книги из ГПНТБ / Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах

Д И О Ф А Н Т

21. Данное число разложить на два числа и подобрать для них квадрат, прибавление которого к каждой части давало бы квадрат.

Пусть данное число будет 20.

Возьмем квадрат х2 + 2х + 1 . Он останется квадратом, если я прибавлю 2х + 3, а также если прибавлю 4ж -}- 8. Тогда сумма обоих этих чисел будет 6а; + 11 х).

1-я часть будет 6, 2-я 14, а квадрат б1/*. Доказатель­ ство очевидно 2).

КНИГА IV

1. Данное число разложить на два куба, сумма сторон которых задана.

Пусть требуется разложить число 370 на два куба, сумма сторон которых 10.

Положим сторону 1-го куба х + 5, т. е. больше поло­ вины суммы сторон. Тогда сторона 2-го куба будет 5 — х; следовательно, сумма самих кубов будет ЗОж2 + 250; она равняется заданному числу 370; и х получается рав­ ным 2.

К подстановкам. Сторона 1-го куба 7, 2-го 3, а сами кубы — 1-й 343, а 2-й 27.

2*. Найти такие два числа, чтобы была задана их раз­ ность, а также и разность их кубов.

Пусть разность этих чисел будет 6, а разность их кубов 504.Положим, что сторона большего куба будет х 3, а меньшего х — 3; тогда разность их сторон должна оста­ ваться равной 6. Кроме того, разность самих кубов равна

рЗдесь имеется лакуна в тексте, которую можно восполнить так: і-н часть 2х + 3, 2-я 4.Т + 8. Приравняв их сумму 6х + 11 данному числу 20, на­ ходим X — 1 У*. (JTptui. перев.)

’) Это другое решепие задачи II,4. (Прим, перец.)

90

Ар и ф м е т и к а к н и г а іѵ

504. Но разность обоих кубов будет 18а;2 + 54, это же равно 504; и х получается равным 5.

К подстановкам. Сторона большего куба будет 8, а меньшего 2. Сами же кубы будут один 512, а другой 8, и доказательство очевидно.

3. Квадрат и его сторону помножить на одно и то же число и сделать, чтобы эта сторона давала куб, а квад­ рат — сторону этого куба.

Положим, что квадрат будет а;2 и, следовательно, его сторона X, а множитель был бы какой-нибудь арифметичной х) частью, взятой кубическое число раз; пусть он бу­ дет 8/х. Умножая это на ж2, получим 8а;, а умножая на х, получим 8.

Мы же хотим, чтобы 8а; было стороной этого куба, следовательно, 8а; должно равняться 2; и х получается равным 2/8, а множитель — 32.

Если мы не хотим иметь дробных долей, то возьмем 8х равным 2; и а: будет Ѵ4 2).

Кподстановкам. Квадрат будет г!16, сторона 1U, мно­ житель 32. Если же х = 1/^, то арифметичная часть 1/а; будет 4. И доказательство очевидно.

4. К квадрату и стороне прибавить одно и то же такое число, чтобы получились опять квадрат и сторона.

Пусть квадрат будет а;2 и, следовательно, сторона х -, прибавляемое же число будет а;2, взятое столько раз, что­ бы вместе с а;2 оно образовало квадрат. Пусть оно будет За;2; если мы приложим его к а;2, то получим квадрат 4а;2, а если к а:, то За; 2 + х; но это должно равняться сто­ роне квадрата 4а; 2, т. е. 2а:; и х получается равным Ѵ3.

Кподстановкам. Квадрат будет Ѵд, сторона г/3, прибав­

ляемое же число 3/9.

5. К квадрату и стороне приложить одно и то же такое число, чтобы получилось то же самое, но в обратном поряд­ ке, т. е. сторона и квадрат.

Пусть квадрат будет а;2, значит, сторона будет х; для того же, чтобы сторона стала квадратом, прибавляемое число примем х 2, взятое квадратное число раз, минус х — сторона квадрата. Пусть оно будет 4а;2 — а;. <Если мы при­

91

Д И О Ф А Н Т

последнее должно равняться 2х — стороне квадрата, получаемого после прибавления, и х оказывается рав­ ным 3/5.

