книги из ГПНТБ / Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах

Д и о ф а н т

1Ѵ2 а:2 -f- Ѵ2. Умножение ее на самое себя дает

г 1 / * * 4 + I V , * а + Ѵ 4 .

Если из этого я вычту полусумму кубов, равную а:3 + За:, то в остатке получится

Прибавим к обеим частям недостающие и отбросим подоб­ ные члены, остается

32а3 = 36а2,

иа получается равным 9/8.

Кподстановкам. Я построил кубы на сторонах: один на а + 1, а другой на а — 1, и стороны будут 17, а дру­ гая 1 [восьмых долей], а сами кубы — один 4913/512, а другой 1/512.

Явозвращаюсь к начальной задаче и ищу, чтобы про­ изведение этих чисел вместе с суммой давало куб 4913/512, а без суммы куб 1/512. Так как произведение вместе с суммой дает куб 4913/512, а произведение минус сумма дает куб 1/512, то удвоенная сумма будет равна разности того и другого 4912/512, так что сумма будет 2456/512. Но произведение их вместе с суммой равно 4913/512, где сумма 2456/512, значит, произведение равно 2457/512. Это уже было показано в первой книге, а теперь будет показано ради самой задачи.

Положим 1-е число равным х плюс полусумма обоих, т. е. 1228/512; тогда 2-е число будет 1228/512 — х, и сумма равна 2456/512; произведение же равно

1507984 2 2457

262144 Х" ~~ 512 '

110

А РИ Ф М ЕТИ К А К Н И ГА IV

Умножим все на знаменатель, т. е. 262144, и из подобных вычтем подобные; получится 262144а:2 = 250000; и х равен 500/512.

Кподстановкам. 1-е число будет 1728/512, а 2-е 728/512,

идоказательство очевидно.

И н а ч е . Найти два числа таких, чтобы их произве­ дение после прибавления или вычитания их суммы было кубом.

В подобных задачах всякое квадратное число, разло­ женное на сторону и остаток, образует [два числа], про­ изведение которых, сложенное с суммой, будет кубом. Действительно, возьмем квадрат z3 и разложим его на [две части]: сторону и остаток. Они будут z и z2 — х, и их произведение, сложенное с суммой, будет кубом.

Остается [сделать], чтобы их произведение минус сум­ ма давало куб. Но их произведение без суммы будет х3 — —2z2; это будет равняться кубу, меньшему, чем z3. Я обра-

1 в

зую -gZ3 и множу все на 8. Получится

8z3 — 16z2 - z3;

иz получается равным 16/7.

Кподстановкам. 1-е число будет 16/7, 2-е 144/49.

29*. Найти четыре (квадратных) числа, сумма которых, сложенная с суммой из сторон, давала бы заданное число.

Пусть это число будет 12.

Всякий квадрат, сложенный с собственной стороной и одной четвертью, дает квадрат, сторона которого минус Ѵ2 образует некоторое число, являющееся стороной пер­ воначального квадрата; следовательно, четыре [искомых] числа, сложенные с собственными сторонами, равняются 12, а с прибавлением четырех четвертей образуют четыре квадрата. Но 12, сложенное с четырьмя четвертями (т. е. 1), дают 13. Это 13 надо разделить на четыре квадрата: если из стороны каждого я вычту Ѵ2, то получу стороны искомых четырех квадратов.

Разложим 13 на два квадрата 4 и 9, а затем каждый из них разложим на два квадрата: один на 64/25 и 36/25, а другой на 144/25 и 81/25. Взяв теперь стороны каждого 8/5, <6/5; 12/5), 9/5, вычту из каждой по 1/2; это и будут

111

Д И О Ф А Н Т

30. Найти четыре квадрата, сумма которых минус сумма их сторон давала бы заданное число.

Пусть это число будет 4.

Так как нужно, чтобы 1-й [квадрат] без своей стороны и 2-й без своей стороны и 3-й и 4-й также без своих сторон, [сложенные вместеі, давали 4, а всякий квадрат без своей стороны, но с добавлением Ѵ4 дает квадрат, сторона кото­ рого с прибавкой 1/2 представляет сторону первоначаль­ ного квадрата, то все четыре искомых квадрата без своих сторон, но с добавлением четырех четвертей, т. е. 1, об­ разуют сумму четырех квадратов. Но и сумма четырех [искомых квадратов] без своих сторон равна 4, а если при­ бавить 1, то она обратится в 5. Итак, мне нужно разделить 5 на четыре квадрата. [Если к каждой стороне я прибав­ лю Ѵ2, то найду стороны искомых квадратов.] *)

Итак, 5 разделяется на четыре квадрата: 9/25, 16/25, 64/25 и 36/25. Беру стороны этих квадратов: они будут 3/5, 4/5, 8/5 и 6/5. Прибавляю к каждой 1/2 и нахожу стороны: 11/10, 13/10, 21/10, 17/10. Следовательно, искомые квад­ раты будут: 121/100, 169/100, 441/100 и 289/100.

