книги из ГПНТБ / Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах

Д И О Ф А Н Т

двух чисел минус их сумма или остающееся число тоже давало квадрат.

Если к каждому из найденных в предшествующем чисел я прибавлю двойку, то полученные числа удовлетво­ рят заданному; и нужно сказать следующее.

Возьмем как 1-е из искомых чисел ж2 + 2, 2-е ж2 -|-

+2х -|- 3, 3-е же 4т2 -|- 4ж + 6 ; и задания выполняются. Теперь остается приравнять квадрату 4т2 + 4х 4- 4

или его четверть, т. е. х2+ х + 1. Если в качестве стороны квадрата возьмем разность х — 2 , то квадрат будет

иж равен 3/5.

Кподстановкам. 1-е будет 3/5, 2-е 5/5; если отбросить знаменатели, то 1-ѳ будет 3, а 2-е 5, и они удовлетворяют предложенному, ибо [сумма] их квадратов вместе с их произведением дает квадрат.

Если умножить 3 и 5 на какое хочешь число, то полу­ чающиеся числа тоже удовлетворят условиям.

[ В т о р а я ] л е м м а к н и ж е с л е д у ю щ е м у * . Найти три прямоугольных треугольника, имеющих одинаковые площади.

Прежде всего нужно найти такие два числа, чтобы их квадраты вместе с произведением их давали (квадрат. Это уже показано выше; искомые числа будут 3 и 5; их квадраты вместе с произведением дают квадрат), имеющий сторону 7.

130

Д И О Ф А Н Т

и X2 будет 16-й частью 36; сторона этого квадрата будет 6/4. Но 6 — произведение сторон [квадратов] 4 и 9, т. е. [ко­ личеств] 2 и 3, а знаменатель, т. е. 4, является стороной квадрата, [равного] 16.

Если тебе предложат найти три числа таких, чтобы произведения двух любых давали заданные квадраты, например 4, 9 и 16, то образуй произведение сторон [квадратов] 4 и 9 — получится 6 ; раздели это на сторону 16 (— квадрата); получится 1-е 6/4. Теперь опять 4 (— ква­ драт) раздели на 6/4; получится 16/6; затем 9 (— квадрат) раздели на 6/4; получится 6 .

Следовательно, числа будут: 1-е 6/4, 2-ѳ 16/6, 3-е 6 . 8 . Найти такие три числа, чтобы произведшіе любых двух из них, если прибавить к ним сумму всех трех или

вычесть ее, давало квадрат.

Опять отыщем сначала три треугольника, (имеющих равные) площади, и, найдя их, возьмем квадраты гипоте­ нуз; это будут 3364, 5476 и 12769. Имея их, найдем, как описано выше, три числа такие, чтобы произведения любых двух из них образовывали заданные квадраты; пусть это будут приведенные выше.

Мы получим их вследствие того, что каждый из этих квадратов, если приложить к нему или вычесть 3360, дает квадрат и 3360 есть учетверенная площадь каждого

взятые попарно их произведения образуют данные выше квадраты.

Остается сумму этих трех приравнять 3360а;2; для полу­ чения одинакового знаменателя превратим его в [484996]1).

3' ѲЫ 4996-> - И °УММа ТРеХ бУДеТ L 4849-96 J * = 336°* '

Умножив ее на [484996], получим

131299224а; = [16295865б0].г2

>) В тексте стояло неверное число 121249, что привело к необходимости ис­ править и дальнейшие выкладки. (Прим, ред.)

132

А РИ Ф М ЕТИ К А К Н И ГА V

II

9*. Разложить единицу на две дроби и прибавить к каж­ дой из них заданное число так, чтобы получился квадрат.

Данное число не должно быть нечетным, <и удвоенное от него, увеличенное на единицу, не должно делиться на простое число, которое, после прибавления единицы, является кратным четырем) 2).

Предположим, что к каждой дроби добавляется 6 и получается квадрат.

Так как мы желаем разложить единицу, прибавить к каждой части 6 и образовать квадрат, то, значит, сумма квадратов должна равняться 13. Таким образом, нужно разложить 13 на два квадрата, чтобы каждый из них был больше 6 .

Если я разложу 13 на два квадрата, разность которых меньше единицы, то решу задачу. Беру половину 13; получится Q1/^; и ищу, какую квадратичную дробь нужно придать к 6 г/г для образования квадрата. Увеличим все в 4 раза. Тогда я буду искать, какую квадратичную дробь нужно приложить к 26, чтобы получился квадрат. Пусть

ж2 будет 100, а 1/ж2 будет 1/100. Таким образом, к 26 нуж­ но придать 1 /1 0 0 , а к 6 Ѵ2 — одну четырехсотую, что дает квадрат на стороне 51/20.

Таким образом, 13 надо разложить на два квадрата так, чтобы сторона каждого была возможна ближе к 51/20. И будем искать, что надо вычесть из 3 и прибавить к 2, чтобы получить именно 51/20.

