книги из ГПНТБ / Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах

Д И О Ф А Н Т

но, сами они будут: одно 5а;, а другое 92 — 8а;. Оба вместе равны 72Ѵ4; значит, х = 79/12.

Таким образом, пятидрахмового вина взято 6 конгиев 7 гемин *), а восьмидрахмового — 4 конгия 11 гемин. Остальное очевидно.

КНИГА VI

1. Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы гипотенуза минус каждая сторона, прилежащая к прямому углу, давала куб.

Пусть искомый треугольник будет образован двумя числами2), и пусть одно будет х, а другое 3.

Тогда гипотенуза будет х2 + 9, катет 6z, а основание ж2 - 9.

Если из гипотенузы вычесть одну из сторон при пря­ мом угле, т. е. х2 — 9, то получится 18, что не является кубом.

Откуда же 18? Это дважды взятый квадрат 3. Поэтому нужно найти некоторое число такое, чтобы дважды взя­ тый квадрат его был кубом. Пусть искомое число будет ж, и приравняем 2х2 кубу. Пусть он будет х3; тогда х равняется 2.

Опять построим треугольник на х, но уже не на 3, а на 2. И гипотенуза получится равной ж2 + 4, катет 4х, а основание х2 — 4. Тогда ясно, что гипотенуза по вычете

Но это будет квадрат на стороне х — 2. Поэтому, если при-

<) і копгий равняется 12 геминам. (Прим, реЭ.)

') Если эти числа суть р и ѵ, то должно иметь место тождество (р1 -f ѵ’)’ — = (2рѵ)’ + (р1 .— V*)*. (Прим, ред.)

150

А Р И Ф М Е Т И К А К Н И Г А Ѵ І

равняем х — 2 кубу, то и решим задачу. Приравняем 8, и получится X = 10.

Так образуется треугольник на 10 и 2; гипотенуза будет 104, катет 40 и основание 96, и все ясно.

2. Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы гипотенуза, сложенная с каждой стороной при прямом угле, образовала куб.

Если образуем искомый [треугольник] на двух числах, как в предыдущей задаче, то нужно искать, какой квад­ рат при удвоении будет кубом; это квадрат на стороне 2.

Образуем искомый [треугольник] на а; и 2; тогда точно

подстановкам, находим, что х2 меньше 4 и, следовательно, X меньше 2. Приходится искать куб, который был бы меньше 4 и больше 2; таким кубом является 27/8. Тогда

X + 2 = 27/8; и х получается 11/8.

Итак, гипотенуза будет 377/64, а стороны при прямом угле — одна 135/64, а другая 5Ѵ2. Обратим в 64-е доли; треугольник будет 377, 135, 352, и все ясно.

3*. Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы его площадь, сложенная с данным числом, была квадратом.

Пусть данное число 5.

Возьмем треугольник заданного вида За:, 4а:, 5а:; его площадь плюс 5 будет

6а;2 + 5 =

Пусть этот квадрат будет 9а;2; отняв подобные от подоб­ ных, получим в остатке За;2 = 5. Нужно, чтобы один вид относился к другому, как квадратное число к квадратному числу. Все приводится к отысканию прямоугольного тре­ угольника и квадратного числа таких, чтобы квадратное число без площади треугольника было 5- й частью квадрата, так как заданное число 5.

Образуем (треугольник) на х <и Ѵа;), его площадь X? — -^5 ; пусть сторона квадрата равна сумме х и г/х, взятой в количестве, равном удвоенному заданному числу 10/а;,

151

Д И О Ф А Н Т

иостальное станет очевидным.

4.Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы его площадь минус заданное число была квадратом.

Пусть заданное число будет 6.

Возьмем треугольник данного вида (За:, 4а:, 5а:), и согласно предложению 6а;2 — 6 = Q .

Пусть квадрат 4а:2; опять задача сведется к нахождению прямоугольного треугольника и квадратного числа та­ ких, чтобы по вычитании этого квадратного числа из площади ушестеренный остаток был квадратом. Опять образуем треугольник на а: и 1/х, а сторона квадрата пусть будет X минус 1/а;, взятое в количестве, равном по­

ловине заданного числа, т. е. 3/х; тогда

6 — 10

[Умножив] на 6 [и на х2], получим 36а:2 — 60 = Q . Пусть этот квадрат будет на стороне 6а: — 2, откуда получается

[стороны] его в х-ах и, следуя предложенному, найду х

- ( — + іг) = Ы ) ■{Пѵим-™т,еа-)

152

А Р И Ф М Е Т И К А К Н И Г А V I

И если мы сделаем его х2, взятым квадратное число раз, то опять все сведется к нахождению прямоугольного тре­ угольника и квадратного числа таких, чтобы квадрат, сложенный с площадью, равнялся 10-й части квадрата.

