книги из ГПНТБ / Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах

К О М М Е Н Т А Р И И

Это он мог сделать методом задачи Пю, а именно найти два таких квадрата Z2 и У®, что

Получается определенная система трех линейных уравнении от трех неизвестных, которую можно решить по способу задачи П3.

и все четыре условия удовлетворены. При этом неизвестные выра­ жены как рациональные функции трех параметров.

левые части трех послѳдвнх уравнений, то получим удвоенную ле­

W 2 — V 2 = V 2 — I P

210

А Р И Ф М Е Т И К А К Н И Г А Ш

(эта задача является частным случаем задачи ІІі0 и решается ана­

где сами U, V, W являются рациональными функциями двух пара­

метров.

7.Задачи Шв и ІІІ9 эквивалентны системам

воначальной системы, которая после подстановки выражений для У1, У2, У3, У4 обращается в определенную совместную линейную

систему.

Задача П Ь решается аналогично.

К задачам Ills и ПЬ Ферма сделал следующие замечания: К задаче П Ь (№ IV):

«Я указал в моем примечании к задаче Ѵ30 [в нашем издании Ѵз? — И . Б .], как найти четыре такие числа, чтобы

сумма любых двух из них, увеличенная на заданное число, давала бы квадрат».

К задаче П Ь (№ V):

«Мое примечание к Ѵзі [у нас V2g — И . Б.] показывает,

как можно найти четыре такие числа, чтобы сумма любых двух ий них, уменьшенная на заданное число, была бы квад-

•ратон».

211

К О М М Е Н Т А Р И И

ставляя полученные значения для неизвестных в третье уравнение, найдем

(*) (В2 - а)(б2 - а)х2 + а = У*.

Хотя при выбранных Диофантом значениях параметров б и в последнее уравнение принимает вид

52*2 + 12 = У®,

т. е. является разрешимым (у него имеется рациональное решение X = 1, У3 = 8), однако Диофант как будто не замечает этого.

Почему? Мы полагаем, что здесь дело в том, что Диофант смотрел на в и б как на буквенные коэффициенты и искал условия, которые

нужно наложить на них, чтобы уравнение (*) было разрешимо не только при некотором случайном выборе в и б, но для всех значе­

ний их, принадлежащих некоторому классу, определенному этими условиями. Дальнейшие усилия Диофанта и направлены для на­ хождения этпх общих условий. Он замечает, что полученное урав­

нение будет иметь рациональные решения при условии, что

Диофант замечает, что легче всего удовлетворить этим требованиям, если взять £/■ = □ , V =

212

А Р И Ф М Е Т И К А К Н И Г А Ш

9.Задачи IIIis, ІШз эквивалентны] системам

впервые сводится к «двойному равенству». Проанализируем реше­ ние задачи ПЬз. Диофант выбирает в качестве У2 произвольный

213

К О М М Е Н Т А Р И И

((у2 + і)х + 2у3 = У2,

\(у- + 1)х + 2у = У3.

Получаем первый тип «двойного равенства», которое Диофант ре­ шает тем же способом, что и в задачах ІІц — ІІіз-

Задача ІІІіз решается аналогично, однако здесь Диофант приходит к «двойному равенству» нового вида. А именно, полагая

он обращает первое уравнение в тождество, а второе и третье уравнения дают

Вычитая одно уравнение пз другого и полагая

Г* + Уз = V (ß2* + 1),

Уз — Уз = —

получим

У2== ß2 + Т3 (ß2* + l)

2т

Чтобы после подстановки в уравнение уничтожался член с х1

примем

4ß2T2 = T4ß4, т. е. у2 = А .

В результате получим

( 4 + ß 4)2 Г 1

8ß2(ß‘ - 6 ) L 4

т. е. решение будет зависеть только от одного параметра. Таким образом, из многообразия А 3 выделяется рациональная кривая.

10. Метод решения задачи Н іи , которая определяет А 3 в Q

можно обобщить, если положить

Тогда

/с2— 16ß4 33aß2 + 8aA '

214

А Р И Ф М Е Т И К А К Й И Р А I I I

каждая из которых определяет А 3 в Q®.

последних дают «двойное равенство», которое решается обычным способом. Диофант получает х = 4 (ß2 + ß + 1), т. е. неизвестные

выражаются как рациональные функции от одного параметра. Диофант, усмотрев, вероятно, что первое решение носит част­

ный характер, приводит второе, более общее решение: он полагает Хі — X , Х 2 = у (у = 3 ) , Уі = е (s = 5); тогда из первого урав­

нения

Обозначим Х 3 — t (у Диофанта Х 3 обозначается тем же символом,

что и первое неизвестное); тогда второе и третье уравнения, после соответствующих подстановок, дают «двойное равенство»

( т + і ) * + т = у г ,

Для разрешимости этой системы в рациональных числах Диофант требует, чтобы коэффициенты при неизвестном относились друг к другу, как квадраты (это условие будет достаточным), т. е.

215

К О М М Е Н Т А Р И И

Уі = ßz — у (у = 3), получим

T » - ß * + l '

2ß (ß + T)

После подстаиоіікм новых значений неизвестных во второе и тре­ тье уравнения получим «двойное равенство», которое разрешается методами задач П а — ІІіз. В результате неизвестные выражаются через рациональные функции трех параметров.

Задачу 16 Диофант решает тем же способом, который был при­ менен при втором решении задачи ]ІІі5.

Замечание Ферма к задаче Ш и (№ VI):

«У Диофанта имеется другая задача, Ѵ5, посвященная

двух из них, увеличенное па сумму этих же квадратов, было бы квадратом.

Мы можем дать бесконечно много решений этого вопро­ са. Вот, например, одпо из них: три квадрата

удовлетворяют предложенному условию.

