книги из ГПНТБ / Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах
.pdfД И О Ф А Н Т
Было найдено, что .т = 120/23. Если подставлять в 1-е число, то Зт будет 3G0. Остается знаменатель: 120 [два дцать третьих] подставляем в х — 3, получаем 51. Окон чательно 1-е число будет 360/51; 2-е 120/23, так как оно не имеет X в знаменателе; 3-е число, точно так же [подставля ем] 120/23 в Ах, получаем 480, н также [подставляем] в знаменатель 120 [двадцать третьих], т. е. в х — 4, полу чаем 480/28, и доказательство очевидно.
37. Найти такие три числа, чтобы произведение лю бых двух из них имело заданное отношение к сумме всех трех.
Примем, что произведение 1-го и 2-го втрое больше суммы всех трех, произведение 2-го и 3-го вчетверо боль ше всех трех и произведение 3-го и 1-го в пять раз больше всех трех.
Так как произведение двух любых чисел имеет задан ное отношение к сумме трех, то я буду сначала искать три числа и еще одно произвольное, чтобы произведение двух любых имело заданное отношение к этому произвольному числу.
Пусть это произвольное число будет 5. И так как про изведение 1-го на 2-е втрое больше произвольного, т. е. 5, то, следовательно, произведение 1-го на 2-е будет 15. Пусть 2-е будет х, тогда первое равно 15/а;.
Затем, так как произведение 2-го и 3-го в четыре раза больше 5, то, значит, произведение 2-го на 3-е будет 20. Но 2-е есть х, тогда 3-е будет 20/х.
Остается, чтобы произведение 3-го и 1-го, т. е. 300/я2, было в пять раз больше 5. Получается, что 300/z2 = 25.
И если бы отношение двух видов было отношением квадрата к квадрату, то задача была бы у меня решена. Но 300 — количество Ихг — будет произведением 15 на 20. А 15 втрое больше 5 и 20 в четыре раза больше. Мы хо тим, чтобы утроенное 5, умноженное на учетверенное 5, имело к упятеренному 5 отношение квадрата к квадрату. Но 5 — это произвольное число г). Итак, мне приходится
искать |
некоторое число, чтобы, |
оно, увеличенное в 3 ра |
||
за |
и |
умноженное на себя же, |
увеличенное в 4 раза, |
|
имело к пятикратному себе же |
отношение, как квадрат |
|||
к квадрату. |
|
|
||
1) |
С, __ |
, |
, |
|
о 5с с |
Tu/üjv |
естѵ. (Прим , ред.) |
|
120
А Р И Ф М Е Т И К А К Н И Г А IV
Пусть искомое число будет т; оно, увеличенное в 3 раза и умноженное на четырехкратное себя же, будет 42т2; теперь нужно, чтобы это имело к пятикратному х такое же отношение, как квадрат к квадрату. Мы, значит, хотим, чтобы 12т2 имело к 5т отношение, как квадратное число
к квадратному. Следовательно, |
их произведение будет и |
само квадратом; итак, 60а;3 = |
Это же легко: прирав |
ниваю 60а;3 к 900т2; и х получается равным 15. К подстановкам. Искомое будет 15.
[Вместо 5] полагаю произвольное число равным 15; тогда произведение 1-го и 2-го будет 45. И 2-е число есть X; следовательно, 1-е будет 45/т. Таким же образом 3-е будет 60/т.
Остается, чтобы произведение 1-го и 3-го, т. е. 2700/т2, было пятикратным 15:
И X получается равным 6.
К подстановкам. 1-е число будет 7Ѵ2, 2-е 6 и 3-е 10. И если бы сумма трех чисел была 15, то искомое было
бы найдено. Полагаю, что сумма трех равна 15т2, а сами три, выраженные в х, как мы нашли, будут: 1-е 71/2а;, 2-е 6т, 3-е же Ют.
Остается лишь, чтобы сумма этих трех чисел равня лась 15т2, а сумма трех будет (23Ѵ2)т. Следовательно,
(23Ѵг) X = 15т2;
иX получается равным 47/30.
Кподстановкам. 1-е будет 352Ѵг, 2-е 282 и 3-е 470 тридцатых.
