книги из ГПНТБ / Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах

КО М М Е Н Т А РИ И

где ф и ф также рациональны.

Мы будем и в дальнейшем для пояснения приемов Диофанта прибегать к геометрической) интерпретации, хотя сам Диофант этого не делал. Однако геометрический язык стал в настоящее вре­ мя столь неотъемлемой частью математического мышления, что многие факты будет легче понять и объяснить с его помощью.

В частном случае, когда уравнение (1) имеет вид

(l') У2 = аХ2 + ЪХ + с2,

подстановки Диофанта особенно просты. Действительно, (l') имеет

190

А РИ Ф М ЕТИ К А К Н И ГА 11

Соответствующая кривая будет иметь рациональную бесконечно удаленную точку

Переходя к обычным координатам, получим уравнение (3).

Таким образом, подстановка (3) эквивалентна проведению пря­ мой через рациональную бесконечно удаленную точку кривой (2').

Заметим, что подстановки Диофанта по методам А и В совпа­ дают с так называемыми подстановками Эйлера, применяемыми при пптегрпроваппи дифференциалов вида

d X

V аХ" + ЬХ + с

Разница состоит лишь в том, что Диофант проводит все выклад­ ки над полем Q рациональных чисел, тогда как подстановки Эйлера можно применять и тогда, когда а или с не являются квадратами,

т. е. Y а или Y c иррациональны.

На то, что подстановки Диофанта совпадают с постановками Эйлера, обратил внимание еще Г. Г. Цейтен (История математики в древности и в средние века, М.— Л., ГТТИ, 1932, стр. 171). Однако на самом деле Диофант применяет свои подстановки не только в случаях, отмеченных Цейтеном, но и в самом общем слу­ чае, когда известно произвольное рациональное решение уравне­ ния (1) (см., например, задачу Па).

Основной результат Диофанта, полученный в книге II, может быть сформулирован так:

191

К О М М Е Н Т А Р И И

если неопределенное уравнение (1) имеет хотя бы одно рацио­ нальное решение, то оно имеет бесконечно много таких решений, причем все они представимы в виде

Хотя в книге II Диофант всякий раз находит только одно ре­ шение, отвечающее некоторому определением!/ значению параметра к, однако метод его не оставляет сомнений в том, что решений бес­

конечно много и что все они получаются с помощью одних и тех же операций, которые мы теперь записываем в виде формул (5) при различных значениях параметра к.

иѴІ15.

3.Поясняя методы Диофанта, мы все время прибегали к ге метрической интерпретации. Между тем ее не только не было у Диофанта, но она отсутствовала и у Виета, Ферма и Эйлера. Ско­ лем полагает1), что впервые такая интерпретация была дана во второй половине XIX века. Интересно отметить, что первая гео­ метрическая интерпретация метода А встречается в недавно опубли­ кованных Д . Т. Уайтсайдом математических бумагах Ньютона. Приведем перевод этого отрывка озаглавленного: «О решении чи­ словых проблем»2):

«Прежде всего искомые числа должны быть приведены к уравнению, отвечающему условиям вопроса; затем опи должны быть представлены как основание и ордината кри­ вой линии, которую определяет это уравнение. Пусть эта кривая будет D C , а числа — AB-, /іС(см. рис. 2), кривая же бу­ дет такой, что Число ВС, приставленное Как ордината к числу

это может быть сделано.

1. Если числа в уравнении не превышают второй сте­

Cambrige, 1971, стр. 110.

192

А Р И Ф М Е Т И К А К Н И Г А II

задана точка F на кривой, для которой^.#, H F рациональны,

то из этого единственного примера может быть получено общее правило. Возьми на А Н <отрезок> Н Е некоторой ра­ циональной длины, проведи EF, которая пересечет кривую в G, и опусти GK параллельно СВ, тогда числа А К, KG будут

Рис. 2 .

рациональной длины. Проведи Н Е , встречающую кривую в G, тогда А К, GK будут рациональными».

