книги из ГПНТБ / Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах

КОММЕНТАРИЙ

число, удовлетворяющее условию, лишь бы только простые числа на единицу превосходили кратное четырех.

На основании этого легко иайтн наименьшее число, ко­ торое представлялось бы гипотенузой столькими способами, сколько это желательно.

Н айти число, которое представлялось бы суммою двух квадратов столькими способами, сколько это желательно.

Пусть предложено 10 способами. Удвоенное его 20, берем все простые множители, получим 2, 2, 5. Вычитаем из каждого но единице, получим 1, 1, 4. Значит, нужно взять три простых числа, каждое из которых превосходит на еди­ ницу некоторое кратное четырех, например числа 5, 13, 17; взяв квадрато-квадрат одного из них (из-за показателя 4), умножим на остальные два и получим, таким образом, ис­ комое число.

На основании этого легко найти наименьшее число, ко­ торое представимо суммой двух квадратов столько раз, сколь­ ко это желательно.

С другой стороны, вот метод, чтобы узиать, сколькими способами заданное число может бить составлено из двух квадратов'.

Пусть дано число 325. Его простыми делителями, кото­ рые превосходят на единицу кратное четырех, будут 5, 13, последнее — один раз, а первое — в квадрате. Возьмем по­ казатели 2, 1. Сложим их произведение и сумму, это дает 5, прибавим единицу, что дает 6, берем половину 3. Значит, столькими способами данное число составляется пз двух квадратов.

Если получатся три показателя, например 2, 2, 1, то процедура будет такова. Произведение двух первых, сло­ женное с их суммой, даст 8. Умножаем на третий и прибав­ ляем сумму сомножителей, что дает 17. Прибавляем, нако­ нец, единицу, что дает 18, половина которого есть 9. Столь­ кими способами предложенное число будет составляться нз двух квадратов.

Если последнее число, от которого нужно взять поло­ вину, будет нечетным, то от него следует отнять единицу и взять половину остатка.

Можно еще задаться следующим вопросом: найти целое число, сумма которого с заданным числом будет, квадратом и которое, с другой стороны, будет гипотенузой стольких прямоугольных треугольников, сколько это желательно.

220

Арифметика книга іѵ

Этот вопрос труден. Если, например, требуется найти число, которое будет дважды гипотенузой и при прибавлении 2 дает квадрат, то число 2023 удовлетворяет условию, имеется и бесконечно много других, как 3362 и т. д.».

чисел. Опа получила название первого дополнения к закону вза­ имности.

14. Задачи 11120 и III« совпадают соответственно с задачами Ills и 11і,і. Решения, предложенные в книге III, существенно пе от­ личаются от предыдущих.

КОММЕНТАРИИ К КНИГЕ IV

В этой книге появляются уравнения третьей и более высоких степеней, как определенные, так и неопределенные. Кривые, по­ верхности и многообразия размерности ^ 3, которые встречаются здесь, уже, вообще говоря, не рациональны, неизвестные уже не могут быть выражены как рациональные функции от соответству­ ющего числа параметров. Поэтому Диофант для нахождения рацио­ нальных решений применяет здесь существенно новые методы.

Задачи IVj 2, ІѴ18 и ІѴ31_да являются определенными. Задачи 1Ѵ3_14 и ІѴ26 эквивалентны системам уравнений, задающих рацио­ нальные многообразия. Задачи ІѴ«, 1Ѵ26_28 сводятся к нахожде­

нию рациональных точек на эллиптической кривой (т. е. кривой

ния материала предыдущих книг, другие представляют самостоя­ тельный интерес. Так, например, в задачах ІѴ2в и ІѴ30 Диофант

пользуется тем, что каждое целое число можно представить в виде

221

КОММЕНТАРИИ

суммы четырех квадратов, из чего можно заключить, что он знал доказательство этого предложения (недоказанными предложе­ ниями греческие математики никогда не пользовались). Инте­ ресны также леммы этой книги (их две) и задача 1VW, в кото­ рых решение требуется найти «в общем виде», т. е. найти общие формулы для решений.

1. Задачи ІѴЬЗ определенные. Они сводятся к квадратны уравнениям, причем коэффициенты подобраны так, что корни ра­ циональны.

В своем издании «Арифметики» Диофанта Баше де Мезириак присоединил к этим задачам еще пить задач, первые три из которых

Во всех трех случаях для нахождения рациональных решений Баше применяет «метод касательной», который у Диофанта встре­ чается впервые в задаче ІѴ21. Так, например, для решения первой из задач Баше делает подстановку

Положив к = ЪЧа3 (подробнее об этом методе см. в комментарии к

1Ѵ21), он находит

Для того чтобы решения были положительными, Баше вводит ог­

«Повторяя операцию, легко можно избавиться от усло­ вия [т. е. от ограничения.— И . Б.] и решить общим образом

как этот вопрос, так и следующие, чего не смогли сделать ни Баше, ни сам Виет.

Пусть даны два куба 64 и 125; требуется найти два дру­ гих куба, сумма которых была бы равна разности данных.

222

АРИФМЕТИКА КНИГА XV

разность их равна разности двух данных кубов; но, после того как они найдены методом задачи 3, поскольку удвоен­ ный меньший не превосходит большего, их можно взять в качестве данных задачи 1.

Таким образом, мы получим два данных куба и будем искать два других, сумма которых равна разности данных; так как условие, указанное для задачи 1, выполнено, то решение можно получить без затруднений. Но разность ку­ бов, найденных путем решения задачи 3, равна разности двух первоначально заданных кубов 64 и 125; итак, ничто не мешает построить два куба, сумма которых равна разности данных 64 и 125, что, конечно, удивило бы самого Баше.