38. Найти такие три числа, чтобы сумма этих трех, ум ноженная на 1-е, давала треугольник *), умноженная на 2-е,— квадрат, а на 3-е, — куб.
Положим сумму трех чисел т2, 1-е же 1/т2, взятое тре угольное число раз, например 6, 2-е 4 -1/т2, а 3-е 1/т2 ку бичное число раз, пусть 8.
та (та + 1 )
') Треугольное число есть сумма l + 2 + 3 + . . . + n
2
8 Д + I = □ . (Прим риИ.)
121
Д И О Ф А Н Т
И ж2, умноженное на 1-е число, дает 6 — треугольное число, умноженное на 2-е, дает 4 — квадратное число, а умноженное на 3-е — 8 — кубическое число.
Остается, чтобы сумма трех была ж2, но эта сумма рав на 18/ж2:
я2 = 18 ~ . X3
Множим все на ж2, получится ж4 = 18.
Теперь нужно, чтобы 18 было квадратным числом, сто рона которого тоже квадрат. Но 18 представляет сумму треугольного, квадратного и кубического чисел. Мне при ходится искать, каким образом квадрат, сторона которого есть квадрат, можно разделить на треугольник, квад рат и куб.
Пусть квадрат будет ж4 + 1—2з?. Тогда, если я от ж4 отниму ж4 + 1—2Ж2, то в остатке получится 2ж2 — 1; это опять нужно разделить на треугольник и куб. И пусть куб будет 8; тогда останется треугольник 2ж® — 9, кото рый нужно приравнять треугольнику.
Но всякий треугольник, взятый 8 раз и получивший прибавок 1, становится квадратом. Следовательно, 16ж2—
— 71 = Q . Строю этот квадрат на стороне 4ж — 1. Квад рат будет Ібж2 -f-1—8ж; и ж будет равен 9.
К подстановкам. Треугольник будет 153, квадрат
6400 и куб. 8. |
|
я полагаю, |
|||
|
Возвращаясь к первоначальной задаче, |
||||
|
|
|
|
I |
, так |
что сумма трех чисел будет квадрат ж2,1-е число 153 ^ |
|||||
как оно должно дать треугольник; 2-е 6400 |
, так |
как |
|||
|
|
|
Л |
оно должно |
|
оно должно дать квадрат, и 3-е 8 ^ , так как |
|||||
дать куб; |
и ж2, будучи квадратом, на который множатся |
||||
эти числа, |
дает и треугольник, и квадрат, и куб. |
|
|||
|
Сумма трех этих чисел должна равняться ж2; она будет |
||||
6561-р = |
ж2. |
Множим все на ж2, получается ж4 = 656^> |
|||
и |
ж будет |
9. |
|
|
|
и |
К подстановкам. 1-е число будет 153/81, |
2-е 6400/81 |
|||
3-е 8/81; и |
доказательство очевидно. |
|
|
39*. Найти такие три числа, чтобы разность наиболь шего и среднего имела заданное отношение к разности сред
122
А Р И Ф М Е Т И К А К Н И Г А ІѴ
него и наименьшего и, кроме того, суммы двух любых чи сел давали квадрат.
Потребуем, чтобы разность наибольшего и среднего была втрое больше разности среднего и наименьшего.
Так как сумма среднего и наименьшего должна быть квадратом, то пусть этот квадрат будет 4. Тогда среднее должно быть больше двойки; пусть оно будет х -|- 2; следовательно, меньшее будет 2 — х.
И так как разность между наибольшим и средним втрое больше разности между средним и наименьшим, а раз ность среднего и наименьшего равна 2х, то разность наи
большего и среднего будет 6а:, и, |
значит, большее будет |
||
7х + 2 . |
1х + |
2, среднее |
х -f- 2, наименьшее |
[Наибольшее |
|||
2 — X.] Остаются |
два |
условия: сумма (наибольшего и |
наименьшего должна дать квадрат, и сумма наибольшего) и среднего тоже должна дать квадрат. И получается двой ное равенство:
8а: + 4 = 0 и 6ж + 4 = 0 .
И так как числа единиц являются квадратными, то ра венство решается легко.