Далее Иыотоп останавливается на различных частных спосо­ бах, с помощью которых можно отыскать на кривой второго поряд­ ка по крайней мере одну рациональную точку. Второй случай, от­ меченный Ньютоном, относится к кривым третьего порядка, и мы поместим соответствующий отрывок в комментариях к книге IV.

Диофант рассматривает случай а = у (задачи П1113), но его метод, как он сам впоследствии (см. книгу III) говорит об этом, проходит и для случая а : у — те2. Диофант вычитает одно уравнение из другого (если а : у = те2, то нужно предварительно уравнять коэф­ фициенты при х) и получает

т — ѵ2 = ß - б.

Разность ß — б он произвольным образом раскладывает на множи­

К О М М Е Н Т А Р И И

Диофант не исследует в общем виде, при каких значениях а,

ß, у и б система будет иметь решения. Этим вопросом, насколько нам известно, впервые занялся Баше де Мезирпак, а окончательное решение он получил в работах Эйлера, Лагража и Лежандра.

б) Если задача сводится к системе двух или трех уравнений (систем с числом уравнений, большим 3, в книге II нет), то Дио­ фант стремится найти такие рациональные выражения для всех неизвестных через одно основное неизвестное и параметры, чтобы все уравнения, кроме одного, обращались в тождества. Оставше­ еся уравнение дает возможность выразить это основное неизвестное как рациональную функцию параметров.

Для обращения одного или двух уравнений в тождества Дио­ фант, если это возможно, выражает неизвестные как линейные функции от одного основного неизвестного и одного параметра (гео­

метрически такие подстановки описывают систему прямолинейных образующих поверхности). Такой прием мы будем в дальнейшем для краткости называть методом образующих.

В других случаях Диофант пользуется алгебраическими тож­ дествами, причем в книге II встречаются только простейшие из них, а именно:5

а2 -ф- Ъ2 + 2ab — (а + Ь)2,

5.Задачи IIj_5 очень интересны. На первый взгляд кажетс

что они просто повторяют задачи Із і , І М| І и , І 3з и І 33. На этом

основании П. Таннери считал их последующей вставкой. Нам ка­ жется, что дело обстоят иначе. Первые задачи книги II принци­ пиально отличаются от соответствующих задач книги I, а именно

они сводятся к неопределенным уравнениям, т. е. представляют первые задачи собственно диофантова анализа.

Рассмотрим для примера задачу ІЬ. Она эквивалентна урав­

решение находится точно таким же способом, как и в задаче Ізі. Однако в задаче І3і отношение Y / Х задано, поэтому мы полу­ чаем только одно решение и задача является определенной, а в задаче ІІі это отношение не задано, мы можем давать ß любые ра­

циональные значения, причем каждому такому значению будет отвечать одно и только одно рациональное решение. Диофант, ве­ роятно, и поместил схожие по формулировке задачи в кииге I и па-

194

А Р И Ф М Е Т И К А К Н И Г А I I

чале книги II, чтобы ярче показать специфику неопределенного анализа.

Все пять первых задач решаются методом А: поскольку все

Как нетрудно видеть, подстановка Диофанта эквивалентна прове­ дению прямой через точку (0, 0), лежащую на окружности (*). Каждому рациональному значению углового коэффициента ß будет отвечать рациональная точка этой окружности. И обратно, если мы соединим рациональную точку окружности (*) с началом коор­ динат, то получим прямую У = ßz, где ß рационально.

Задача ІІ2 приводится к уравнению, являющемуся уравнением гиперболы, проходящей через начало координат; остальные три задачи также эквивалентны задачам на нахождение рациональных точек окружности (задача ІІ4) и двух гипербол (задачи П 3 и ІІ6). Заметим, что Диофант не мог записать произвольное уравнение второй степени (поскольку он не имел обозначений для второго неизвестного и его степеней); поэтому, вероятно, он и начал с того, что продемонстрировал свой общий метод на различных уравнениях второй степени простейшего вида.

