книги из ГПНТБ / Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах

КОММЕНТАРИИ

Вычитая второе уравнение из первого, Диофант находит

Чтобы корни были рациональны, необходимо и достаточно выпол­ нение условия

т. е., как и в предыдущих трех задачах, приходит к эллиптической кривой, координаты точек которой нельзя выразить как рацио­ нальные функции параметра. На этой кривой лежит рациональная точка, а именно (0; 1 ), поэтому можно найти еще одну рациональную

точку. Для этого Диофант применяет новую подстановку, он по­ лагает сторону неизвестного квадрата равной Зх2 — 6х -|- 1 и по­

лучает X = 9/8.

Мы вернемся еще к этому новому методу Диофанта, а сейчас заметим только, что подстановку Диофанта, с помощью которой он свел задачу к уравнению (*), можно обобщить, положив

У х — X —(— GC, У д — X ---- ССг

Тогда мы получим, как и в предыдущих задачах, эллиптическую кривую, коэффициенты которой зависят от параметра (или, если

фициенты подобрали так, чтобы в результирующем уравнении унич­ тожались члены с X4, X и свободный член. Тогда х = 9/(8а2).

Метод Диофанта, заключающийся в том, что через рациональ­ ную точку эллиптической кривой четвертого порядка проводится не

240

АРИФМЕТИКА КНИГА IV

прямая, а парабола, на которую наложены те или иные условия, также был замечен Ферма и подробно описан де Бильи в его «Новом искусстве» («Inventum novum»; этот трактат, а также его перевод на

«Но имеется, как мы уже говорили, еще и другой способ решения этой формулы: он состоит в том, что сначала пред­ полагают, как и раньше, что корень равен / + р Х + gX2, и затем определяют р таким образом, что уничтожаются чет­

вертые члены; это можно сделать, полагая в основном урав-

d

нении d = 2gp или р = ~2g~ • так какі кроме того, первые и

последние члены также уничтожаются, то остальные члены можно будет разделить на X , и получим уравнение

Ъ -}- сХ — 2/р -ф* 2f g X 4- р 2Х ,

которое дает

Ь - 2/р

А' == 2

fg + р2 — с

(там же, § 135).

241

КОММЕНТАРИИ

24.Второе решение задачи ІѴав состоит в том, что путем под

становки A'j = .г-2 — л.-, Л'., = X первое уравнение обращается в тож­

т. е. на исследуемой поверхности выделяется рациональная кривая. 25. Задачи ІѴзд п ІѴ30эквивалентны соответствеипо уравнениям

Диофапт полагает в первом случае я = 12, а во втором а — 4 и в

обоих случаях дополняет левые части до суммы четырех квадра­ тов, после чего правые части, которые примут вид а -j- 1 , он пред­

ставляет в виде суммы четырех рациональных квадратов.

Диофант не налагает никаких дополнительных условий на чи­ сло а, откуда можно заключить, что он знал о том, что любое целое

число представимо в виде четырех рациональных квадратов. Однако в обоих случаях а выбрано так, что я -j- 1 является простым числом вида Ап -А 1. Диофант представляет его в виде суммы двух квадра­

тов, каждый из которых он вновь раскладывает на сумму двух ра­ циональных квадратов.

Баше заметил, что всякое число является либо квадратом, либо суммой двух, трех ллн четырех целочнелеппых квадратов. По-ви- дпмому, ой пришел к этому предложению чисто эмпирически, ни­ каких попыток доказать его он но сделал.

Ферма добавил к этому замечанию Баше следующее (№ XVIII): «Более того, мы открыли впервые прекраснейшее и наи­ более общее предложение, а именно: каждое число является либо треугольным, либо суммою двух или трех треугольных; либо квадратом, либо суммою двух, трех или четырех квад­ ратов; либо пятиугольным, либо суммою двух, трех, четырех пли пяти пятиугольных, и так далее до бесконечности, для шестиугольных, семиугольных пли любых многоугольных чисел; это чудесное и общее предложение может быть выска­

зано, очевидно, для любого числа углов.

Здесь невозможно дать его доказательства, которое за­ висит от многочисленных и сокровеннейших тайн науки о числах; мы намерены посвятить этому предмету целую

242

А Р И Ф М Е Т И К А К і-ІЙ ГА IV

книгу и продвинуть удивительным образом ату часть Ариф­ метики за пределы, известные в древности».