Более того, проходя по кругу эти три задачи и повторяя это до бесконечности, получим бесконечно много пар кубов, удовлетворяющих одному и тому же условию; действительно, после того как мы нашли два куба, сумма которых равна разности данных, мы можем методом задачи 2 найти два других, разность которых равна сумме наших двух кубов, т. е. разности первоначально данных; от разности мы перей­ дем к сумме и так до бесконечности».

Относительно задач 2 и 3 Баше де Мезириака Ферма замеча­ ет (№ IX):

«Условие, наложенное на задачу 3, незаконно, как мы покажем, действуя так же, как и в случае задачи 1.

Более того, на основании вышеизложенного мы благо­ получно решим задачу, неизвестную Баше:

Данное число, составленное из двух кубов, разложить на два других куба,

и это бесконечным числом способов, путем непрерывного повторения операций, как это было указано выше.

Пусть надо найти два куба, сумма которых равна сумме других двух 8 и 1. Сначала на основании задачи 2 найдем два куба, разность которых равна сумме данных; они будут 8000/343 и 4913/343.

Так как удвоенный меньший превосходит больший, то дело сводится к задаче 3, от которой перейдем к задаче 1 и получим решение.

Если мы хотим получить второе решение, то возвра­ щаемся к задаче 2 и т. д.

Чтобы показать, что условие, наложенное на задачу 3. незаконно, возьмем два куба 8 и 1 и найдем два других куба, разность которых равна разности данных.

223

.сЗ + (/^Ѵ Ѵ - = уз.

Это уравнение определяет рациональную кривую третьего порядка, Дпофант полагает = ßx (ß = 2) и получает

Легко проверить, что р, д, ß в свою очередь рационально выража­ ются через Х г, Х 2, Х 3, Y x, У„. Таким образом, установлено, что

рассматриваемое многообразпе рационально.

4. Задача IV7 по своей постановке эквивалентна системе

224

Таким образом, неизвестные выражаются в виде рациональных функций от двух параметров.

и определяет пространственную кривую, Диофант полагает Х 2 = х,

нальным. Диофант замечает, что уравнение будет иметь решение,

если

Таким образом, неизвестные выражаются в виде рациональных функций параметра.

6. Задача ІѴ9 сводится к системе

(Z3 + Х 2 = У,

U l + ^2 = П

которая определяет пространственпую кривую. Диофант полагает АД = ßx (ß = 2), У = ух {у — 3),- тогда Х 3 = уяз? — ßx и второе

уравнение обращается в тождество. Из первого получаем

5 "

X

35_

Диофант отмечает, что при выбранных зиачепнях ß и у неиз­

вестное, т. е. неизвестное число (ipiftp.öq), «не рационально». Это замечание показывает, что Диофант зиал об иррациональных числах.

Диофант приходит к повои задаче: найти такие два числа и г

и По, чтобы

<7і + Ui _ D

ul + ul

Положив U1 -j- Ho = p, Ui = t (Днофапт обозначает это новое

неизвестное тем же символом, что и первое), ои приходит к урав­ нению

3/- — 3pt + р~ = (Г,

которое решает методом А, т. е. принимает сторону неизвестного квадрата равной р — 6f (р = 2, б = 4).

Определив п Н2, Диофант возвращается к первоначальной задаче и находит Х х, Х 2, У как рациональные функции одного пара­

метра.

7. Решение задачи ІѴ10, которая эквивалентна уравнению

X я -I- У3 = X + У,

сводится к решению предыдущей задачи.

Баше в своем издании «Арифметики» присоединил к этой за­ даче следующую: «Найти два куба, сумма которых находится в за­ данном отношении к сумме их квадратов». Баше предполагает при этом, что отношение будет вида р3 или Ѵз р"-.

226

КОММЕНТАРИИ

Ферма заметил по этому поводу (№ XII):

«Условие незаконно, так как оно не общее. Нужно до­ бавить: „или быть произведением (квадрата) на простое чис­ ло, которое превосходит па единицу кратное трех, или на число, составленное из таких простых чисел“, как 7, 13, 19, 37 и т. д. или 21, 91 и т. д. Доказательство и решение получаются из нашего метода».

9.Решение задачи ІѴ12, эквивалентной уравнению

А3 + У = У3 + X , X > У,

сводится к решению задачи ІѴи .

10.Задача ІѴІЗ эквивалентна системе

+1 = У?,

Диофант полагает Ух = у і + 1 (у = 3), тогда Х г — у*х* + 2уі.

Первое уравнение удовлетворено, и он переходит к третьему. Чтобы обратить его в тождество, он использует соотношение

а — Ь\ 2 _(а -\-Ъ\*

ab

тогда

у 3 __ (Т2 ~Ь 1) х + Зу

Теперь удовлетворены все уравнения, кроме последнего. После соответствующих подстановок оно принимает вид

Ах* + В х + С = У2,

где С = у2. Его униформизацию Диофант производит методом А,

после чего все неизвестные выражаются как рациональные функ­ ции от двух параметров.

11.Задача ІѴи эквивалентна уравнению

вуравнение, получает

У2 = t* + 2at — 2а3.

228

АРИФМЕТИКА КНИГА IV

после чего все неизвестные оказываются выраженными как рацио­ нальные функции от двух параметров.

12.Задача ІѴ15 является определенной.

13.Задача IV1(j эквивалентна системе

Диофант принимает этот квадрат равным 169а2/2, где / — новое не­ известное. Диофант обозначает его тем же символом, что и старое, отчего могут произойти недоразумения. Если иметь в виду, что / —•

229