Я образую два числа, чтобы их произведение равня лось 2х, как мы знаем для двойных равенств; пусть эти
числа будут Ѵг а:и 4; тогда х получится 112. |
При переходе |
к подстановкам я не могу от двух отнять х, |
т. е. 112; по |
этому я хочу иметь х меньшим 2, так чтобы 6а: 4 были меньше 16. Действительно, если двойка множится на 6а: и прибавляется 4, то получается 16.
Так как я ищу [решения] 8 а ; - | - 4 = 0 и 6 а ; + 4 — 0 , а квадрат двойки, т. е. 4, является квадратом, то у меня получились три квадрата:
8а: Д- 4, 6а; -f- 4 и 4,
и разность наибольшего и среднего чисел является треть ей частью разности среднего и наименьшего. Итак, я при шел к необходимости найти такие три квадрата, чтобы разность наибольшего и среднего была третьей частью разности среднего и наименьшего, кроме того, чтобы наи меньший квадрат равнялся 4, а средний был меньше 16.
Возьмем наименьший квадрат 4, а сторону среднего X + 2; тогда сам квадрат будет а? + 4ж + 4.
123
Д И О Ф А Н Т
Так как разность наибольшего и среднего [квадратов] является Ѵ3 разности среднего и наименьшего, а разность среднего и наименьшего есть а2 + 4а, так что разность
наибольшего |
и |
среднего |
будет |
1І3х1 + 1Ѵ3а, |
а среднее |
число есть |
а;2 |
+ 4а + 4; |
тогда |
наибольший |
квадрат |
будет |
|
1Ѵ3а2 + 5Ѵ3а + 4 = Q |
|
||
|
|
|
Все на 9:
12а2 + 48а; + 36 = Q
Берем четвертую часть:
За2 + 12а- + 9 = 0
Еще я хочу, чтобы средний квадрат был меньше 16, а
сторона |
его, |
конечно, меньше 4. |
Но сторона среднего |
||
а + 2. И это должно быть меньше 4. |
Отбросив общее 2, |
||||
получим, |
что |
X меньше 2. |
|
|
12а + 9 квадратом. |
Итак, |
мне |
нужно сделать За2 + |
|||
Образую |
0 |
на стороне 3 |
минус |
некоторое [число] а. |
|
Тогда а |
получится равным |
этому |
числу при а, взятом |
6 раз с прибавлением 12 (т. е. количества а в уравнении), причем вся сумма разделена на разность, на которую квад рат на этом числе больше 3— количества а2 в уравнении 1). Итак, мне нужно отыскать какое-то число, взятое 6 раз с прибавлением 12 и разделенное на разность, на которую квадрат этого числа больше 3, [оно и] дает частное, мень шее 2.
Пусть искомое число будет а 2); оно, взятое 6 раз с до
бавлением 12, |
дает 6а + 12; квадрат же на нем минус 3 |
|
будет а2"— |
Йтак, я хочу разделить ба + |
на а2 — ^ |
и сделать частное меньше 2. Но 2, разделенное на единицу, дает частное 2. Значит, 6а + 12 имеет к а2 — 3 отношение
меньшее, |
чем 2 к |
1. |
|
|
|
|
И одна площадь не равна другой; значит, произведе |
||||||
ние 6а + |
12 и 1 меньше произведения 2 на а2 — 3, т. е. |
|||||
6а + 12 |
меньше 2а2 — 6. Добавив |
к обеим сторонам по |
||||
6, получим |
6а + 18 меньше 2а2. |
|
|
|
||
') То есть если |
квадрат |
образован на 3 — hx, |
O ft |
і й , г г |
................-л \ |
|
то х = |
g ■ |
pocf.). |
||||
3) Диофант вводит здесь |
новое неизвестное, которое обозначает тем же сим |
|||||
волом, что и первоначальное. {Прим, ред.) |
|
|
|
124
|
А Р И Ф М Е Т И К А К Н И Г А IV |
|
Когда мы решаем такое уравнение, то множим поло |
||
вину [числа] при X на себя, |
получится 9, а также 2 при |
|
X2 на 18, получится 36; прибавляем к 9, получится 45; |
||
сторона [такой площади] не меньше 7. |
|
|
Прибавь половину количества х, (получится не менее |
||
10; раздели на число при х2>; будет не менее 5. |
||
Теперь мне нужно За:2 + |
12х + 9 приравнять квадра |
|
ту на стороне 3 — 5а;; и х |
получится 42/22, |
или 21/11. |
Сторону среднего квадрата я полагаю х + |
2; сторона |
квадрата будет 43/11, а сам квадрат 1849/121. Возвращаюсь к первоначальной задаче и полагаю
1849/121, являющееся квадратом, равным 6а; + 4; множим на 121; и х получается 1365/726, что будет менее двойки.
