книги из ГПНТБ / Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах

ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ

В задачах Пи _13 Диофант излагает свой метод решения «двойного равенства» простейшего вида, т. е. системы

параметры, чтобы все уравнения системы, кроме одного, обратить в тождества. Оставшееся уравнение дает ему возможность выразить основное неизвестное (а значит, II все искомые в задаче числа) как рациональную функцию параметров.

В конце книги II и начале книги III появляются зада­ чи, которые представляют собою распространение уже ре­ шенных задач на большее число неизвестных. Во многих случаях метод таков, что он проходит для аналогичных задач, поставленных относительно любого числа неизвест­ ных (см., например, задачи 1120-эі и Нзз-зз)-

Книга III по своему содержанию и методам непосред­ ственно продолжает предыдущую. Здесь рассматривают­ ся системы трех, четырех н большего числа уравнений, каждое из которых имеет степень ^ 2. Здесь встречаются задачи, в которых Диофанту удается путем подстановок обратить в тождества все условия, кроме двух, причем эти оставшиеся условия образуют «двойное равенство».

В книге IV впервые рассматриваются неопределенные уравнения третьей и четвертой степени, а также одно уравнение шестой степени (ІѴі8). В первых 14 задачах встречаются, однако, только такие уравнения, которые униформизируются в рациональных функциях. Задачи IѴ‘24 и ІѴ2в_о8 сводятся к нахождению рациональных ре­ шений неопределенных уравнений третьей и четвертой) степени, которые задают эллиптические кривые (т. е. кривые рода 1). В этом случае, как мы уже говорили, не­ известные не могут быть выражены как рациональные функции параметра. )

Поясним методы, которые применял Диофант для решения этих уравнений. При этом мы будем пользоваться языком геометрии, интерпретируя неопределенное урав­ нение от двух неизвестных как кривую на плоскости,

19

И. Г. БАШМАКОВА

а рациональное его решение — как рациональную толку этой кривой.

Итак, пусть задана кривая L:

(6) Fз (X, Y) = О,

где Fз (X , Y) — неприводимый многочлен третьей сте­ пени. Для нахождения рациональных точек этой кривой теперь применяются следующие два метода:

1) «Метод секущей». Пусть известны две рациональные точки А (Хх, ЗД) и В (Х 2, Y 2), лежащие на L. Тогда пря­ мая, проходящая через эти две точки, пересечет L еще в одной точке С, координаты которой, как нетрудно видеть, также будут рациональны. Эти координаты и дадут нам новое рациональное решение.

2) «Метод касательной». Пусть известна только одна рациональная точка А (Хх, 3^) кривой L. Тогда через нее проводится касательная

которая пересечет кривую L еще в одной рациональной точке D.

Мы покажем, что оба эти метода применял Диофант (см. комментарии к задачам ІѴ24 и ІУгв-гѵ), трактуя их, однако, чисто алгебраически. При этом метод секущей он применял только в случае, который при геометрической интерпретации может быть охарактеризован тем, что одна из данных рациональных точек является бесконечно уда­ ленной (задачи ІѴ2в_27).

Книга V содержит наиболее трудные задачи. Может быть, именно этим объясняется, что текст ее во многих местах испорчен. Так, например, в задаче Ѵ0 Диофант формулирует ограничение, которое нужно наложить на некоторое число а для того, чтобы 2а + 1 представлялось в виде суммы двух квадратов. Это ограничение, которое свидетельствует о глубоких познаниях Диофанта в теории чисел, было при переписках испорчено. Вследствие пол­ ного непонимания вопроса никто из последующих ученых вплоть до Ферма но смог его восстановить. Только Ферма, который независимо пришел к аналогичной теореме, сумел

20

ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ

восполнить пробел. Имеются и другие пропуски (см. комментарии к книге V). Поэтому над этой книгой рабо­ тало немало филологов и математиков, из которых назо­ вем Баше де Мезириака, Ферма, Якоби и Поля Таннери.

В книге V появляется новый тип задач (Ѵв_;и), в ко­ торых заданное целое число N требуется представить суммою двух, трех или четырех рациональных квадратов, каждый из которых удовлетворяет некоторым неравен­ ствам. Диофант применяет для их решения четкий алго­ ритм, который он называет «методом приближения» (Ttaptao-cTftoc аршут]). При этом он решает квадратные не­ равенства и рассматривает уравнение Ферма

аХ2 + 1 = У2,

решение которого ищет в целых числах.

