книги из ГПНТБ / Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах

Д И О Ф Л Н Т

шим равняется разности [чисел], умноженной на умень­ шенное на единицу количество заданных чисел [4]

Пусть даны любые числа AB, ВГ, BA, BE с одина­ ковыми разностями; нужно показать, что разность между

AB и BE равна разности между AB и ВГ, умноженной на [количество] AB, ВГ, BA, BE, уменьшенное на единицу.

Действительно, поскольку предполагается, что AB, ВГ, BA, BE имеют между собой одинаковые разности, то, значит, АГ, ГД, АЕ будут между собой равными. Следо­ вательно, ЕА равняется АГ, умноженному на количество АГ, ГД, АЕ; количество же АГ, ГД, АЕ будет на еди­ ницу меньше количества AB, ВГ, ВA, BE; таким образом, ЕА кратно АГ в число раз, иа единицу меньшее количества AB, ВГ, BA, BE. И АЕ представляет разность между наибольшим и наименьшим числами, а АГ есть их одна общая разность.

III

Если дано любое количество чисел с одинаковыми раз­ ностями, то сумма наибольшего и наименьшего из них, умноженная на их количество, дает число, вдвое большее суммы всех заданных чисел [5].

Пусть даны любые числа А, В, Г, А, Е, Z с одина­

образует некоторое число, в два раза большее суммы всех А, В, Г, А, Е, Z.

Количество А, В, Г, А, Е, Z будет или четным, или нечетным.

Положим сначала его четным, и пусть количество за­ данных чисел будет равно количеству единиц в числе

170

О М Н О Г О У Г О Л Ь Н Ы Х Ч И С Л А Х

Ипоскольку разность между Z и А такая же, как между

Ги А, то сумма Z и А равна сумме Г и А. Но сумма Z и

Аравна произведению суммы Z и А на НА; так же и сумма

Ги А равна произведению суммы Z и А на AM. На том же основании и сумма Е и В равна произведению суммы Z и А на МК; таким образом, сумма А, В, Г, А, Е, Z равна произведению вместе взятых Z и А на НК. Но про­ изведение суммы Z и А на НК вдвое меньше произведе­ ния суммы Z и А на НѲ. Таким образом, сумма всех А,

В, Г, А, Е, Z вдвое больше произведения вместе взятых Z и А на ІіѲ, т. е. на количество А, В, Г, А, Е, Z. Это и требовалось доказать.

Пусть в тех же предположениях количество А, В, Г, А, Е будет нечетным, а в ZH будет столько единиц, сколько имеется А, В, Г, А, Е. Следовательно, ZH будет нечетным, отложим на нем единицу Z0, разделим ѲН пополам в К, а ѲК разделим в точке А на заключаю­ щиеся в ием единицы. И поскольку Е превосходит Г на

у. н л к н

столько же, как и Г превосходит А, то вместе взятые Г, А будут вдвое больше Г, т. е. произведения Г на ЛК; на том же основании вместе взятые В, А вдвое больше произведения Г и ЛѲ; таким образом, А, Е, В, А бу­ дут вдвое больше произведения Г иа ѲК. Но ѲН вдвое больше ѲК; тогда А, Е, В, А равны произведению Г на ѲН; так же и Г равно произведению Г и 0Z. Таким образом, сложенные вместе А, В, Г, А, Е равны произ­ ведению Г -ZH. Но удвоенное произведение Г -ZH будет равно произведению вместе взятых А, Е на ZH. Следова­ тельно,. удвоенная сумма А, В, Г, А, Е будет равна про­ изведению вместе взятых А, Е на ZH, т. е. на количество заданных. Это и требовалось доказать.

IV

Если дано, начиная с единицы, любое количество чи­ сел с одинаковыми разностями, то сумма их всех, умно­ женная на восьмикратную разность и сложенная с квад­ ратом уменьшенной на двойку разности, образует квадрат,

171

Д И О Ф А Н Т

сторона которого без двойки будет равна разности, ум­ ноженной на некоторое число, которое после сложения с единицей будет вдвое больше количества всех взятых чисел, считая и [начальную] единицу Iе].