') Конец задачи в рукописи отсутствует. (Лрилі. реѲ.)

‘) Текст задачи испорчен. Ограничение приведено по реконструкции П. Таи-

иери. (Прим, ред.)

133

Д И О Ф А Н Т

4843/10201, и ясно, что каждая вместе с 6 единицами образует квадрат.

10. Разложить единицу <на две дроби) и к каждой прибавить по некоторому заданному числу так, чтобы образовались квадраты.

Пусть предложено разложить единицу и прибавить к одной [части] 2 , а к другой 6 так, чтобы каждая стала квадратом.

Построим единицу AB, рассечем ее в Г, к АГ прило­

АЕ окажется равной 9, и ее нужно разделить на два квад­ рата ГА, ГЕ.

Но так как один квадрат будет больше АД, т. е. двой­ ки, и меньше AB, т. е. тройки, то я прихожу к тому, что заданный квадрат, т. е. 9, нужно разделить па два квад­ рата АГ и ГЕ так, чтобы один из них, ГД, паходился между двойкой и тройкой. Когда ГА будет найден, а АД — двойка — является данным, то, значит, оставший­ ся АГ будет найден. Но AB является единицей, и, значит, оставшийся ВГ будет найден; тогда будет найдена и точка Г, которая подразделяет единицу.

Порядок действия будет описан ниже. Пусть один из квадратов, находящийся между 2 и 3, будет ж2; следо­ вательно, остающийся будет 9 — х2, он равен квадрату:

9 — а? = Q

Приравнять это квадрату нетрудно, по должно най­ ти X2 между 2 и 3. Берем два квадрата: один больший 2,

^34

А РИ Ф М ЕТИ К А К Н И ГА V

а другой меньший 3. Они будут 289/144 и 361/144. Если мы можем вставить ж2 между двумя упомянутыми квадра­ тами, то задача будет решена.

Нужно, чтобы сторона ж2, т. е. ж, была больше 17/12

чающимся из некоторого числа, взятого 6 раз и разде­ ленного на квадрат этого числа, увеличенный на единицу. Таким образом, приходится отыскивать некоторое чис­ ло, которое, увеличенное в 6 раз и разделенное на уве­ личенный единицей квадрат этого числа, дает частное (ларофоАті) большее 17/12 и меньшее 19/12.

Пусть искомое будет я1), и ищу согласно предыдуще­ му условию, чтобы было

Но 17, деленное на 12, дает в частном 17/12, значит,

289; остаток будет 1007; возьми его сторону; она не боль­

(19/12); мы найдем, что ж будет не меньше 66/19, но не больше 67/17. Пусть ж будет ЗѴ2.

135

Д И О Ф А Н Т

получится один отрезок единицы 1438/2809, так что вто­ рой отрезок будет 1371/2809. И заданное выполнено.

11*. Разложить единицу на три числа, к каждому из них прибавить одно и то же заданное число и сделать каждое квадратом.

Нужно, однако, чтобы данное число не было двойкой, а также и числом, полученным из двойки увеличением на кратное восьмерки.

Пусть будет задано разложить единицу на три числа и прибавить к каждому из них по 3 так, чтобы каждое из них сделалось квадратом.

Нужно снова разложить 10 на три квадратных числа таких, чтобы каждое из них было больше 3. Если опять разложить 1 0 на три квадрата при помощи процесса при­ ближения (см. задачу Ѵ0), то каждый из них бу­ дет больше тройки, и мы сможем, вычитая из каждого из них по 3, получить дроби, на которые подразделяется единица.

Возьмем третью часть 10, т. е. ЗѴ3, и поищем, какую квадратичную дробь нужно придать к ЗѴ3, чтобы полу­ чить квадрат. Увеличим все в 9 раз. Теперь к 30 нужно придать некоторую квадратичную дробь и сделать це­

получится 121/36. Нужно разложить 10 на три квадрата так, чтобы сторона каждого квадрата была возможно ближе к 1 1 /6 .

Но 10 складывается из двух квадратов, а именно 9 и 1. Разложим 1 на два квадрата: 9/25 и 16/25, так что 10 со­

55; итак, нужно каждую из этих сторон построить (воз­ можно ближе) к 55.

136

А РИ Ф М ЕТИ К А К Н И ГА V

Образуем одну сторону 3—35а;, другую Зіх + 4/ 6 и последнюю 37ж -f- 3/5. Сумма квадратов на них будет

3555жг +10-116® .

исами квадраты. Остальное очевидно.

12.Разложить единицу на три числа и к каждому из них прибавить по заданному числу так, чтобы каждое стало квадратом.

Пусть заданы числа 2, 3 и 4. Опять приходим к раз­ ложению 1 0 на три квадрата таких, что первый больше двойки, второй больше тройки и третий больше 4.

