Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

10.53 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 3421 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

К О М М Е Н Т А Р И И

14.

Задача

и приводится

системе

( X

а 2

Уі2,

\ЬХ +

а2 =

У22,

где

—

3, b —

3 .

Здесь уже коэффициенты при

Л' не относятся

друг к другу, как квадратные чпсла,

зато свободные члены являются

квадратами.

Диофант полагает Уі =

а х

а (а = 1) и получает

из

пер

вого

уравнения

а ? х г +

2 а а х .

Тогда первое уравнение тож

дественно удовлетворяется,

а второе дает

Ъ а - х - +

2а Ъ а х

а2 = У22.

Это уравнение имеет рациональное решение х =

О, У2 =

—а, по

этому

Диофант

делает подстановку У2 = ßz —

а (ß =

2),

т. е.

применяет метод

А.

Окончательно

ои

получает

X ■= 2а

ß +

Ьа.

’

В2 -

Ьа2

и X

Уі, Уг выражаются через рациональные функции двух пара

метров а и ß.

Можно показать,

что на самом деле координаты точек кривой

X ,

Уі,

У, зависят от отношения

этих параметров, т. е. являются,

по существу, функциями от одного параметра. В этом легко убе

диться, подставляя х в выражения
X = а2х2 + 2 а а х ,
Уі =	а х +	а,
У2 =	ßI — а.
Так, например,
Уі = ах -j- а = 2а aß		a = a	’1 Г + 2 І + Ь
Уі = ах -j- а = 2а aß		a = a	1
ß2 — Ьа2			1	Ъ

Диофант, видимо, хорошо понимал это. Во всяком случае, ои при

нял а = 1. В с в о ю о ч е р е д ь ß/а	рационально выражается через X ,
Уі и У2, действительно:
ß -	Уа + а
Я	Уі — а

Таким образом, и здесь преобразования Диофанта бирациональны. 15. Задачи Пп и IІіэ представляются чужеродным телом

системе задач книги II. Задача 1117 сводится к двум линейным

200

А Р И Ф М Е Т И К А К Н И Г А И

уравнениям с тремя неизвестными,		а задача ІІів		является опреде
ленной.
16. Задача Пи эквивалентна уравнению
Л'з2 — ЛѴ- = а ( X , -	-	Л'і2)	(а =	3),
которое определяет поверхность	в	трехмерном		пространстве Х і ,

Х2 , Х я . При помощи подстановки

=X,

Х 2 =	х - \ - а	(а = 1)
Диофант сводит задачу к	уравнению
х ~ -f- 2а ( а	і ) х -(- а2 (а -(- 1) = X 2,
которое он решает методом В, полагая Х я			= х	+	у (у =	3).
Окончательно получается
	(я + 1) а2 —Т2
	2у — 2а ( а	+ 1)	’
т. е. и здесь Диофант выражает неизвестные Х				і ,	Х і , Х ъ	как раци

ональные функции от двух параметров а н у. Для того чтобы реше ния были положительны, он вводит ограничение

2у < 2а (о + 1), (а + 1)а2 < у2.

Легко проверить, что и здесь все преобразования бирацноналъны.

17. Задачи ІІ20 и ІІ21	эквивалентны системам
\|Х 2	±	Х2 =	У2,
[хі	±	х г =	г 2,

каждая из которых определяет поверхность А -						в Q4.
Здесь Диофант, как и в задачах ІІ14, ІІ15, выбирает линейные
подстановки.	В задаче Иго он полагает
(*) Х г =	х , Х 2 =	2 а х +	а 2,	У) =	і + а	(а = 1),
которые обращают первое уравнение в тождество.						Геометрический
смысл уравнений (*) такой же, как и там.					Диофант подставляет (*)
во второе уравнение и получает
	4аV “ +	(4а3 +	1)* + а4 = У2.
К этому уравнению он применяет метод В, полагая
откуда	Уг =	2а* -	ß	(ß =	2),
откуда
		ß»-<*		Г -	3 1 -
	4ая -f- 4aß + 1			L	13J

201

	Й О М М Ё Н Т А Р Й Й
X-i, Х 2, Y i ,	У2 выражаются как рациональные функции от двух
параметров	а и ß.
Легко	видеть, что при выбранных значениях параметров

о20

У2 = 2. — 2 = — _ , т. е. имеет отрицательное значение. Диофан

та это не смущает, так как окончательно в задаче фигурирует	У2,
т. е. положительная величина. Аналогично решается задача	ІІ21.