6. Задача По является определенной, но по своей постановке близка к следующей, уже неопределенной задаче. Быть может,

*) Это решение не входит в Q+, т. е. оно не является допустимым. Но, отправ­ ляясь от него, Диофант находит решение, принадлежащее Q+.

К О М М Е Н Т А Р И И

в котором Диофант принимает а2 = 16. Рациональными его реше­ ниями будут, например, (0, а) и (0, — а). Чтобы найти другие ре­

шения, Диофант делает подстановку

X= X,

Y= кх — а

(т. е. применяет метод А). Действительно, он пишет: «Составляю квадрат (т. е. У2) из некоторого количества х-ов минус столько еди­ ниц, сколько их найдется в стороне 16-ти, пусть это будет 2х — 4». Здесь число 2 берется как одно из возможных, а число 4 фикси­ руется, поэтому адекватной буквенной записью подстановки Дио­ фанта будет X — X, Y = кх — а, где а фиксировано.

После подстановки получим

т. е. X и У выражаются через рациональные функции параметра.

Знал ли Диофант о том, что задача допускает бесконечно много решений? Здесь он об этом ничего не пишет, и только из его метода можно извлечь, что каждому рациональному к отвечает рациональ­ ное решение X , У. Однако в задаче ІШ» Диофант пишет: «Мы знаем,

что разложение данного квадрата на два квадрата можно производлть

196

Диофант показывает, что если известно одно рациональное реше­ ние (в данном случае 2, —3) уравнения второй степени F2{X, У) = О,

197

К О М М Е Н Т А Р И Й

то X и Y можно представить как рациональные функции одного

параметра и, таким образом, найти бесконечно много других ре­ шений.

Замечание Ферма к задаче II* (№ III):

«Может ли также и число, являющееся суммой двух кубов, быть разделено на два других куба? Это трудный воп­ рос, решение которого, конечно, было неизвестно Баше и Виету, а может быть, и самому Диофанту; я решил его даль­ ше, в моих замечаниях к задаче IѴ2».

Решение этой системы эквивалентно нахождению рациональных точек пространственной кривой Г. Диофант вычитает из первого уравнения второе (т. е. рассматривает проекцию кривой Г па пло­ скость (U , Р)). Он получает

а — Ъ = U2 —■ V2 = (U — Р) (U + Р).

Разность а — Ь он раскладывает на множители:

□осле чего X находится из первого или второго уравнения:

X = t r - - g = p ^ — ■ у - а = У - Ь = [ к' - £ + Ьу - Ъ .

Решение Диофанта соответствует к = 4, а — 3, Ъ = 2.

И . Второе решение задачи П а также основано на исключении X из заданных уравнений (т. е. на проектировании), однако ре­

зультирующее уравнение Диофант представляет в несколько ином пнде:

U2 — а + Ъ = Р2,

и решает методом В.

198

А Р И Ф М Е Т И К А К Н И Г А I I

12. Задачи IIj ц составляют единое целое. Они отличаются по постановке потому, что Диофант ищет только положительные решения. Во всех трех задачах применяется один и тот же способ, описанный нами в п. 9.

после чего Два последних уравнения тождественно удовлетворяются, а из первого он получает

2 (ß + Т) '

Чтобы решения были положительными, Диофант вводит ограни­ чение

Р* + 72 < в-

Легко проверить, что преобразования Диофанта бирациональны.

определяет поверхность второго порядка в пространстве (Хі, Уі, Х 3),

а уравнения

Y i = X 8 + ß , X i = 2ßX3 -H ß21)

— систему прямолинейных образующих этой поверхности. Анало­ гично определяется система образующих и на второй поверхности, задаваемой последним уравнением первоначальной системы.

Наконец, Диофант находит в Q5 пересечение обеих этих систем

•) Здесь X , «= X .

199