Последующие три задачи книги сводятся к отысканию рациональных точек на кубических поверхностях. Применепные при их решении методы эквивалентны прове­ дению пучка плоскостей, каждая из которых проходит через бесконечно удаленную прямую, лежащую на по­ верхности. Кривая, полученная в сечении, распадается на две компоненты: прямую и коническое сечение. По­ добрав параметр так, чтобы на коническом сечении име­ лась рациональная точка, Диофант обычным способом находит другие рациональные точки этой кривой. Заме­ тим, что каждая из плоскостей, проходящих через бес­ конечно удаленную прямую, будет касаться исследуемой поверхности в двух точках. Это описание метода, разуме­ ется, является переводом решения Диофанта на язык

геометрии. Более подробно это рассмотрено в коммен­

тариях к соответствующим задачам.

Все задачи книги VI ставятся относительно прямо­ угольных треугольников с рациональными сторонами, т. е. таких трех рациональных чисел, которые удовлетворяют уравнению

X2 + У2 = Z2.

К этому условию, общему для всех задач, присоединяются дополнительные условия относительно площади, длины параметра, суммы площади и одной из сторон и т. д., т. е. задается еще некоторая функция

/ (X, У, Z) = 0.

21

И. Г. БАШМАКОВА

При решении этих задай Диофант особенно искусно оперирует с конкретными числами, как с произвольными параметрами (подробнее об этом в соответствующих комментариях).

В этой книге содержатся две леммы, о которых мы упо­ минали выше, а именно к задачам ѴІ12 и ѴІ15, где доказы­ вается, что уравнение

Книга VI интересна еще и тем, что в ней Диофант применяет почти все методы, которые имелись в преды­ дущих книгах: тут применяется метод касательной для нахождения рациональных точек эллиптической кривой третьего порядка, решаются «двойные уравнения» раз­ личного вида и т. п.

Задачи VI книги послужили поводом для многих тео­ ретико-числовых предложений Пьера Ферма. Особенно важно его замечание к задаче, добавленной к книге Баше де Мезириаком, в которой требуется отыскать прямоуголь­ ный треугольник в рациональных числах, площадь ко­ торого была бы рациональной. Ферма заметил, что эта площадь не может равняться квадрату. Эта задача сво­ дится к доказательству неразрешимости в целых числах уравнения

Х і — Y i = Z2.

Отсюда в свою очередь следует Великая теорема Ферма для случая п — 4. В своем замечании Ферма привел пол­ ное доказательство своего утверждения — это единствен­ ное дошедшее от него теоретико-числовое доказательство. Он проводит его методом спуска. Именно из этого дока­ зательства мог заимствовать Эйлер этот метод. Мы при­ водим это замечание Ферма в конце комментариев к кни­ ге VI. Здесь уместпо поставить вопрос о том, каковы были познания самого Диофанта в теории чисел. Для ответа на него соберем вместе все предложения по теории чисел, которые Диофант формулирует явно или на которые оп опирается в своей «Арифметике».

1. Всякое простое число вида 4п -f- 1 представимо в виде суммы двух квадратов (ІІІ19; Ѵ9).

22

Вс т у п и т е л ь н а я с т а т ь я

2. Целое число N можно представить в виде суммы двух квадратов, если после выделения наибольшего ква­

различных простых чисел вида 4/г + 1, представимо в виде суммы двух квадратов двумя различными способами. Квадрат такого числа представим в виде суммы двух ква­ дратов четырьмя различными способами (ІІІЦ).

4. Любое целое число можно представить в виде суммы

ставлено в виде суммы трех квадратов целых или дроб­ ных (Ѵи ).

Из приведенной сводки видно, что Диофантом был хорошо изучен вопрос о представлении чисел формой X'1 + У2. Он знал о представимости чисел суммою четырех

квадратов и рассматривал вопрос о представлении числа

з

в виде 2 • Мы ничего не знаем о том, как были дока-

І=1

заны эти результаты. Весьма убедительные реконструк­ ции этих доказательств предложены К. Якоби, к кото­ рым мы и отсылаем желающих с ними познакомиться х).

Попытаемся в заключение представить себе, каковы же были сведения Диофанта в тех вопросах, которые мы те­ перь относим к алгебраической геометрии.

Сама последовательность книг показывает, что Дио­ фант классифицировал задачи по степеням уравнений, к которым они сводятся. Так, в первых трех книгах поме­ щены задачи, которые сводятся либо к уравнению не выше второй степени, либо к «двойному уравнению», каждое из^которых имеет степень^. В книге IV появляются уравнения третьей, четвертой и даже шестой степени, которые затем встречаются и в последующих книгах.

Но, помимо степеней, Диофант различал уравнения и по другому, более глубокому признаку, а именно по тому, униформизируются ли они в рациональных функ­ циях. Мы говорили уже выше, что эта проблема была пол­ ностью решена им для уравнения второй степени от двух

’) См. его статью «Ueber die Keotnisse des Diopliantus von der Zusammenset­ zung der Zahlen», Berliner Monatsbericht, 1847, Gesammelte Werke, VII, 1891, 332—344.