[Мы возвращаемся] к подстановкам первоначальной задачи; мы полагали среднее число х + 2, наименьшее 2 — а;, а наибольшее 7а; + 2. Наибольшее будет 11007/726, среднее 2817/726 и наименьшее (третье) 87/726. И так как знаменатель 726 не является квадратом, но только его 6-й частью, то, взявши 121, что будет квадратом, и разделив
Г |
получим: |
, |
1-е |
1834Ѵа |
с, |
469Ѵа |
о 14Ѵа |
все на 6, |
|
число |
12і |
» 2-е |
121 и 3-е . |
Если ты желаешь [получить] целые числа, то для уничтожения х/г помножь на 4. Тогда будут: первое число
7338/484, второе 1878/484, третье 58/484. И доказатель ство очевидно.
40. Найти такие три числа, чтобы разность, на которую квадрат наибольшего числа превышает квадрат среднего, имела заданное отношение к разности среднего и наимень шего чисел; кроме того, суммы взятых попарно чисел должны быть квадратами.
Пусть разность на которую квадрат наибольшего чис ла превышает квадрат среднего, будет втрое больше разно сти среднего и наименьшего чисел.
Так как наибольшее число вместе со средним образует квадрат, то пусть он будет 16а;2. Следовательно, наиболь шее число будет больше 8а;2; пусть оно будет 8а;2 + 2.
И поскольку сумма наибольшего и среднего чисел больше суммы наибольшего и наименьшего и" сумма) наи большего и среднего равиа'ібя2, то, следовательно, сумма наибольшего и наименьшего будет меньше 16а;2, но больше 8а;2. Пусть сумма наибольшего и наименьшего будет 9а:2. И сумма наибольшего и среднего равна 16а;2, из которых
125
|
|
Д И О Ф А Н Т |
наибольшее |
берет 8х2 + 2. Тогда среднее число будет |
|
8а;2 — 2, а |
наименьшее число |
х2 — 2. |
И я хочу, чтобы разность квадратов наибольшего и |
||
среднего чисел была в 3 раза |
больше разности среднего |
инаименьшего чисел, но разность квадратов наибольшего
исреднего чисел будет 64а;2, а разность среднего и наимень
шего чисел равна 7а;2; мы желаем, чтобы 64а;2 было втрое больше 7а;2, а 7а;2, взятое 3 раза, дает 21а;2. Но [ко
личество] а;2 получилось [из произведения] 32 |
на 2. |
И вот мне нужно найти некоторое число, которое, |
будучи |
взято 32 раза, дало бы 21; оно будет 21/32. |
|
21
Я полагаю наибольшее число равным 8а;2 + ^ і сРеД-
Остается одно условие, чтобы сумма среднего и наимень шего числа была квадратом. Но среднее и наименьшее
число [вместе] дают 9а:2 — р , что должно равняться ква
драту. 1 jr,у iijпустьu i D nнаu v iuсторонеp u iic ид/ За;u —• JTJL6. И Ла/ ;iiUi4получаетсяj чистил p сшашінравным
597/576.
К подстановкам. Наибольшее число будет равно
3069000/331776, среднее 2633544/331776 и наименьшее 138681/331776.
КНИГА V
1. Найти такие три числа в геометрической пропорции, чтобы каждое из них минус данное число было квадратом.
Пусть (данное) число будет 12.
Геометрическая пропорция получается, когда произве дение крайних имеет среднее в качестве стороны.