31. Единицу разложить на два числа и прибавить к каждому по такому заданному числу, чтобы произведение [сумм] было квадратом.

Пусть будет нужно разложить 1 на два числа и приба­ вить к одному 3, а к другому 5 и сделать произведение квадратом.

Положим 1-е число х, а 2-е 1 — х\ если к 1-му приба­ вить 3, то оно станет х + 3; если же ко 2-му прибавить 5, то оно будет 6 — х; их произведение Зх + 18 — х2 = Q . Пусть это будет 4z2. Придадим к обеим частям недостаю­ щее, получим Зх + 18 = 5х2, и равенство не рационально.

Но 5 есть квадрат, сложенный с 1; надо, чтобы это ко­ личество, умноженное на 18 и сложенное с половиной от

112

вить к каждому по заданному числу, так чтобы произве­ дение сумм было квадратом.

Нужно 1 разложить на два числа; к одному прибавить 3, а к другому 5, и произведение сделать квадратом.

Полагаю 1-е z минус 3, т. е. то число, которое надо при­ бавить. Тогда оставшееся 2-ѳ число будет 4 — х.

Если к 1-му прибавляется 3, то получается z, а если ко 2-му 5, то будет 9 — х. Их произведение будет 9z — z2, что нужно приравнять к квадрату; пусть он будет 4z2:

9z — z2 = 4z2,

иz получается 9/5.

Кподстановкам. Не могу отнять 3 от х.

Значит, нужно, чтобы z был больше 3, но меньше 4. Но X найден делением 9 на 5, которое будет квадратом плюс 1. Если же 9 после деления на некоторый квадрат плюс 1 дает 3; то, следовательно, число, на которое мы делим, будет 3; но частное от деления 9 на квадрат плюс 1 должно быть больше 3, так что квадрат с 1 (будет мень­ ше 3>, и если отнять 1, то квадрат будет (меньше) 2.

Далее, мы хотим разделить 9 на квадрат с і и получить 4. Тогда на что мы делим (будет 21/4. На что же делится) 9 будет квадрат с 1, так что если частное должно быть меньше 4, то квадрат с 1 будет больше, чем 274. Отнимем 1; квадрат будет больше 1Ѵ4.

Но показано, что квадрат меньше 2; и мне приходится искать некоторый квадрат, который больше 1Ѵ4, но мень­ ше 2.

Разложу это на квадратичные доли, именно на 64-е; они обратятся в 80 и в 128; теперь уже будет легко: квад­ рат будет 100/64, т. е. 25/16.

113

Д И О Ф А Н Т

Теперь возвращаюсь к первоначальной задаче; я искал

95

9х — х2 = по найденному этот квадрат =^-х2; и х по­

лучается 144/41.

К подстановкам. 1-е число будет 21, а 2-е 20 [сорок первых].

32*. Данное число разложить на такие три части, что­ бы произведение 1-го на 2-е плюс или минус 3-е было квадратом.

Пусть данное число будет 6.

Положу 3-е число х, а 2-е составлю из числа единиц, меньпіего чем 6; пусть их будет 2. Тогда 1-е число будет 4 — X. Остаются два условия относительно произведения 1-го на 2-е: если к нему прибавить или из него вычесть 3-е, то должен образоваться квадрат.

И получается двойное равенство:

8 — X = Q и 8—Зх = [ 3

И рациональным оно не будет, так как отношение чисел при X не является отношением между квадратными чис­ лами.

Но [число] при X на 1 меньше 2, а при Зх — на 1 боль­ ше 2. Мне приходится искать некоторое число, вместо 2, такое, чтобы после прибавления и вычитания 1 (полу­ ченные числа имели между собой отношение, как квадрат к> квадрату.

Пусть искомое число будет х; если к нему прибавить 1, оно будет X + 1, а если отнять, то х — 1. Мы хотим, чтобы эти количества имели между собой отношения квадратных чисел. Пусть это отношение будет 4 к 1. Тог­ да X — 1, умноженное на 4, даст 4х — 4, а х + 1, умно­ женное на 1, (даст х + 1>. И эти полученные числа имеют между собой отношение квадратных чисел. Теперь из ра­ венства 4х — 4 — X + 1 получается х равным 5/3.

114

А РИ Ф М ЕТИ К А К Н И І’А tV

а минус 3-е —

Умножая все на 9, получаем

65—6х — Q , 65—24а; = Q .