Пусть будет, начиная с единицы, несколько чисел AB, ДГ и EZ с одинаковыми разностями. Я утверждаю, что все сказанное будет иметь место.

Пусть НѲ содержит столько единиц, сколько взято чисел, считая и единицу; так как разность, на которую EZ превышает единицу, к разности, на которую AB больше

ницами, будем иметь, что AZ равно КВ, взятому столько раз, сколько единиц в МѲ: так что AZ равно произве­ дению КВ-М Э1).

Положим KN = 2 и посмотрим, не будет ли сумма всех [чисел], умноженная на 8 КВ (где КВ есть разность чисел) и сложенная с квадратом NB (т. е. уменьшенной на двойку разности)2), равна квадрату, сторона которого

о

6ѳ

Сумма всех [чисел] равна половине произведения вмес­ те взятых EZ и ЕЛ на ѲН; (представим произведение

172

О М Н О Г О У Г О Л Ь Н Ы Х Ч И С Л А Х

что сумма всех равна телу КВ-НѲ-ѲЕ вместе с ІІѲ. Посмотрим, не будет ли тело КВ-НѲ-ѲЕ вместе с ѲН, помноженное на 8КВ и увеличенное на NB2, тоже квад­ ратом 2).

Но тело КВ-НѲ-ѲН, помноженное на КВ, состав­

ли сумма произведения 4НѲ-ѲМ), умноженного на КВ2, 4НМ-КВ и учетверенной суммы НѲ, ѲМ, умноженной на КВ, и и NB2 квадрата 4)?

Но 4НМ-КВ = 2NK-KB6). Увеличив это на NB2, получим [сумму] КВ2 и KN2. Теперь, не образует ли квад­

2НѲ. Такие действия в классической греческой математике считались недопустимыми. Этой точки зрения придерживался еще Ф. Виет. Дио­ фант же трактует, очевидно, и тело и сторону как числа, мы бы теперь ска­

173

Д И О Ф А Н Т

ѲМ в квадрате, умноженную на КВ2 г). Теперь, не об­

КВ равным некоторому числу Щ , то и квадрат вместе взятых НѲ и ѲМ, умноженный на КВ2, будет равен N£2, что мы докажем ниже. Следовательно, образует ли квадрат сумма N |2 и NK2 вместе с учетверенной суммой НѲ и ѲМ, умноженной на КВ ?

Но произведение 4 на (сумму) НѲ, ѲМ и на КВ равно 4N|, так как мы положили N£ равным произведе­ нию [суммы] НѲ, ѲМ на КВ, а 4N£ = 2NJ--NK, ибо NK мы положили равным 2. Итак, не образует ли квад­ рата (сумма) N£2 и NK2 вместе с 2N£-NK?

Но она действительно будет квадратом, сторона кото­ рого равна К |; если уменьшить ее на двойку NK, то оиа даст некоторое число N|, равное разности КВ, умножен­ ной на сумму НѲ, ѲМ; если к последней прибавить единицу НМ, то мы получим (удвоенное) число всех взятых членов.

Д о к а з а т ь п р о п у щ е н н о е [7].

Пусть вместе взятые НѲ и ѲМ равняются А, а КВ равно В и произведение вместе взятых НѲ, ѲМДіа КВ равно Г.

порее.)

174

О М Н ОГОУГОЛЬНЫ Х ЧИСЛАХ

Отложим на прямой AE, EZ, равное соответственно А и В, построим на них два квадрата ДѲ, ЕЛ и до­ полним параллелограмм 0Z.

Тогда ДЕ относится к EZ, как ДѲ к параллелограмму Z0; а как 0Е к ЕК, так и параллелограмм 0Z к ЕЛ; следовательно, параллелограмм 0Z есть средняя пропор­ циональная между квадратами ДѲ и KZ; значит, произ­ ведение квадратов Д0 • KZ равно квадрату параллело­ грамма 0Z х); и квадрат ДѲ равен квадрату вместе взятых ІТѲ и ѲМ, квадрат же ZK равен квадрату КВ, и паралле­ лограмм 0Z равен N£. И следовательно, квадрат на вмес­ те взятых ІіѲ, ѲМ, умноженный на квадрат КВ, равен квадрату N |.