■Прежде всего ищу, какой (квадрат) после вычитания 12 (дает квадрат). Это не представляет трудностей [см. задачу П10], и такое число будет 421/«.
126
А Р И Ф М Е Т И К А К Н И Г А V
(Теперь первое число из крайних полагаю равным 421/4>і второе же а;2; тогда среднее будет (61/2):с.
Нужно, чтобы каждое пз остальных чисел минус 12
образовало квадрат и было |
|
|
|
|||
|
X2 — 12 — □ |
и (6V«)a? — 12 = Q |
|
|
||
Их |
разность равна |
х2 — (67а)я; деление на х |
дает частное |
|||
X — |
61'/2 • Половина разности, умноженная на себя, |
169/16; |
||||
это приравниваем |
меньшему, т. е. (6Ѵз)-т — 12. И х будет |
|||||
361/104. |
j |
/оі/ |
ч |
23467а |
|
|
т,. |
, |
|||||
К подстановкам. 1-е |
число равно 4274, |
2-е |
— |
|||
3-е |
130321/10816. |
|
|
|
|
|
2. Найти такие три числа в геометрической пропорции, чтобы каждое пз них после прибавления заданного числа было квадратом.
Пусть заданное число 20.
Опять отыскиваю какой-нибудь квадрат, который после прибавления 20 остается квадратом; это будет 16. Теперь одно из крайних я беру равным 16, а другое х2, тогда среднее будет Ах, и по предшествующей [задаче] остается искать
Ах + 20 = Q и хг + 20 = Q .
И их разность есть х2 — Ах. Деление: делитель х, частное X — 4. Половина разности, умноженная на себя, дает 4, которое надо приравнять меньшему 4а; + 20; это же не возможно, ибо 4 должно быть не менее 20.
Но А является четвертой частью 16, а 16 не будет каким угодно числом: это квадрат, который после приба вления 20 является квадратом; значит, мне предстоит искать, какой квадрат имеет четвертую часть большую 20 и сложенный с 20 дает квадрат. Этот квадрат будет больше 80.
Но 81 есть квадрат больший 80; следовательно, если за сторону искомого квадрата возьмем х + 9, то тогда сам квадрат будет х2 -f- 18а; + 81; он вместе с 20 должен
сделаться квадратом; |
следовательно, х2 4- 18а; + 101 ра |
||
вно квадрату. Пусть |
он на стороне х — 11; тогда этот |
||
квадрат |
будет хг + 121 — 22а;. Приравниваем |
его х1 + |
|
+ 18а; + |
101. И х получается ѴаСторона же |
искомого |
|
квадрата |
была х + 9; |
значит, квадрат будет 90’/4- |
127
Д И О Ф А Н Т
Теперь возвращаюсь к началу и полагаю одно из крайних ЭОѴі ! а третье х2. Тогда среднее будет 9г/з я; и мне надо искать х2 + 20 = Q и {^/2)х + 20 = Q . И разность есть X2 — (9Ѵа)а:; делитель и частное будут х и х — 97гПоло вина разности, умноженная на самое себя, будет 361/16,
которое надо приравнять меньшему, т. е. |
(^1/2)х + |
2 0 ; и |
получится X = 41/152. |
|
|
К подстановкам. 1-е число будет 901/*, |
2-е |
и 3-е |
1681/23104.
3*. К данному числу подыскать такие три числа, чтобы каждое, а также произведение любых двух из них, будучи прибавлены к заданному числу, давали квадрат.
Пусть данное число 5. |
|
|
|
|||||
И так как в «Поризмах» *) мы имеем: |
|
|||||||
|
|
«Если каждое из двух чисел и их произведение |
||||||
вместе |
с заданным числом, |
образует квадрат, |
то они |
|||||
получились |
из |
двух |
последовательных квадратов», |
|||||
то |
я |
беру |
два |
последовательных квадрата, |
1 -й на |
|||
X + |
3, |
2-й же |
на |
х + 4. |
И получаются квадраты: 1-й |
|||
X2 + |
6 х + |
9, 2-й же X2 + |
8 х + |
16. Вычитаю из каждого |
||||
по 5 и полагаю: 1-е х2 + 6 х + |
4, 2-е х2 + 8 х + И , а 3-ѳ |
|||||||
беру равным их удвоенной сумме без 1 , т. е. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
4х2 + |
28х + 29. |
|
Следовательно, остается, чтобы и это, сложенное с 5, да вало квадрат. Пусть 4х2 + 28х + 34 равно квадрату на стороне 2х — 6 . Это будет
4х2 + 36 — 24х = 4х2 -f- 28х + 34,
и X получается 1/26.