Числа при X уравниваю, умножая на 4 большее ра­ венство; тогда будет

260—24а; = □ и 65-24а; = Q

Теперь беру разность этих выражений, она будет 195; и полагаю два числа, произведение которых равно 195, это будут 15 и 13. Их полуразность, умноженная на себя, равна меньшему квадрату; и х получается 8/3.

Кподстановкам. 1-е число будет 5/3, 2-е 5/3, а 3-е 8/3.

Идоказательство очевидно.

33. Найти такие два числа, чтобы каждое из них, по­ лучив от другого одну и ту же часть, или части, имело за­ данное отношение к остатку от давшего числа.

Положим, что 1-е число, получая от 2-го некоторую часть или части, будет втрое больше остатка, а 2-е, полу­ чая от 1-го такую же часть или части, будет в пять раз больше остатка 1).

Положим, что 2-е равно а; + 1 , а его часть или части будут 1, а 1-е За: — 1. И 1-е, получив от 2-го такую же часть или части, т. е. 1, сделается втрое больше остатка. Мы хотим, чтобы и 2-е, получая от 1-го ту же часть или ча­ сти, было в пять раз больше остатка.

Но так как оба числа вместе будут 4а; и то, что 2-е получает, то 1-е дает, и 2-е становится в 5 раз больше остатка, то оба вместе, увеличивающиеся и остающиеся, будут 4а;, и остаток получится, когда мы от 4а; возьмем 6-ю часть, т. е. (2/3)х. Следовательно, если от За;—1 отнимем {2/3)х, то будем иметь часть или части от 1-го.

115

Д И О Ф А Н Т

на 1; обе дроби перемножаются накрест:

X2+ у X — 1 = За; — 1;

иX = 5/7.

Кподстановкам. 1-е число 8/7, а 2-е 12/7.

1 была какой-то частью 2-го числа; посмотрим, какой именно: 1, [деленная] на 2-е, будет 7/12. Оба числа умно­ жаю на семь. 1-е будет 8, 2-е 12, «части» же 7/12. Но так как 1-е число не имеет 12-й части, то утрою все их, чтобы избежать дробей; тогда 1-е число будет 24, 2-е 36, а «части» их 7/12, и доказательство очевидно.

Л е м м а к н и ж е с л е д у ю щ е м у . Найти два неопределенных числа, чтобы их произведение вместе с суммой образовало заданное число.

Пусть это число будет 8.

Положим первое х, а второе 3. И их произведение вме­ сте с суммой будет 4ж + 3; это должно равняться 8. И х будет 5/4.

К подстановкам. 1-е будет 5/4, а 2-е 3.

Теперь посмотрим, откуда получилось 5/4; из деления 5 на [количество ж-ов, т. е. 4]. Но 5 получилось из разно­ сти 8 и 3; 4ж будут на единицу больше 2-го числа.

Следовательно, если в качестве 2-го числа мы возьмем сколько-то ж-ов, отнимем их из 8, оставшееся разделим на 2-е число, увеличенное на единицу, то будем иметь 1-ѳ число.

Например, пусть 2-е будет х — 1; вычту его из 8;

останется 9 — х. Это я разделю на 2-е, увеличенное на еди- 9

ницу, т. е. на ж. И получится — — 1; это будет 1-е число.

Так получается решение задачи в неопределенных чис­ лах, когда их произведение вместе с суммой составляет 8. Это решение будет неопределенным, так как всегда, если кто-нибудь, взявши вместе х сколько угодно единиц, сде­ лает подстановку, задача будет завершена.

116

А РИ Ф М ЕТИ К А К Н И ГА IV

34. Найти три таких числа, чтобы произведения лю­ бых двух из них, сложенные с их суммами, образовали заданные числа. Заданные же числа должны быть квад­ ратами без единицы.

Примем, что произведение 1-го и 2-го чисел, сложенное с их суммой, равняется 8, произведение 2-го и 3-го с их суммой равняется 15, произведение 1-го и 3-го с их сум­ мой равняется 24.

Так как я хочу, чтобы произведение 1-го и 2-го вместе с их суммой равнялось 8, то если я возьму 2-е равным чемунибудь, вычту его из 8 и разделю остаток на увеличенное единицей 2-е число, то буду иметь 1-е число.

Возьму 2-е в виде х —■1; если вычту это из 8 и разделю

9

на увеличенное единицей 2-е число, то 1-е будет -----1.

Точно так же, если хочу, чтобы произведение 2-го и 3-го чисел вместе с их суммой давало 15, то, отняв <от 15) X — І и разделив остаток на 2-е число с единицей, т. е.

о 16 л

на х, получу о-е число — — 1.

Теперь остается найти произведение 1-го и 3-го, сложенное с их суммой; получится-^- — 1; приравняв это /4 ,

найдем X = 12/5.

К подстановкам. 1-е будет 33/12, 2-е 7/5 и 3-е 68/12. Приведем все к одному знаменателю; получается: 1-е 165/60, 2-е 84/60, 3-е 340/60.