Построим треугольник на х и 1/х, сторона квадрата

пусть будет — + 5x11 сумма с площадью 26х2 + 10. Уве­

предшествующем предложении.

6*. Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы площадь, увеличенная на одну из сторон при прямом угле, давала заданное число.

Пусть это число 7.

Возьмем опять треугольник, данного вида Зх, 4х, 5х; тогда 6х2 + Зх = 7. И нужно, чтобы половина количества X, умноженная на себя и приложенная к произведению количества х2 <на количество единиц), образовывала квадрат. Но он не получается; так что надо найти такой прямоугольный треугольник, чтобы квадрат на половине одной стороны при прямом угле вместе с семикратной

Разность будет х2 — 14х; делители х и х — 14; поло­ вина их разности, умноженная на себя, даст 49. Прирав­ нивая это меньшему квадрату, получим х = 24/7.

') Имеем 14зс + 1 = □, х2+ 1 ■=сумма квадратов катетов= □. Полу­ чается двойное равенство. (Цргш. пере’.)

153

Д И О Ф А Н Т

К подстановкам. Полагаю одну сторону при прямом угле треугольника равной 24/7, а другую 1. Умножая

то все сведется к нахождению прямоугольного треуголь­ ника такого, чтобы половина одной перпендикулярной стороны, умноженной на себя и увеличенной семикратной площадью, равнялась квадрату. И стороны искомого треугольника будут 7, 24, 25. Беру все в х-ах, и площадь после вычитания одной из перпендикулярных сторон будет

Пусть заданное число будет 6.

Возьмем опять треугольник данного вида. Все сведет­ ся к нахождению прямоугольного треугольника, у ко­ торого квадрат полусуммы перпендикулярных сторон, сложенный с ушестеренной площадью, давал бы квадрат. Положим, что одна сторона будет х, а другая 1; надо, чтобы

1Л** + з 1/»® + 1/4 = П

[Умножив] на 4, получаем

X2 + 14х + 1 = О-

[Кроме того, сумма квадратов катетов тоже равна квад­ рату]:

я2 + 1 =

*) —.7 *» 84. (Прим, перво.) 2

154

А Р И Ф М Е Т И К А К Н И Г А V I

[Имеем двойное равенство, в котором] разность 14z, де­ лители 2z и 7; половину их разности в квадрате [прирав­

чтобы полусумма гипотенузы и одной из перпендикуляр­ ных сторон, умноженная на себя <и увеличенная на учет­ веренную площадь, давала квадрат.

Образуем треугольник на 1 и z + 1; и произведение полусуммы гипотенузы и одной из перпендикулярных

155

Д И О Ф А Н Т

а учетверенная площадь 4л;3 -)- 12а;2 + 8х. Таким образом, придется искать [х такой, что]

а;4 + 8а;3 + 18а;2 + 12а; + 1 = Q

пусть он будет на стороне 6а' + 1 — а2; и а получается равным 4/5.

Итак, образуется треугольник на <1 и) 9/5. Множим

получаю 28а, 45а, 53а, а площадь, увеличенная на сум­ му гипотенузы с одной из перпендикулярных сторон;

630а2 + 81а = 4,

откуда а = 4/105.

пендикулярных сторон, равнялась заданному числу. Пусть заданное число 4.

И опять положим [треугольник] заданпого вида. Все сведется к отысканию прямоугольного треугольника та­ кого, чтобы его учетверенная площадь, увеличенная по­ множенной на себя полусуммой гипотенузы и одной из перпендикулярных сторон, давала квадрат. Можно пока­

ти прямоугольный треугольник такой, чтобы (разность катетов была квадратом), а также и больший из катетов был квадратом и, наконец, площадь, сложенная с мень­ шим катетом, образовывала квадрат.

Образуем треугольник из двух чисел и предположим, что наименьший катет получается из удвоенного произ­ ведения этих [чисел]. Теперь нужно найти два числа таких, чтобы их удвоенное произведение было квадратом, а также разность, на которую удвоенное произведение превышает разность их квадратов, тоже была квадратом.