Здесь Диофант	делает подстановки
Х г = х +	а, Х 2 = 2ах + а2 (а = 1), Ух = г.

Применяемые преобразования бирациональны.

18.Задачи П22 и П23 эквивалентны системам

каждая из которых определяет А 2 в Q1. В задаче ІІ22 Диофант полагает Х х = х , Х 2 = х + 1, тогда Y t = х + 1. Первое уравне

ние тождественно удовлетворяется, а второе принимает вид

			X2 + 4* +	2 = У2.
Для	его рационализации Диофант			применяет метод В, полагая
У2 =	х — 2.
Заметим, что подстановки Диофанта можно несколько обобщить,
если	взять
	Х г	X ,	Х 2 = (2а — 1)х + а 2;
тогда Yj = X + а .		Из второго уравнения, положив
получим		Y 2	= (2а — 1)х — ß,
получим
	X	=	ß2 — а2 —
	X	=
		2 (а2 + ß) (2а — 1) + 2а "

При выбранных Диофантом значениях параметров У2 получается отрицательным: У2 = — 7/4.

Все примененные здесь преобразования бирациональны. Легко

видеть,	что и тут применяется метод образующих, о котором мы
говорили выше		(см. комментарии к задачам ІІ14, ІІ15 и ІІ20, Н21.)
19.	Задачи	ІІ24 и ІІ26	эквивалентны системам
		( * і +	Х	2 ) 2 ± Х 1 =	У 2 ,
		(At +	Х	2 ) 2 ± * 2 =	У2,

202

А Р И Ф М Е Т И К А К Н И Г А I I

каждая из которых определяет поверхность в четырехмерном

пространстве.			Диофант в задаче 1І24		полагает
* 1		=	(ß2 ~	l)*2, х 2 = (у2 -	I)2, х г + x 2 = ,
где ß2 =	4,	Y2 = 9.		Тогда оба уравнения тождественно удовлѳтво.
ряются,	если		л: определяется из условия
	Z i - f			или (ß2 — 1)я2	+ (V2 — 1)г2 =

т. ѳ. поверхность рациональна. Все примененные подстановки бира-

циональны.
Задача ІІ26 решается аналогично.
20. Задачи ІІ2о и I Іа? эквивалентны системам
Х хХ 2 ± Х г =	У2,
X LX 2 ± Х 2 =	У2.
Y 1 + Y 2 = а,

где (для задачи Иге) а = 6. Каждая из систем определяет простран

ственную кривую четвертого порядка. Диофант здесь снова при меняет метод образующих, а именно для обращения второго уравне

ния в тождество он делает

линейные

подстановки

Jfi =

ßaa: — 1,

Х 2 = х,

y2=ßx

(ß = 2).

При этом

первое уравнение принимает вид

ß2z2 + (ß2 _

1)2 _

1 =

У2.

Полагая

У2 =

о — ßx, он

находит

а2 +

ß2+

2aß — 1

•

Задача ІЬл решается аналогично.

21.

Задачи

ІІ28 и Иге сводятся

соответственно

к системам

Х \ Х \

± X \ =

Y\,

у2у2 _і_

_ Ѵ2

л іл а —

—

*2’

каждая

из

которых определяет А 2

в Q4.

Поскольку

(в задаче Иге) X 2 (X | +

= У2,

то Х \ +

1 = р .

Диофант полагает сторону этого квадрата

равной

х — ß

(ß — 2),

Х 2 =

X ,

т. е.

применяет

метод

В.

Тогда

Хъ = !ß2— 1

= т].

значит,

2ß

Уі = (*_Р).Гі.