Если мы разделим единицу пополам, придадим к каждому из данных чисел по Ѵ2, то надо будет искать один квадрат большим двух, но меньшим 2 1/а, а второй большим 3, но меньшим 3Ѵ2 и третий большим 4, но меньшим 4Ѵ2. И все это приводится к подразделению 10 — суммы двух квадратов,— [каждый из которых] делится на два новых квадрата так, чтобы один из них был боль­ ше двух, но меньше 2Ѵ2. Если мы из этого вычтем двой­ ку, то получим одну из частей единицы.

Затем, если другой из квадратов мы подразделим на два других квадрата так, чтобы один из них был больше 3, но меньше ЗѴ2 и, если мы из него вычтем 3, то получим один из искомых. Таким же образом найдем и третий.

13. Заданное число разложить на три числа так, чтобы сумма двух любых давала квадрат.

Пусть будет задано 10.

И так как среди трех искомых чисел большее и сред­ нее дают квадрат и также среднее вместе с меньшим и меньшее вместе с большим, то, значит, три числа удвоен­ ные дадут три квадрата, из которых каждый будет мень­ ше 10. Но дважды взятые три [числа] дают 20; следова­ тельно, нужно 2 0 разложить на три квадрата, каждый из которых был бы меньше 1 0 .

Но 20 складывается из двух квадратов, именно 16 и 4; если один из искомых мы возьмем равным 4, то понадо­ бится 16 разложить на два квадрата так, чтобы каждый из них был меньше 10. Но мы уже выучились, как задан­ ный квадрат разлагать на два квадрата так, чтобы один из них был больше 6 и меньше 1 0 .

137

Д И О Ф А Н Т

Итак, пусть сумма обоих будет 16; нужно ее разло­ жить на два квадрата так, чтобы каждый из них был мень­ ше 1 0 ; и если каждый из них мы вычтем из 1 0 , то найдем и остальные квадраты, которые, сложенные по два, об­ разуют квадрат.

14. Заданное число разложить на четыре числа, ко­ торые, взятые по три, [в сумме] давали бы квадрат.

Пусть заданное число будет 10.

Так как [сумма] (трех взятых) по очереди, начиная с 1 -го, дает квадрат и то же самое дают три взятые, на­ чиная со 2 -го, а также три, начиная с 3-го, и три, начи­ ная с 4-го, то трижды взятые четыре числа дают в сумме четыре квадрата. Но взятые трижды четыре числа дают 30; таким образом, нужно 30 разложить на четыре квад­ рата так, чтобы каждый был меньше 1 0 ; это же делается так.

Найти искомые можно при помощи процесса прибли­ жения [см. Ѵц] каждого из них к 7Ѵ2 и последующего вычитания из 10. Или иначе: я вижу, что 30 складывает­ ся из 16, 9, 4 и 1. Возьмем 4 и 9; так как каждое из них меньше 10, то остается 17 разложить на два квадрата так, чтобы каждый из них был меньше 1 0 .

Если теперь, как мы выучились [см. Ѵ10] разложим 17 на два квадрата так, чтобы один из них был больше 8 Ѵ2, но меньше 1 0 , то каждый из них будет меньше 1 0 ;

трех чисел, к которому прибавляется каждое из этих чисел, был кубом.

Положим, что сумма трех чисел будет х, а искомые числа 7а;3, 26а;3 и 63а;3; установлено, что куб суммы этих трех с прибавлением каждого из них образует куб; остается сумму трех приравнять х.

Но сумма этих трех чисел будет 96а;3, так что 96а:3 = х. Разделив все на х, получим 96а? = 1.

И единица есть квадрат; если бы и 96а;2 было квадра­ том, то задача была бы решена. Поэтому я ищу, откуда появилось 96. Это сумма трех чисел, каждое из которых

») Слова, помещенные в квадратных скобках, Таинери считал интерполя­ цией. [Прим, ред.)

138

А РИ Ф М ЕТИ К А К Н И ГА V

вместе с единицей образует куб. Таким образом, дело приводится к отысканию трех таких чисел, чтобы каждое из них вместе с единицей давало куб и, кроме того, сум­ ма трех была квадратом.

9а;2 + 14 — 9а; = П -

Пусть он будет на стороне За; — 4 и получится х = 2/15.

Искомые числа будут: 1538/3375, 18577/3375, 7.

Возвращаясь к первоначальной задаче, беру три числа:

43740

3375 X3 = X.

[Сократим] на 15 и [разделим] все на х; получится

29163? = 225. И X будет 15/54.

К подстановкам. Так и будет х).

16*. Найти такие три числа, чтобы куб суммы трех ми­

некоторое кубическое количество будет равно х. [Разделим] все на а:; получим некоторое количество

квадратов, равное 1:

4877

1728

Но единица есть квадрат; значит, должно быть квад­ ратом и количество а;2. Откуда же получилось это коли-

(Прим, перев.)

139