Но можно пойти дальше и распространить вопрос Дио­ фанта. Так, мы решили следующую более общую задачу и можем дать бесконечное число ее решений:

Найти четыре числа таких, чтобы произведение любых двух из них, увеличенное па сумму этих же чисел, давало квадрат.

Сначала найдем, согласно Ѵ5, такие три квадрата, что произведение любых двух из них, увеличенное на сумму этих же квадратов, дает квадрат. Пусть это будут, например, три квадрата, пайдепные Диофантом:

Возьмем эти три квадрата в качестве трех первых чисел на­ шей задачи; пусть х будет четвертым; образуя его произведе­

ния с каждым из предыдущих и прибавляя сумму обоих множителей, получим

216

А Р И Ф М Е Т И К А К Н И Г А I I I

Возникает тройное равенство, которое мы разобрали в при­

Дпофант не приводит этих формул, но говорит как о чем-то хоро­ шо известном об «образовании прямоугольного треугольника из двух чисел» и пользуется ими, когда составляет треугольники из чисел 7 и 4 и из чисел 8 и 1.

Заметив, что если я, Ь, с — стороны прямоугольного треуголь­

квадратов четырьмя различными способами. Для этого он берет два

прямоугольных треугольника «в наименьших числах» (т. е. стороны которых целые и не имеют общего делителя): (3, 4, 5) н (5, 12, 13) — и утверждает, что произведение их гипотенуз, т. е. 65, будет

217

К О М М Е Н Т А Р И И

представляться суммой двух квадратов двумя различными спосо­

которое является первым известным в истории математики приме­ ром композиции квадратичных форм. Вероятно, Диофант знал эту формулу. Это можно заключить из его слов, что число 65, «по своей природе», допускает представление в виде суммы двух квадратов «двумя способами», потому, что «65 получается от произведения

13 и 5, а каждое из этих чисел раскладывается на два квадрата». Он знал также, что 65 является гипотенузой четырех прямо­

угольных треугольников с целочисленными сторонами, иначе го­ воря, что квадрат числа, представимого суммой двух квадратов двумя различными способами, сам представим в таком же виде четырьмя различными способами.

Но знал ли Диофант, что каждое простое число вида 4л + 1 представимо суммой двух квадратов и притом единственным спо­ собом? Мы вернемся к этому вопросу при разборе задачи Ѵв, пока же скажем только, что именно задача ІІІі0навела Баше, а вслед за ним и Ферма на мысль об исследовании представимости целых чисел и, в частности, простых в виде суммы двух квадратов. Свои результаты Ферма изложил в примечании к комментарию Баше, относящемуся к этой задаче, в котором ставился вопрос о том, сколькими различными способами можно представить заданное целое число суммою двух квадратов.

Вот это примечание Ферма (№ VII):

«Простое число, которое превосходит иа единицу кратное четырех, только один раз является гипотенузой прямоуголь­ ного треугольника, его квадрат — два раза, его куб — три раза, его биквадрат — четыре и т. д. до бесконечности.

Это же простое число и его квадрат только одним спо­ собом представляются суммой двух квадратов; его куб и его биквадрат — двумя, его' квадрато-куб и кубо-куб — четы­ рьмя п т. д. до бесконечности.

Если простое число, представимое суммой двух квад­ ратов, умножается на другое простое, также представимое суммой двух квадратов, то их произведение дважды пред-

*) Хотя Диофант пе оговаривает этого, дело идет о представимости цело численными квадратами. Ведь Диофанту было хорошо известно, что если число представимо суммой двух рациональных квадратов, то оно представимо в таком же виде бесконечным числом способов (см. задачу Н?),

218

Арифметика книга ш

ставимо суммой двух квадратов; если множителем будет квадрат второго простого числа, то произведение будет триж­ ды представимо суммой двух квадратов; если множителем будет куб второго простого числа, то произведение будет представимо суммой двух квадратов четырьмя способами и т. д. до бесконечности.

Из этого легко определить, сколькими способами задан­ ное число представляется гипотенузой прямоугольного тре­ угольника.

Надо взять все простые числа, превосходящие на еди­ ницу кратное четырех, содержащиеся в данном числе, нап­ ример 5, 13, 17. Если данное число содержит степени этих простых множителей, то надо взять эти степени вместо про­ стых множителей: пусть, например, данное число содержит

5 в 'кубе, 13 в квадрате и 17 как простую сторону. Тогда надо взять показатели всех множителей, а имен­

но для числа 5 показатель 3, присущий кубу, для числа 13 показатель 2, присущий квадрату, а для числа 17 просто единицу.

Надо упорядочить как угодно показатели, о которых шла речь, например, пусть порядок таков: 3, 2, 1.

Надо умножить первый на второй, удвоить и прибавить сумму первого и второго, будет 17. Затем умножить 17 на третий показатель, удвоить п сложить с суммой 17 и треть­ его, будет 52. Тогда данное число будет гипотенузой 52 раз­ личных прямоугольных треугольников. Метод останется неизменным, каково бы ни было число множителей и их степени.

Другие простые числа, которые не превосходят кратное четырех на единицу, так же как их степени, ничего не до­ бавляют к искомому числу и ничего от него не убавляют.

Найти число, которое будет гипотенузой столько раз, сколько это желательно.

Пусть надо найти число, которое представлялось бы гипотенузой семью различными способами.

Данное число 7 удваиваем, будет 14. Прибавляем еди­ ницу, будет 15. Берем все простые делители 15, будет 3 и 5. Вычитаем из каждого единицу и берем половину остатков, получим 1 и 2. Возьмем теперь столько различных простых множителей, сколько имеется чисел, а именно два, и перем­ ножим между собой эти простые множители, придав им по­ казатели 1 и 2, именно один на квадрат другого; так получим

219