После того, как все предшествующее изложено, мы утверждаем, что если имеются числа, начиная с единицы в любом количестве и с какой угодно разностью, то вся их совокупность есть многоугольник; он имеет углы, количество которых равно разности этих чисел, увели­ ченной на двойку, а стороной его будет количество этих чисел, считая и единицу.

Действительно, мы доказали, что сумма всех имеющих­ ся чисел, умноженная на 8КВ и сложенная с NB2, дает |К 2; если мы возьмем другую единицу АО, то получим КО = 2; одновременно KN также будет 2. Следовательно, OB, ВК и BN будут иметь одинаковые разности; значит, восьмикратное произведение большего [числа] OB на сред­ нее ВК, сложенное с BN2, будет равно квадрату, сторона которого равняется сумме большего OB и удвоенного среднего ВК. Таким образом, OB, умноженное на 8КВ и сложенное с NB2, равняется квадрату на вместе взятых OB и 2КВ; его сторона, уменьшенная на двойку ОК, дает в остатке ЗКВ; это же будет КВ, умноженное на трой­ ку; тройка же, сложенная с единицей, представляет удвоенную двойку.

■) Здесь уже Диофант оперирует с такими немыслимьши для классической античной математики понятиями, как квадрат параллелограмма и произ­ ведение двух квадратов. Хотя доказательство проводится на геометриче­ ских объектах, по они служат скорее для наглядности, по существу ж е площади и квадраты их понимаются как числа. (Ярtut. pcfl.)

175

Д И О Ф А Н Т

Таким образом, сумма всех взятых чисел вместе с единицей решает ту же задачу, что и OB; но ОБ является совершенно произвольным, и первым многоугольником после единицы (так как единица есть АО, а второе число AB), и имеет стороной двойку. Итак, вся совокупность

определение [8].

«Если взять сколько-нибудь чисел, начиная с единицы, имеющих одинаковые разности, то сумма их, если разность единица, будет Треугольником, если же двойка) , то четырехугольником, а если тройка — пятиугольником. Количество углов определяется разностью, увеличенной па двойку, а сторона — количеством взятых чисел, считая и единицу».

Если разность равна единице, то получаются тре­ угольники, стороны которых равняются наибольшим из предложенных Ічисел], и произведение наибольшего из предложенных на число, большее его на единицу, равно удвоенному рассматриваемому треугольнику. И если [многоугольное число] OB, имеющее столько углов, сколь­ ко в нем заключается единиц, множится на 8-кратпое числа, которое меньше его на двойку (т. е. па разность, которая умножается на 8КВ), и увеличивается па квад­ рат числа, которое меньше его на четыре (это будет NB2), то получается квадрат *).

Поэтому многоугольные числа имеют и такое опреде­ ление:

Всякий многоугольник, помноженный на восьмикрат­ ное числа, меньшего на два количества его углов, и сло­ женный с квадратом числа, меньшего количества его

S-8 (N — 2) + (N — 4)1 = [2 + (2п — 1) (ЛГ — 2)К (Ярилі. перво.)

176

О М Н О ГО У ГО ЛЬН Ы Х ЧИСЛАХ

После доказательства определения Гипсикла, а также и нового определения многоугольников остается лишь показать, как по заданной стороне находится предло­ женный многоугольник.

В самом деле, имея заданной сторону НѲ некоторого многоугольника, а также количество его углов, ми име­ ем данной и КВ. Но тогда данным будет и произведение суммы НѲ, ѲМ на КВ, а это равно N£; отсюда же мы получаем данной и К |, так как NK равна двум. Тогда данным будет и К£2, отнимая же отсюда уже данный NB2, получим данным и остаток, который будет кратным искомому многоугольнику, а именно по кратности 8КВ. Таким образом, мы можем определить и искомое много­ угольное число х). Подобным же образом для заданного многоугольного числа находим его сторону ИѲ; это и требовалось показать.