К подстановкам. Квадрат будет 9/25, сторона 3/5, а прибавляемое число 21/25.

6. К кубу и квадрату прибавить один и тот же такой квадрат, чтобы получилось то же самое, т. е. куб и квадрат.

Пусть теперь будут куб Xя и квадрат х2, взятый неко­ торое квадратичное число раз, например, 9а;2.

И так как мы хотим, чтобы некоторый квадрат вместе с Эя2 образовал тоже квадрат, то берем два числа, произ­ ведение которых равно 9; пусть это будут 1 и 9. Если от 9 я отниму единицу и половину остатка умножу на себя, то я получу 16; прикладывая к нему 9, я образую квад­ рат х).

Теперь в качестве прибавляемого квадрата я беру 16а?; если я его прибавлю к 9а?, то получится квадрат; если же я прибавлю его к а;3, то получится ха -|- 16л?, что должно быть равно кубу. Пусть этот куб будет 8а;3; тогда получится, что х = 16/7.

Кподстановкам. Куб будет 4096/343, квадрат 2304/49,

априбавляемый к ним квадрат 4096/49.

7. К кубу и квадрату прибавить один и тот же такой квадрат, чтобы получилось то же самое, но в обратном по­ рядке.

Пусть куб будет Х г, квадрат Х 2, а прибавляемый к ним квадрат Х 3 2).

Так как я хочу, чтобы прибавляемый квадрат Х 3 обра­ зовал вместе с Х 2некоторый куб, то пусть он образует куб Х х. Таким образом, Х г превосходит Х 2на Х 3, т. е. на квад­ рат, ибо Х 3 есть квадрат. Если же я возьму два какихнибудь числа, то их квадраты, к которым прилагается или из которых вычитается удвоенное их произведение, дадут квадрат. Итак, я должен, взявши два числа, положить сумму их квадратов равной Х и так как .Х\ равен сумме двух квадратов, именно искомого и прибавляемого: Х3

92

разует квадрат, то у меня [все] свелось к нахождению двух [вспомогательных] квадратов, сумма которых вместе с од­ ним из них дает квадрат, [вследствие того, что два квадра­

93

ДйоФанТ

Если а;прибавить к 2х, то получится За:, а если к 8а;3, то получится 8а;3 -f- X; это равно 27а;3. Вычтем 8а;3, останет­ ся 19а;3, равное х. Сократим на х; значит, 19а;2 = 1.

Но единица является квадратом; если бы 19 — количе­ ство а;2 — было бы квадратом, то уравнение решилось бы. Но 19а;2 получилось как разность между 27ж3 и 8а;3; и 27Xs есть куб на За;, а 8а;3 — куб на 2а;. Таким образом, 19 получилось как разность между кубом на За; и кубом на 2а;. Но 2а; взято по нашему предположению, а 3 всегда на единицу больше количества взятых сторон а;; таким образом, я пришел к отысканию двух чисел, отличающихся между собой на единицу и таких, чтобы разность построенных на них кубов была бы квадратом.

Пусть одно из них будет х, а другое х + 1; и разность построенных на них кубов За;2 + За; + 1 ; пусть это равно квадрату на стороне 1 — 2а;; и х получается равным 7.

К подстановкам. Одно из них будет 7, а другое 8. Теперь я возвращаюсь к первоначальной задаче и по­

лагаю прибавляемое равным х и сторону куба 7х\ тогда куб будет 343а;3. Прибавляя а;к каждому из них, получаем

априбавляемое одна тринадцатая.

9.К кубу и стороне приложить одно и то же такое

число, чтобы получилось то же самое, но в обратном по­ рядке.

Пусть будет куб а;3, взятый какое-нибудь кубическое число раз; пусть оно будет 8, следовательно, сторона куба будет 2а;; <прибавляемое же число, чтобы сделать сторону кубом, будет а;3, взятый кубическое число раз, минус 2а;>, т. е. минус количество кубических единиц в стороне куба; пусть оно будет 27а;3 — 2а;.

Если мы прибавим это к 2а;, то получим 27а:3, и это бу­ дет куб на стороне За;, а если прибавить к 8а;3, то полу­ чится 35а;3 — 2а;.