Теоремой, высказанной Баше, занимался впоследствии Л. Эй­ лер, полное доказательство ее получил Ж. Лагранж в 1770 г. Дока­ зательство теоремы Ферма о представимости любого целого числа суммою пе более п п-угольных чисел предложил О. Коши (публи­

которое при выбранных Диофантом значениях параметров не имеет рациональпых корней. Поэтому Диофант рассматривает параметр ß как новое переменное и приравнивает дискриминант квадрату,

что дает

(Ь + а + I)2 + 4а (Ь + 1) ß2 = □ .

Поскольку свободный член в этом неопределенном уравнении яв­ ляется полным квадратом, то дальнейшее решение проводится по методу А.

При втором решении Диофант полагает

Хг = X — а , Х2 = 1 + а — X , У = ßa: . (ß = 2),

после чего второе уравнение принимает вид

X (а -|- 5 + 1 — х) = ß+ 2

и

а+ b + - 1

х= ß24-1 '

Параметризация неизвестных получена, однако остается еще учесть

откуда

Ъ1 +Ь

244

А Р И Ф М Е Т И К А К Н И Р А IV

Тогда второе уравнение примет вид

* + а + 7 + ^ (аі~ а) = й(аг~ а)Т + ^ -

Диофант решает сначала задачу, принимая одно из искомых чисел за неизвестное х, а другому придавая конкретное числовое значе­

ние. После этого ои проводит анализ задачи и дает общее ее реше­ ние, которое мы бы теперь представили в виде

245

Ограничение Диофанта достаточно для существования рацио­ нального решения, однако оно не является необходимым.

31. Лемма к задаче ІѴ35 аналогична лемме к задаче 1Ѵ*і. Реше­

Решение Диофанта следует обычному пути: сначала оп придает чис ловое значение параметру к и одному из неизвестных, тогда второе

неизвестное получает определенное числовое значение. Анализируя, с помощью каких арифметических операций это значение было получено, Диофант находит общую формулу, эквивалентную

которую он формулирует словсспо.

Эту лемму оп применяет при решении задачи ІѴзо, которая эквивалентна следующей определенной системе уравиепий:

Ход решения аналогичен тому, который был применен в ІѴ34. 33. Задача ІУзт, как и предыдущая, является определенной.

Диофант решает ее путем остроумного введения дополнительного неизвестного, что позволяет ему провести алгебраический анализ задачи.

34. Задача ІѴзз эквивалентна системе

246

может быть целым только прн а = 1. Ферма заметил по этому поводу (№ XX):

«Сделанные Баше попытки недостаточно точны. Дей7 ствителыю, возьмем в качестве F3 произвольный куб, сторона

247

КОММЕНТАРИИ

которого превосходит кратное трех на единицу. Например,

2z2 — 344 нужно приравнять треугольнику *);

значит,

16z2 — 2751 будет равно квадрату,

вкачестве корня которого можно взять, если угодно, 4z — 3*

ит. д.

На самом деле ничто не мешает обобщить метод и взять вместо 3 другое произвольное нечетное число, только надо выбрать соответствующий куб».

35. Задача ІѴзв эквивалентна системе

Решая это «двойное равенство» обычным способом, Диофант полу­

248

причем он явно формулирует, чему будет равно неизвестное, беря к произвольным, т. ѳ. не придавая ему, как обычно, некоторого чис­

число, меньшее двух. В качестве значения параметра ft можно взять любое рациональное, большее 5, и каждому такому значению будет отвечать решение.

В замечании к этой задаче Баше исследует «двойное равенство»

ах + Ъ = □ , ахх + Ьх = □

в случае, когда а и ах различны и не имеют между собой отношения,

как квадрат к квадрату, а свободные члены являются неравными ччислами.

Баше показал, что решение возможно также в случаях:

а\Ь— Ьіа

2) если ----- —------является квадратом (а > аД.

Ферма пишет по этому поводу (замечание № XXI):

«Но пусть будет предложено, например, двойное равен­ ство: 2х + 5 и 6і + 3 равны квадрату:

2х + 5 можно взять равным 16,

6г + 3 можно взять равным 36,

и можно найти бесконечно много других, удовлетворяющих задаче. К тому же нетрудно дать общее правило для решения задач этого рода, так что ограничения, данные Баше, едва

249