ß2- H

z -

[

- T

A ]

2ß

203

К О М М Е Н Т А Р И И

Второе уравнение дает

Для его решения Диофант вновь применяет метод В.
Задача ІІ20 решается				аналогично.			Все	преобразования	бира-
циональны.
22.	Задача 1І30	эквивалентна				системе
		р А		+	( Х 3+	Х 2) = У 2 ,
		1* А		-	( А \ +	Х 2) =		У 2,
которая	определяет	А 2	в	Q4.
Для	решентш Диофант пользуется						тождеством
	а- +		Ь~ +		2ab =	(а + Ь)2.
Он полагает
=	(ß2 + Т 5) * * .	Х а	+	Х 2= 2ßyx2,			Х х = .г, X , = (Р* +		у2)х;

тогда оба уравнения тождественно удовлетворяются и х получается
из условия	Х х +	Х 2= 2ßyx2,				т. е.
	(ß2 +	у2 +		1)х = 2ßyx2			(ß =	2,	у = 3).
Окончательно получаем
Х і =	ß2 +		y2+ l			=	(ß2 +	у2)	,
	X =		2ßT		'

Обратно,	Уі =		(ß +		Y)z,	Y 2 = (y -			ß)x.

	V _ 1 Yi + У2						І У 1 - У 1
	'	2		Xi	’	P	2	X i
T. e. преобразования бирациональны.
23. Задача II31			эквивалентна системе
						Хх +	Х2 =	У2,
			■х а + А + Х2) = у J,
			Х А - (Хх + Х2) = У2,
которая определяет А -				в Q5. При ее решении Диофант пользуется

методом предыдущей задачи,			только полагает в используемом
тождестве Ъ =	2а. Это он делает для			того, чтобы сумма	Хх + Х2
была полным	квадратом.
24. Задачи	ІТ32 и ІІ33 приводятся соответственно к				системам
	X 2	±	Х2 =	У2,
	X 2	± Х 3 =		У2,
	X I	±	Хг -	У*,

204

А Р И Ф М Е Т И К А К Н И Г А I I

каждая из которых определяет Л 3 в Q°. Эти задачи являются соответ ственно обобщениями задач ІІ20 п ІІ21 этой же книги со случая двух неизвестных на случай трех.

Здесь также применяется метод образующих. Подстановки

Диофанта для задачи ІІ32 таковы:
Х 2 =	х, Х 2 — 2ах + а 2,		= х - f	а	(а =		1),
Х 3 =	2ßX2 + ß2 = 2ß(2ai +		а 2) +	ß2,	Y 2 =		2ax +	а 2 + ß
(ß =	l).
'Тогда два первых уравнения		обращаются			в	тождества,		а третье
уравнение дает
	[2ß(2az + а 2) +		ß2]2 +	х =		Y%.
Полагая	У3 = 4<xßx — б (б =	4),	получаем
	б2 — 4a4ß2 — ß1 — 4asß3
	16a8ß2 +	8ctß3 + 1 + 8aßö *

Легко проверить, что преобразования Диофанта бирациояальны.

25. Задачи П 34 и П 36	сводятся к	системам
Х \ ± ( Х 2 + Х2 +	Х3) = У?	( і = 1 ,2 ,3 ),

каждая из которых определяет А 3 в Qe.

Эти задачи являются обобщением на случай трех неизвестных задач ІІ22 и ІІ23, однако метод решения здесь иной. Для того чтобы удовлетворить всем трем уравнениям. Диофант пользуется тож деством

Далее, он выбирает число N , которое можно разложить на множи

тели тремя различными способами (очевидно, здесь речь идет о целых'числах):

	N =	а 2а 2 =	ßißj =	ѴіУг
(у Диофанта N =	12),. и полагает		(в случае задачи Над)
X, = aJ	- .aaі ,	x ^ P l-JL2*,		Х з = I l = lL2 X,

Тогда все три уравнения тождественно удовлетворяются при усло

вии, что Хі + Х2+ Х 3 =	Nx-, т. е. ^ -	~—2 + ’3' -	у - +	* =
= Nx* и х = Ді 4~ ßi + ''	^	, Таким	образом,	неиз-

205

К О М М Е Н Т А Р И И

вестныѳ выражаются как рациональные функции семи параметров, которые связаны тремя соотношениями, т. е. получаем четыре сво

бодных параметра. Но Диофант полагает а 2 = 1. И действительно,

как нетрудно проверить, функции, через которые выражаются не известные, зависят от отношения параметров к одному из них, на пример к а 2, т. е. эти функции, по существу, зависят от трех пара метров.