Мы хотим, чтобы это было стороной куба для полу­ ченного 27а;3, иными словами, За;; следовательно, 35а;3 — —2а; = За;; получается, что 5ж равняется 35а;3; сократив на X , находим, что 35а;2 равио 5.

94

А РИ Ф М ЕТИ К А К Н И Г А IV

Их ие рационально х), так как отношение одного вида

кдругому не будет отношением двух квадратных чисел; но 35, количество х%представляет сумму двух кубов, 27 и 8,

а5 получается из сложения их сторон; значит, мне предстоит найти два куба, сумма которых к сумме их сторон имеет отношение квадратного числа к квадрат­ ному числу.

Пусть сумма их сторон равняется некоторому числу единиц, например 2. Положим, что сторона первого куба

имело отношение квадратного числа к квадратному чис­ лу. Но 2 представляет удвоенный квадрат; следовательно, и 6а;2 + 8 — 12а; будет тоже удвоенным квадратом, и Ѵ2 их будет равняться квадрату, т. е. За;2 + 4—6а; = Q ; пусть это будет квадратна 2—4а;. И х получается равным

10/13.

К подстановкам. Одна сторона будет 10/13, а другая 16/13. Устраняю 13-е доли и беру половины. Стороны са­ мих кубов будут одна 5, другая 8.

Возвращаюсь к первоначальной задаче и полагаю сто­ рону куба равной 5а;; тогда куб будет 125а;3 и прибавляе­ мое — куб [без стороны], т. е. 512а;3 — 5а;. Если это при­ бавить к 5а;, то получится куб, а если к 125а:3, то 637а;8 — —5а:. Мы хотим, чтобы это было стороной куба для 512а;3.

Таким образом, 8а: равняется 637а;3 — 5а; и а; получает­ ся равным одной (седьмой).

К подстановкам. Куб будет 125/343, сторона 5/7, а прибавляемое число 267/343.

10. Найти два куба, сумма которых равна сумме их сторон.

Пусть выраженные в х стороны кубов будут: 1-я 2а;, 2-я За;; тогда сумма кубов будет 35а;3, что должно равнять­ ся сумме сторон 5х. Сокращая на х, получаем 35а^ = 5, и X не рационально.

Но 35а;2 представляет сумму двух кубов, 8 и 27, а 5а; — сумму их сторон. Мне приходится искать два куба, кото­ рые, будучи сложены и разделены на сумму их сторон, дают квадратное частное.)*

*) оо ріуго$ (Д р іш . ред.)

95

ДИ О Ф А Н Т

Это же было сделано выше [задача 9], и стороны кубов будут: 1-я 8, 2-я 5. Теперь я возвращаюсь к первоначаль­ ной задаче и беру стороны кубов: 1-ю 8а;, 2-ю 5т; сумма ку­ бов будет 637т8. Она должна быть равна [сумме] сторон, т. е. 13т; п т получается равным одной {седьмой).

К подстановкам. Сторона 1-го куба 5/7, 2-го 8/7. Сами же кубы — один 125/343, другой 512/343.

11*. Найти два куба, разность которых будет равна раз­ ности их сторон.

Пусть их стороны будут: 1-я 2т, 2-я Зт. Разность по­ строенных на них кубов равна 19т3, а разность сторон т. Значит, т равен 19т3.

Опять т не рационально, так как один вид к другому не находится в отношении квадрата к квадрату. Мне при­ ходится искать два куба таких, чтобы их разность к раз­ ности сторон имела отношение, как квадратное число к квадратному числу.

Пусть стороны кубов будут: 1-я т, 2-я же т + 1 , чтобы их разность была квадратом, т. е. 1. Так как сторона 1-го

квадратное число к квадратному числу; тогда их произ­ ведение должно равняться квадрату. Но их произведение

ру стороны кубов: 1-ю 1х, 2-ю 8ж. Разность их будет х, а разность построенных на них кубов 169ж3.

Следовательно, 169а;3 равно ж; и ж получается равным одной (тринадцатой).