Для желающих легко запомнить преподанное поучи­ тельнее будет привести следующий метод.

Взявши сторону многоугольника, будем всегда удваи­ вать ее и вычитать единицу; остаток множим на число углов, уменьшенное па двойку; к полученному всегда прибавляем двойку и сумму возводим в квадрат; отсюда вычитаем квадрат числа углов без четверки и остающееся делим па восемь раз взятое число углов без двойки; таким образом получается искомый многоугольник.

Обратно, если дано само многоугольное число, то его сторона находится следующим образом. Множим число па восемь раз взятое число углов без двойки. К получен­ ному прибавим квадрат числа углов без четверки; если заданное число было действительно многоугольным, то должен получиться квадрат. От стороны этого квадрата вычитаем всегда двойку и делим остаток на количество углов, уменьшенное на два, к частному прибавляем еди­ ницу и от полученного берем половину; после этого потлучится искомая сторона многоугольника.

*) Зная сторону (число членов прогрессии) ГІѲ = п. а также число углов N , находим разность прогрессии КВ = d = N — 2. Далее, N5 = = (НѲ + ѲМ)-КВ = (n + п — 1) ff; многоугольное число (т. е. сумма S про-

177

Д И О Ф А Н Т

[Найти, сколькими способами данное число можно пред­ ставить в виде многоугольника [8].

Пусть дано число AB, количество углов которого равно ВГ, и возьмем на ВГ двойку ГД и четверку ГЕ. Так как AB является многоугольником, имеющим ВГ углов, то 8АВ-ВД вместе с BE2 образуют квад ра.

о

г

Пусть стороной его будет ZH, тогда

ZH2 равняется [сумме] 8АВ-ВД и BE2.

Возьмем на AB единицу АѲ и разложим 8АВ-ВД иа 4АѲ-ВД и учетверенную сумму AB, ВѲ, (умноженную на ВД. Положим, что ДК равно учетверенной сумме AB, ВѲ>, и преобразуем учетверенную сумму AB, ВѲ, ум­ ноженную на ВД, в произведение КД-ДВ, а4АѲ-ВД в 2ВД-ДЕ (так как ЕД = 2). Значит,

ZH2 = КД-ДВ и 2ВД-АЕ и BE2.

Но

2ВД-ДЕ и BE2 = ВД2 и ДЕ2.

Значит,

ZIT2 = КД-ДВ и ВД2 и ДЕ2.

Но

КД-ДВ и ВД2 = КВ-ВД;

значит,

ZH2 = КВ-ВД и ДЕ2.

двойке, то остаток ГК больше, чем 2ГД. Значит, точка, делящая ДК пополам, упадет на ГК, пусть в Л. Преобразу­

178

О М Н ОГОУГОЛЬНЫ Х ЧИСЛАХ

значит,

разность ДВ2 и ЛД2 равна КВ-ВД.

Следовательно,

ZH2 равняется разности ВЛ2 и ЛД2 вместе с ДЕ2. Прибавляем к обеим частям ДА2, тогда

[сумма] ZH2 и ДЛ2 равна [сумме] ВЛ2 и ДЕ2.

разность ЛД2 и ДЕ2 равна разности ЛВ2 и ZH2. И так как

ЕД = ДГ

и прибавляется ГЛ, то

ЕЛ - ЛГ вместе с ГД2 равно АЛ2.

Значит, разность ДА2 и ДЕ2, т. е. разность ДА2 и ДГ2, составляющая произведение ЕЛ-ЛГ, равна разности ЛВ2 и ZH2.

Положим

ZM = ВЛ.

(Действительно, ВЛ больше ZH, так как доказано, что

[сумма] ZH2 и АЛ2 равна [сумме] ВЛ2 и ДЕ2,

наконец, АЛ2 больше, чем ДГ2, т. е. больше ДЕ2, значит,

ДГ = 2АѲ,

179