Нетрудно также проверить, что параметры в свою очередь вы ражаются рационально через Х \, Х 2, Х 3, Уі, У2, У3, т. е. преобра

зования бирациональны. Так, например,

® і = А Т

У х , а 2= У і — Х і .

Задача ІІ35 решается аналогично, только тут Диофант пола

гает

КОММЕНТАРИИ К КНИГЕ III

По своему содержанию и методам книга Ш тесно примыкает к книге II, являясь ее непосредственным продолжением. Это особен но относится к задачам IIIj_4: первая из них дополняет1) задачи Из« и Ц 35, а вторая и третья представляют распространение задач ІІ24 и ІІ25 на случай большего числа неизвестных, задача же 1114 дополняет задачи ІІІ2 и ІІГ3 в том же смысле, в каком ІІД допол няет задачи ІІ34 и ІІ35. Это дало повод П. Таннери считать, что

первые четыре задачи попали в третью книгу из старинного ком ментария. Мы полагаем, что нет достаточных оснований для такого мнения. Скорее всего, эти задачи либо включались первоначально

в книгу II, либо книга Ш начиналась с задач Им и ІІ35,							которые
') Задачи'] II«/ и II,5 вквивалептпы	системам	х \	+ (X ,	+	1	rf	X,)	■=	y f
( i'”= 1,'2, 3), а вадача Ш , сводится	к системе	X ,	+ X ,	+	X	—	х \	«=	У*

(і -= 1, 2, 3),

206

А Р И Ф М Е Т И К А К Н И Г А I I I

сами представляют обобщение задач ІІ22 и ІІ23 на случай больщего числа неизвестных.

Дальнейшие задачи книги III эквивалентны системам п урав

нений с т неизвестными (п = 3, 4, . . 8; т =	5, 6, . .	12), каж
дое из которых не превышает второй степени.	Как и в	книге II,

Диофант подбирает рациональные выражения для неизвестных через одно неизвестное и параметры так, чтобы все условия, кроме одного, были удовлетворены, а последнее условие позволило бы выразить неизвестное в виде рациональной функции параметров. Если это сделать не удается, то Диофант обращает в тождества все уравнения, кроме двух, так, чтобы эти последние условия своди лись к «двойному равенству», которое решается методами, изло женными в книге II.


Несколько		выпадает из общего стиля книги задача ІІЬ 8, ко
торая сводится		к нахождению целого числа, которое можно пред
ставить	в виде суммы двух квадратов четырьмя различными спо
собами.	Эта задача вскрывает большие познания Диофанта в тео

рии чисел. Она послужила отправным пунктом для теоретико-чи словых изысканий Ферма (см. комментарии к задаче 1111в).

В этой книге Диофант неоднократно проводит сначала анализ аадачи, чтобы установить, какие условия надо наложить на пара метры, а потом решает ее. Трудность понимания этих мест состоит в том, что ход решения Диофанта чисто алгебраический, но опери

рует он при этом не с буквами, а с параметрами, выраженными конкретными числами. Решение задач IIІю и Ш и показывает, что Диофант действительно смотрпт на параметры как на произволь ные величины. В обеих задачах значение параметров случайно выб рано так, что решение существует. Диофант не удовлетворяется этим и ищет, каким общим условиям должны удовлетворять эти параметры для того, чтобы уравнения были разрешимы. Для нас ход его мыслей становится более понятным, если сразу же обозна чить произвольные параметры буквами, что мы и сделаем в наших комментариях.

Поскольку обычный метод порождения системы уравнений со стоит в том, что условие, записанное в первом уравнении, видо изменено в последующих! путем циклической перестановки неизве

стных, то мы будем в дальнейшем применять сокращенные обозна чения. Например, если система имеет вид

ХіХ2 +	Х 3 =	У®,
■Х2Х3 +	Х і =	Y\,
X3Xi +	ЙГ2 =	У®,

207

К О М М Е Н Т А Р И И

то мы будем ее записывать так:
X tXi+1 -j- Хі+2 = У \|	(i = 1, 2, 3; i, i	1, i + 2 e Z3),

где Z3 — поле вычетов no mod 3, причем в качестве представителен

классов несравнимых между собой чисел выбраны

числа 1,

2, 3.