23

И. Г. БАШМАКОВА

переменных. Далее, Диофант знал, что для некоторых уравнений третьей и четвертой степени такая униформизация также возможна, а для других нет. Уравнения, определяющие кривые рода 1, встречаются в «Арифме­ тике» в шести задачах: ІѴ24, ІѴ28-27, ІѴ28, ѴІ10 и ѴІ48. При этом рациональные точки этих кривых в задачах ІѴ24 и ѴІ18 находятся методом касательной, в ІѴ2в_27 — методом секущей и, наконец, в ІѴ28 п ѴІ10 — с помощью проведения параболы. В задаче ІѴ18 появляется уравне­ ние, определяющее гиперэллиптическую кривую рода 2:

X й - 2а3Х3 + X + а6 = Г2,

у которой существуют рациональные точки (0; ± а 3). Диофант для случая а = т2 находит еще одну ее рацио­ нальную точку. Больше он не ставил задач этого рода, видимо потому, что не мог найти для них общего метода (который, кстати сказать, и до сих пор не найден).

Наконец, следует отметить, что при своих решениях Диофант всегда принимал во внимание случаи, соответ­ ствующие наличию бесконечно удаленных рациональных точек кривых или поверхностей (разумеется, не вводя этого понятия).

6. Диофант и математика нового времени

Эпоха Диофанта, как мы говорили, еще мало изучена. Те отдельные факты, которые нам известны: «Арифме­ тика» Диофанта, арифметические исследования Анато­ лия Лаодикийского, решительные изменения во взгля­ дах на число, на соотношение между алгеброй, арифме­ тикой и геометрией, развитие учения о неопределенных уравнениях — позволяют говорить о новом расцвете ан­ тичной науки. Однако, это был уже, по-видимому, по­ следний взлет. Дальнейшее продолжение идеи и методы Диофанта нашли не в науке последних веков Римской империи, а в трудах ученых Средневекового Востока и, особенно, Европы.

«Арифметика» Диофанта оказала столь же фундамен­ тальное влияние на развитие алгебры и теории чисел, как и труды Архимеда — на формирование исчисления бесконечно малых. Только влияние Диофанта было более

24

ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ

многостепенным и не окончилось в XVII веке, как это было с Архимедом, но продолжалось вплоть до начала нынешнего столетия. Первое, что было воспринято,— это алгебраический метод. Уже математики арабского Востока пользовались наименованием степеней неизвест­ ного, предложенным Диофантом. В XV—XVI веках эти методы встречаются уже в Европе, куда они могли попасть как через Византию, так и перейти от арабов. Тогда же начали оперировать с отрицательными числами. Решение арифметических и геометрических задач старались свести к уравнению. Что касается правил Диофанта для опе­ рирования с многочленами и уравнениями, то они повто­ рялись почти всеми, кто составлял руководства по ал­ гебре. Таким образом, в Европе сложилась несколько парадоксальная ситуация: ученые пользовались алгебра­ ическими методами Диофанта, не будучи знакомы с его произведениями.

Но в «Арифметике», как мы видели, содержится и дру­ гой, гораздо более глубокий круг идей, связанный с тео­ рией чисел, с решением неопределенных уравнений и с проблемами и фактами, относящимися, по существу, к алгебраической геометрии. С этими вопросами ученые Европы познакомились только в конце XVI века, когда почти одновременно появился первый перевод «Арифме­ тики» на латынь (1575), сделанный Ксиландром (Виль­ гельмом Хольцманом), и в знаменитой «Алгебре» Рафаэля Бомбеллп были помещены 143 задачи Диофанта (1572). В 1621 г. Баше де Мезириак впервые издал греческий текст «Арифметики», снабдив его новым, более совершенным переводом на латынь и комментариями. Это издание стало знаменитым, так как на полях одного из его экземпляров сделал свои теоретико-числовые замечания Пьер Ферма

(1601-1665).

Знакомство с текстом «Арифметики» было началом новой жизни методов Диофанта. Наиболее глубоко мето­ дами великого ученого овладели Франсуа Выет (1540— 1603) и Пьер Ферма. Оба они свободно пользовались ими для определения рациональных решений неопределен­ ного уравнения второй степени, а для уравнений третьей степени — методами «касательной» и «секущей» одиако последний применялся только для того же случая, что п у Диофанта (т, е. когда одна из заданных рациональных

25

И. Г. БАШМАКОВА

точек является конечной, а другая — бесконечно уда­ ленной). Ферма, кроме того, развил учение о решении двойных и тройных равенств. Он же первый применил метод бесконечного, или неопределенного, спуска, ко­ торый и до сих пор является одним пз сильнейших при исследованпи проблем диофантова анализа.