') Этот поризм, ио-видимому, имеет отношение ко второму, также потерян ному, решению 10-й задачи книги III, где спрашивается, при каких ус ловиях удовлетворяются уравнения
|
|
яч-т* + а = Р , |
Х г Х , |
+ а = □ , |
а д + а = □ , |
|||||
или, |
если |
положить |
д-, = |
1, |
|
|
|
|||
|
|
X, |
+ |
а = |
□ , |
*2 + |
а = G , 3434 + |
а = □ . |
||
Если |
согласно |
поризму |
взять |
|
|
|
||||
|
|
|
|
эсі = |
ж2 — а, |
яч = |
(х + |
I)2 — а, |
||
то |
х,хг = (хг + |
.т — о)1 — о. Нужно, |
однако, |
заметить, что это решение |
||||||
не |
является |
общим. |
(Прим. |
Л . Таннери.) |
|
128
|
А РИ Ф М ЕТИ К А К Н И ГА V |
К |
подстановкам. 1-е пиело 2861/676, 2-е 7645/676 и |
3-е 20336/676. |
|
4. |
Для данного числа подыскать такие три числа, что |
бы каждое из них пли произведение двух любых минус данное число было квадратом.
Пусть заданное число будет 6 .
Опять таким же образом полагаю два последователь
ных квадрата: 1 -й ж2, 2 -й ж2 + |
2 ж + |
1 , прикладываю |
к |
|
ним заданное число и беру: 1-е ж2 + |
6 , 2-е ж2 + |
2ж + |
7, |
|
а 3-е равным удвоенной их сумме без 1 , т. е. 4ж2 |
+ 4ж < + |
|||
+ 25. Следовательно, остается, |
чтобы и это число минус |
|||
6 было квадратом. Тогда 4ж2 + |
4ж + |
19 должно равнять |
ся квадрату, положим на стороне 2ж — 6 . И этот квадрат
будет 4ж2 + |
36 — 24ж, равный 4ж2 |
+ 4ж> + |
19. И ж бу |
|
дет |
17/28. |
|
|
|
3-е |
К подстановкам. 1-е число будет 4993/784, 2-е 6729/784, |
|||
22660/784. |
чтобы |
произведение |
||
|
5. Найти |
такие три квадрата, |
двух любых, сложенное с их суммой или с оставшимся, давало квадрат.
Мы опять имеем в «Поризмах» х):
«Для двух любых последовательных квадратных чисел находится еще одно число, равное удвоенной
сумме обоих квадратов вместе с двойкой; оно обра |
|
зует число, большее из трех, таких, что произведе |
|
ние любых двух из них, сложенное или с их суммой, |
|
или с оставшимся третьим, дает квадрат». |
2ж + 1, |
Положим эти три взятых квадрата: 1 -й ж2 + |
|
2-й ж2 + 4ж + 4, а 3-й 4ж2 + 12ж -j- 12. |
12 так, |
Теперь нужно построить это 3-е 4ж2 + 12ж + |
чтобы оно |
равнялось квадрату. Разделив на 4, будем иметь |
|
ж2 + |
Зж + |
3 = Q . Этот квадрат я строю на ж — 3; он |
тогда |
будет |
ж2 + 9 — 6 ж = ж2 + Зж + 3;
иж будет равен 2/3.
Кподстановкам. 1-е число будет 25/9, 2-е 64/9 и 3-е
196/9.
6 . Найти такие три числа, чтобы каждое из них минус
двойка давало квадрат и также чтобы произведение любых
■) Этот |
потерянный |
порпзм, по-видимому, относится к 15-й задаче книги |
III. |
См. также |
III,s. (Пргси. IT. Таннери.) |
5 Диофант |
129 |