2ВГ.

8АВ-ВГ разложим на 8ВГ2 и 8АГ-ВГ.) Затем каждое из упомянутых разделим пополам, получим 4АВ-ВГ, 4ВГ2 и 4АГ>ВГ [т. е. 4ВГ-ГА, ибо АГ равно ГА; вместе же с AB2 получится AB2] 3).

Второе из произведений 4АГ-ГВ, сложенное с AB2, дает ВА2. Теперь остается узнать, каким образом AB2 вместе с 4АВ-ВГ и 4ВГ2 даст в сумме квадрат. Если мы положим АЕ, равным ВГ, то 4АВ-ВГ преобразуется в 4ВА-АЕ, которое, будучи сложено с 4ГВ2 [или с 4АЕ2], сделается равным 4ВЕ-ЕА 4), а оно, сложенное с AB2, сделается равным квадрату на [сумме] BE и ЕА, как одной прямой 5). Но [сумма] BE и ЕА равна [сумме] AB и 2АЕ, т. е. 2ВГ. Что и требовалось доказать.

II

Если дано любое количество чисел с одинаковыми разностями, то (разность) между наибольшим и наимень-

’) Произведение двух чисел мы будем обозначать точкой, поставленной между

1С9