Л е м м а к н и ж е с л е д у ю щ е м у . Найти такие два неопределенных числа, чтобы их произведение минус сумма равнялось заданному числу.

Пусть это число будет 8.

Положим 1-е X, 2-е 3 ; их произведение без суммы будет 2х — 3 = 8. И X получается равным 5Ѵ2.

К подстановкам. 1-е будет 5Ѵ2, 2-е 3.

Опять посмотрю, откуда получился х = 5Ѵ2; это от де­ ления 11 на 2; но 11 есть заданное число, сложенное со 2-м, а [количество х-ов, т. е. 2], будет 2-м числом, умень­ шенным на 1. Если я возьму 2-е число как угодно, то, сложив его с заданным и полученное разделив на 2-е чи­ сло без 1, найду 1-е.

Пусть 2-е X + 1; это вместе с 8 даст х -[- 9. Разделю это

д

на уменьшенное единицей 2-е, т. е. на х, получится 1 -(- —.

117

Д Й О Ф А Н І'

Найдено в неопределенных числах решение задачи: произведение двух чисел без их суммы сделать равным 8.

35. Найти такие три числа, чтобы произведения лю­ бых двух из них минус их сумма равнялись заданным числам. Заданные числа должны быть квадратами без единицы.

Пусть задано, что произведение 1-го и 2-го без их суммы равно 8, произведение 2-го и 3-го без суммы равно 15 и произведение 3-го и 1-го без суммы равно 24.

Так как я хочу, чтобы произведение 1-го и 2-го без их суммы равнялось 8, то, взявши 2-е число каким угодно, прибавим его к 8 и полученное разделим на 2-е, уменьшен­ ное на 1, и тогда получим 1-е на основании предшествую­ щей леммы.

Пусть 2-е число будет х -\- 1; прибавляю к нему 8; по­

лучается X -J- 9; это я делю на 2-е, уменьшенное единицей,

9

т. е. на X, и получаю 1 + — ; это будет 1-е число.

Подобно этому найдется и 3-е 1 + ^ , и два усло­ вия выполнены.

Остается найти произведение 1-го и 3-го без их суммы: оно будет 144 — 1 = 24; ; п і получится равным 12/5.

Кподстановкам. 1-е будет 57/12, 2-е 17/5 и 3-е 92/12.

Иесли хочешь, чтобы у них были одинаковые доли, то

кие два неопределенных числа чтобы их произведение имело заданное отношение к их сумме.

Примем, что их произведение втрое больше суммы. Положим 1-е х, 2-е 5. Их произведение будет 5х; мы хо­

тим, чтобы это равнялось утроенному х -)- 5. Тогда Зх -j- 15 будет равно 5х; и х получится равным 7Ѵ2.

К подстановкам. 1-е будет 7Ѵ2, 2-е 5.

Теперь смотрю, откуда х получился 7Ѵ2; из деления 15 на [количество х-ов, т. е.] 2. Но 15 — это 2-е число, умно­ женное на заданное отношение. А 2 получилось из разно­ сти, на которую 2-е число больше отношения.

Если мы положим 2-е число равным нескольким х, например х, и умнояшм его на отношение, то получим Зх;

118

А РИ Ф М ЕТИ К А К Н И ГА IV

если разделим это на разность, на которую 2-е число пре­ восходит отношение, т. е. на і — 3, то первое число по-

Зх

лучится как —+ .

36. Найти такие три числа, чтобы произведение любых двух из них имело заданное отношение к их сумме.

Примем, что произведение 1-го и 2-го чисел втрое боль­ ше их суммы, произведение 2-го и 3-го вчетверо больше их суммы и произведение 1-го и 3-го в пять раз больше их суммы.

Положим, что 2-е число будет ж; тогда вследствие лем-

мы 1-е число — , а 3-е —+- .

Остается сделать, чтобы произведение 1-го и 3-го было в пять раз больше их суммы. Но произведение 1-го и 3-го

х-сы числителей множатся накрест на знаменателей, как, например, Зх на знаменателя другой дроби, т. е. х — 4, и 4ж на знаменателя первой х — 3. Так сделано сложение 7ж2 — 24ж числителей, а в знаменателе <— произведение знаменателей, т. е. х2 + 1 2 ) — 7ж.

Но мы имеем произведение 1-го и 3-го чисел

12а-2

ж2 -j- 12 — 1х

Следовательно,

12а:2 а:2 + 12 — 7а;

в 5 раз больше суммы. Но пятикратная сумма будет

35а-2 — 120а а:2 + 12 — 1х

Умножим все на общий знаменатель, ж2 + 1 2 — 7х; по­ лучается

12а2 = 35ж2 - 120х.

И X будет 120/23.

119