156

А Р И Ф М Е Т И К А К Н И Г А V I

Это же бывает и с двумя любыми числами, когда большее число вдвое больше меньшего.

Остается сделать так, чтобы площадь треугольника, сложенная с наименьшим катетом, образовывала квадрат. Площадь треугольника в 6 раз больше биквадрата (мень­ шего) числа, и меньший катет равен утроенному квадрату того же числа. Делим все на квадрат меньшего числа; следовательно, будем искать такое число, чтобы его ше­ стикратный квадрат плюс 3 составлял квадрат.

Таковы единица и бесконечное множество других чисел; поэтому искомый прямоугольный треугольник строится на числа 1 и 2 ').

Д р у г а я [ л е м м а ], и у ж н а я д л я т о й же з а д а ч и . Для двух данных чисел, сумма которых со­ ставляет квадрат, можно найти бесконечное число квадра­ тов, каждый из которых, умноженный на одно из данных (и сложенный с другим числом), образует квадрат.

Пусть даны два числа 3 и 6.

Нужно найти квадрат, произведение которого иа 3, сложенное с 6, образует квадрат.

Пусть искомый квадрат х~ + 2х + 1 ; получаем За;2 -|- 6т -}- 9 = [Д;

и это возможно сделать бесконечным числом способов вследствие того, что число единиц является квадратным.

Пусть квадрат построен на стороне 3 — Зх и х равня­ ется 4; таким образом, сторона этого квадрата будет 5.

Можно найти и бесконечно много других квадратов. 12*. Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы его площадь, сложенная с любой стороной при прямом

угле, составляла квадрат.

Возьмем треугольник данного вида 5х, 12х, 13а;; по­

157

Д И О Ф А Н Т

30 раз, после прибавления упятеренного найденного числа образовывал квадратное число.

Пусть искомый квадрат будет х2; (если я вычту 30

и на остаток разделю 12, то получится) число ^4гзо ’ кваД"

60а;2 + 2520 было квадратом. Но х есть сторона некоторого квадрата; (следовательно, нужно его найти); взяв х2 шестьдесят раз и прибавив к 2520, мы должны получить квадрат. Таким образом, если, изменив треугольник, построим числа 60 п 2520 так, чтобы они в сумме давали квадрат, то задача будет решена. Но 60 [получилось] из произведения сторон, прилежащих к прямому углу, а 2520 — из произведения большего катета, разности ка­ тетов и площади. [Задача] сводится к нахождению такого прямоугольного треугольника, чтобы произведение сто­ рон при прямом угле, сложенное с произведением большего катета, разности этих катетов и площади, давало квадрат. И если мы положим, что больший катет есть квадрат, и разделим все на него, то нужно, чтобы меньший катет вместе с произведением площади на разность катетов образовывал квадрат.

Все сводится к нахождению двух чисел: (произведения) площади на разность катетов (и меньшего катета) — и к поискам некоторого квадрата, который, помноженный на одно из данных и (сложенный с другим), давал бы квадрат. Но имеются вышедоказанные леммы, и пусть треуголь­ ник будет 3, 4, 5. Полагаю его в z-ax; нужно сделать,

158

А Р И Ф М Е Т И К А К Н И Г А V I

то получится «число» ■xii^_g- • Квадрат его будет ^_|_3g6_ 12хз • Следовательно, ушестеренный квадрат вместе с утроенным

«числом» будет і <таким образом, 12а;2 -f-> 24

является квадратом, который, умноженный на меньшее из данных и сложенный с большим, образует квадрат. Таким числом является 25, так что х2 = 25; и х = 5.

Опять, если мы положим этот треугольник данного вида, как в предшествующем предложении, то дело све­ дется к нахождению прямоугольного треугольника, по­ добного 3, 4, 5. Положим его в х-ах; получится За:, 4а;,

5х и 6а? — 4а; = QJ.

Положим квадрат меньшим 6а?; тогда х появится как частное от деления 4 на избыток, который 6 имеет иад некоторым квадратом.

Если положить этот квадрат t2 х), получим, что нужно сделать

6а? — За; = | |.

Но

И если числитель вычтем из 96 с тем же знаменателем, то в остатке получим

12(2 + 24

(4 + 36 — 12(2 •

*) Это новое неизвестное Диофант обозначает тем же символом, что и пер­ вое. Во избежание путаницы мы вводим для него новую букву (. Диофант принимает, что 6** — 4* = І'хг. (Прим, ред.)

159