К Подстановкам. Стороны кубов будут: у одного 7,

удругого 8 [тринадцатых].

12.Найти два таких числа, чтобы куб большего числ вместе с меньшим числом равнялся кубу меньшего, сло­ женному с большим числом.

Пусть одно будет 2ж, а другое Зж. И куб большего числа вместе с меньшим будет 27ж3 + 2ж, а куб меньшего числа вместе с большим будет Эж2 -f Зж. Таким образом, 8ж3 + Зж равняется 27ж3 + 2ж. Сократив на ж, получаем, что ІЭж3 равно единице, и ж не рационально.

96

Д И О Ф А Н Т

трех разностей равна удвоенной разности между наиболь­ шим и наименьшим числами, то удвоенная разность меж­ ду наибольшим и наименьшим числами будет равна [сумме] трех [квадратов].

Возьмем наименьший квадрат равным единице, а наи­ больший X2 + 2х 4-1, тогда удвоенная разность наи­ большего и наименьшего чисел равна 2ж2 + 4х; она же

чается равным 9/5.

К подстановкам. Наибольший квадрат будет 196/25, средний 121/25, а наименьший 1.

Умножим все на 25; наибольший будет 196, средний 121 и наименьший 25.

15. Найти три таких числа, чтобы сумма любых дву умноженная на третье, равнялась заданному числу.

Предположим, что сумма 1-го и 2-го чисел, умножен­ ная на 3-е, дает 35. Затем сумма 2-го и 3-го, умноженная на 1-е, дает 27. И, наконец, сумма 1-го и 3-го, умноженная на 2-е, дает 32.

Пусть 3-е число будет х; тогда сумма остающихся 1-го и 2-го будет 35/х. Положим 1-е равным 10/х; тогда 2-е будет 251X.

Остаются еще два условия: сумма 2-го и 3-го, умножен­ ная на 1-е, дает 27, <а сумма 1-го и 3-го, умноженная на 2-е, дает 32>. Но сумма 2-го и 3-го, помноженная на 1-е,

Теперь мы хотим, чтобы разность этих чисел тоже равня­ лась 5. Но 1-е и 2-е не являются произвольными числами: их сумма должна равняться 35. Итак, мне пришлось раз­ ложить 35 на два числа так, чтобы разность этих чисел равнялась 5 [IJ; они будут: одно 15, а другое 20.

98

А РИ Ф М ЕТИ К А К Н И ГА IV

Теперь я полагаю 1-е равным 15/ж, а 2-е 20/ж. Сумма

К подстановкам. 1-е число будет 3, 2-е 4, а 3-е 5.

16*. Найти <трн> числа, равных в сумме квадрату, та­ кие, чтобы квадрат на каждом из них, сложенный со сле­ дующим числом, давал квадрат.

Положим, что среднее число равняется скольким-то х; пусть оно будет 4х. Так как я желаю, чтобы квадрат на 1-м после прибавления 2-го числа давал квадрат, то мне надо отыскать какой-то квадрат, который после прибав­ ления к 4х будет тоже квадратом.

Прежде всего я буду отыскивать два числа, произве­ дение которых было бы 4х) пусть это будут 2х и' 2; если

ный со 2-м числом, будет квадратом х).

Теперь нужно, чтобы квадрат 2-го числа, сложенный с 3-м числом, был тоже квадратом, т. е. 16ж2 3-е давало квадрат.

Значит, если от некоторого квадрата я отниму Ібж2, то буду иметь 3-ѳ число; искомый квадрат я построю из сто­

Далее, так как я хочу, чтобы сумма всех трех равня­ лась квадрату, а эта сумма будет 13ж, то она должна быть квадратом. Пусть этот квадрат будет ІбЭх2 2), и х полу­ чится равным ІЗж2.

К подстановкам. 1-е число будет ІЗж2 — 1, 2-е 52Ж2, а 3- е 104х2 -)-1. И у меня в неопределенной форме удовлет­ ворены три заданных условия.

Остается, чтобы и квадрат на 3-м числе, т. е. 10816ж* +

’) Здесь Диофапт вводит новое неизвестное, которое обозначает тем же сим­ волом, что в старое. {Прим, рев.)