Помимо

тождеств,

применяемых

книге II,

Диофант поль

зуется

здесь и следующим:

аҢа + I)2 +

а2 + (а +

I)2 =

(а2 +

а +

I)2.

Задача ІІІі, эквивалентная

системе

(Хі +

Х2 +

Х 3) -

Х \

У?

( 1 = 1 , 2 , 3),

как бы дополняет задачи

ІІзі и

ІІ35. Эта

система также определяет

многообразие А 3 в пространстве Q°.

Поскольку

Х і +

Х2 +

Х 3 =

X2 +

Y \ =

Х \ +

Y|,

то

Дио

фант

полагает

Хі +

Х2 +

Х 3 =

(а2 -f-

ß2)x2,

Xi =

ах,

Уі =

ßx,

X2 =

ßx,

У2 =

ах (а =

ß =

2), и первые два условия удовлет

ворены. Этим

он вводит дополнительное условие Хі = У2, которое

влечет за

собой

Х2 =

Уь После этого система определяет ужо не

А 3,

а А 2.

Чтобы обратить

третье

уравнение в

тождество,

Диофапт,

пользуясь методом задачи

ІІв, представляет а2 + ß2 в виде суммы

двух других

квадратов у2 + б2,

где

ѵ _

а/с2 + 2ß/c — а

я _

ß/c2 — 2ik — ß

1 + А2

’

1 + Г-

(У

Диофанта

к = 2,

поэтому у =

11/5 и б — 2/5).

Тогда, полагая

Х 3

ух,

У3

бх, он обращает и третье уравнение в тождество.

Остается

условие

Хі +

Х2 +

Х 3 =

(а -f-

ß +

у)х = (а2 + ß2)x2,

откуда

X = a +

ß +

‘

a2 + ß2

Нетрудно проверить, что все неизвестные выражаются рационально через отношение ß/a и к, т. е. являются функциями двух пара

метров.

2. Задачи ІІІ2 и 1113 эквивалентны системам

(Хі + Х	2 + Х 3)2 ± Х і = У2	(і = 1,	2, 3),
каждая из которых	определяет А 3 в Q6.	Эти задачи	представляют

обобщение на случай шести неизвестных соответственно задач ІІ24

20 8

А Р И Ф М Е Т И К А К Н И Г А I I I

и ІІ26, которые приводились к аналогичным системам от четырех неизвестных. Диофант применяет здесь те же самые методы, пока'

зывая тем самым, что они пригодны для

аналогичных

систем п

уравнении от 2п неизвестных.

Задача

11Т4 дополняет

две

предыдущие;

опа приводится к

системе

Л’і -

(X,

Х2 + Х яу- =

У?

(і =

2, 3)

которая

определяет у\3 в Q0.

Подстановки

Диофанта

здесь сле

дующие:

X i -f- Х2 -|- Х’з — X,

Х і

(а2

+ I)*2,

У1 =

а х

(а =

1),

Х2 =

(ß2

+ 1)х2,

У,

ßx

(ß =

2),

X , =

(YS

+ 1)*2,

у 3 =

ѵ*

(y = 3 ) .

Тогда все три уравнения обращаются в тождества, если выпол

нено условие

откуда

X , + Х 2 + Х 3 = (а2 + ß2 + у2 + 3)У- = *,

X -

а* +

Р*+Т* +

3 ‘

Таким образом, неизвестные выражаются как рациональные функ

ции трех параметров.

4. Задача

ІІІ6 эквивалентна системе

Xi +

i 2-f X, =

г2,

{

Х і+і -

Хі+2 = У?

(і =

1 , 2 , 3 ;

і + 1 ,

i +

2 e z 3),

Хі +

которая определяет А 3 в Q7. Диофант дает сначала более частное

решение, при котором неизвестные выражаются как функции од ного х) параметра, а потом — чрезвычайно изящное общее реше ние. Оно основано, по-видимому, на следующем соображении: если сложить левые части трех последних уравнений, то получится ле вая часть первого; отсюда получается условие для правых частей

Поэтому Диофант выбирает такие три квадрата, сумма которых является квадратом:

ß2 +

+ 62 = е2

(ß = 2, V = 3, б = 6, е = 7).

») Впрочем, это решение легко обобщить так, чтобы неизвестные выража лись рациональными функциями от двух параметров.

209

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 3421 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