После Ферма неопределенными уравнениями зани­ мался Ньютон, как это стало ясно пз недавпо опублико­ ванных его математических рукописей. Он первый дал геометрическую интерпретацию методов Диофанта, при­ чем для нахождения рациональных точек кривой третьего порядка он применил метод «секущей» для случая, когда известны две конечные рациональные точки кривой (пе­ ревод соответствующего места мы приводим в коммента­ риях в книге IV).

Наконец, много и плодотворно работал в области не­ определенного анализа Леонард Эйлер (1707—1783). Он сформулировал в общем виде, в чем состоит различие между проблемами отыскания рациональных решений неопределенных уравнений второй степени и уравнений третьей степени. Для уравнения У2 = / 3 (X ) он нашел условия, при которых неизвестные можно выразить как рациональные функции параметра. Ему же принадлежит и применение метода «секущей» в его алгебраическом ва­ рианте для случая, когда оба заданных рациональных решения конечны. Но Эйлером были начаты изыскания и в совершенно ином направлении, которые на первый взгляд ие имели ничего общего с неопределенным анали­ зом, однако в дальнейшем им суждено было пролить неожиданный свет на проблемы Диофанта. Мы говорим об исследовании эллиптических интегралов и установле­ нии теоремы их сложения.

Связь этих исследований Эйлера с решением неопре­ деленных уравнений третьей и четвертой степени впер­ вые установил К. Якоби (1835) *), а именно он показал, что рациональные решения таких уравнений, если извест­ но одно или два таких решения, можно находить с по­ мощью теорем умножения и сложения эллиптических интегралов. По существу, уже из его работ следовало, что

26

ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ

на множество рациональных решений можно ввести опе­ рацию сложения, после чего это множество образует абе­ леву группу. Однако эта сторона дела не интересовала Якоби. Зато он перенес свои результаты на случай реше­

Он отметил, что здесь нельзя уже по известным рацио­ нальным решениям находить новые решения того же рода. Но можно находить группы решений такие, что любые симметрические функции от них будут рациональ­ ны. Такие группы точек впоследствии получили название рациональных.

Работа Якобп нс обратила на себя внимание совре­ менников и, но-видимому, была забыта. И только в конце прошлого века Анри Пуанкаре пришел к тем же идеям, когда начал строить арифметику алгебраических кривых. В своем знаменитом мемуаре х) он установил уже совер­ шенно явно связь между методами «секущей» и «касатель­ ной» Диофанта (впрочем, не упоминая его имени) и тео­ ремами Эйлера. Он же первый поставил вопрос о структуре множества М (Q) рациональных точек алгебраической кривой и исследовал его для случая, когда кривая — эллиптическая. Пуанкаре наметил в своем мемуаре развернутую программу будущих исследований проблем арифметики алгебраических кривых любого рода и над любыми числовыми полями. Но это уже новая страница в истории диофантова анализа и алгебраической геомет­ рии, и мы не будем ее перевертывать.

Итак, судьба работ Диофанта сложна и необычна. Трижды они оказали определяющее влияние на форми­ рование науки нового времени: при создании буквенной алгебры в математике Средневекового Востока и Европы, нри становлении теории чисел и учения о неопределенных уравнениях в XVII—XVIII веках и, наконец, уже опо­ средствованно, методы Диофанта явились основой для определения сложения точек эллиптических кривых и построения нх арифметики. Мы думаем, что этим значение «Арифметики» не исчерпано и человечество еще не раз обратится к этой замечательной книге.)•

«О МНОГОУГОЛЬНЫХ ЧИСЛАХ» ДИОФАНТА

Александрийская математика от Евклида и до Апол­ лония носит ярко выраженный геометрический характер: «логистика», т. е. вычислительная математика, предо­ ставляется купцам. Но в конце III века до н. э. у Архи­ меда и Аполлония замечается довольно ясно выраженный интерес к вычислительной математике, а во II веке до н. э. геометрическая школа типа Аполлония и совсем почти пропадает. Какие причины привели к вырождению геометрических методов? Можно привести две. Во-пер­ вых, III век до н. э. был эпохой расцвета вавилонской вы­ числительной астрономии. Возникшая в VI веке до н. э. в обстановке крушения сначала мелких, а потом и круп­ ных государств храмового типа и образования универ­ сальных монархий, она имела тесную связь с астрологией и пыталась математическими методами предсказать буду­ щее, раскрыть волеизъявление фатума при помощи вы­ числения движений планет, получивших имена старых вавилонских богов, которые, таким образом, из миродержателей стали простыми служителями, информато­ рами велений фатума. Пунические войны и их продолже­ ние в первой половине II века, связанные с установлением гегемонии Рима в Средиземноморье, создали в последнем такую же обстановку, как и в Передней Азии VI века до н. э. В греческой философии это выразилось созданием стоицизма, научные основы которого давала вавилон­ ская вычислительная астрономия, лучше сказать — астро-

28