книги из ГПНТБ / Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах

ДИОФАНТ

[И н а ч е.] х) Так как 1-е и 2-е (вместе) превышают 3- е на 20, то пусть 3-е будет х; следовательно, вместе взя­ тые 1-е и 2-е равны х + 20. Затем, поскольку 2-е п 3-е превышают 1-е на 30, то я полагаю, что 2-е равно столь­ ким единицам, сколько будет в полусумме 20 и 30, т. е. 25. И так как 1-е и 2-е вместе будут а: + 20, а 2-е равно 25, то, следовательно, остающееся 1-е будет х — 5. Затем нужно, чтобы 3-е вместе с 1-м превышали 2-е на 40, но 1-е вместе с 3-м дают 2а: — 5; значит, они равны 65 '1). Прибавим общий недостаток. Тогда 2а: равно 70; и х

получается равным 35.

К подстановкам. Я положил 1-е равным х — 5; оно будет 30, 2-е 25, а 3-е х , оно будет 35.

19. Найти четыре числа таких, чтобы сумма трех из них превосходила оставшееся на заданное число.

Необходимо, чтобы полусумма четырех избытков была больше каждого из них.

Предположим, что сумма трех последовательных чи­ сел, начиная с 1-го, больше 4-го на 20, а сумма трех, на­ чиная со 2-го, больше 1-го на 30, аналогично сумма трех, начиная с 3-го, больше 2-го на 40 и сумма трех последо­ вательных, начиная с 4-го, больше 3-го па 50 3).

Положим, что сумма всех четырех (чисел) будет 2х. И так как три числа, начиная с 1-го, больше 4-го на 20, а на сколько первые три числа больше 4-го, на столько же все четыре больше удвоенного 4-го, четыре же числа равны 2х, то, следовательно, 2х превышают удвоенное 4-е

Р Второе решение, по мнению Таннери, является позднейшей вставкой.

Ш рим . ред.)

{.Прим, перси.)

50

АРИФМЕТИКА КНИГА I

[PI н а ч е.] *). Так как три числа, начиная с 1-го, превосходят 4-е на 20, то положим 4-е число равным х; следовательно, первые три числа будут х + 20. Затем три числа, начиная со 2-го, больше первого на 30 2).

Положим, что вместе взятые 2-е и 3-е числа содержат столько единиц, сколько их будет в половине суммы двух избытков (я говорю о 20 и 30), т. е. 25. И так как три числа,

на 30, а три, начиная с 3-го, больше 2-го на 40, то вместе взятые 3-е и 4-е числа будут 35 3). Следовательно, оста­ ющееся 3-е будет 35 — х. Но 2-е и 3-е равны 25, и из них

3-го на 50; но сумма этих трех будет Зх — 15, а 3-е число равно 35 — X. Необходимо же, чтобы Зх — 15 превосхо­ дило 35 — х на 50; таким образом, 85 — х равно Зх — 15;

иX получается равным 25.

Кподстановкам. Я положил 1-е число х — 5; оно будет

20; точно так же 2-е будет 15, 3-е же 10, а 4-е 25.

20. Заданное число разложить на три таких числа, чтобы каждое из крайних, сложенное со средним, имело к оставшемуся крайнему заданное отношение.

Пусть предложено разложить 100 на три числа так, чтобы сумма 1-го и 2-го была втрое больше 3-го, а 2-е и 3-е вместе были в четыре раза больше 1-го.

Положим, что 3-е число будет х; так как 1-е и 2-е втрое больше 3-го, то положим, что оба вместе будут Зх. Следовательно, все три числа будут 4х, они же равны

(При.н. перса.)

51

ДИОФАНТ

Далее, поскольку 2-е и 3-ѳ вместе вчетверо больше 1-го, то возьмем 1-е за х , следовательно, 2-ѳ и 3-е будут 4z; значит, все три будут 5z, или 100; и х окажется рав­ ным 20.

Таким образом, 1-е будет 20; 2-е же и 3-е 80, из кото­ рых 3-е будет 25; значит остающееся 2-е будет 55. И они удовлетворяют предложенному.

21. Найти три таких числа, чтобы наибольшее пре­ вышало среднее на заданную часть наименьшего, среднее же превосходило меньшее на заданную часть большего, а наименьшее на данное число превосходило бы задан­ ную часть среднего.

Необходимо, чтобы среднее превосходило наименьшее на такую часть наибольшего, чтобы одноименное с такой же частью х) число, умноженное на разность среднего и наименьшего, содержало количество 2) [неизвестных] чи­ сел большее, чем [содержит] среднее число.

Положим, что большее превышает среднее на третью часть наименьшего, а среднее больше наименьшего на третью часть большего, наименьшее же на 10 превышает третью часть среднего.

Положим наименьшее равным z и 10, на которые оно превышает третью часть среднего; тогда среднее будет 3z, так как наименьшее равно третьей части среднего и 10. Или так: положим среднее 3z; и так как я хочу, чтобы наименьшее превосходило на 10 третью часть этого сред­ него, то оно будет X + 10.

Остается, чтобы среднее превзошло наименьшее на третью часть первого числа; но среднее больше наимень­ шего на 2z — 10, это же будет третьей частью наиболь­ шего; значит, само наибольшее будет 6z — 30.

Нужно, чтобы это наибольшее превышало среднее на третью часть наименьшего; но наибольшее превосходит среднее на 3z — 30; значит, это есть третья часть наимень­ шего; следовательно, наименьшее равно 9z — 90; но най­ дено, что оно будет z + 10; и z оказывается равным 12Ѵ2.

Таким образом, [наименьшее] число будет 22Ѵ2, сред­ нее 37Ѵ2, наибольшее же 45, и удовлетворяют предложен­ ному.

52

АРИФМЕТИКА КНИГА X

[И н а ч е.] *) Найти и т. д.

Необходимо, чтобы даваемая часть наибольшего была такой, чтобы после прибавления к наименьшему она со­ ставила бы с ним число меньшее того, которое в начале было взято от среднего.

Положим опять наименьшее ж и 10, на которое оно пре­ восходит третью часть среднего; следовательно, среднее будет Зх, чтобы наименьшее число было на 10 больше 3-й части среднего. Далее, так как я желаю, чтобы наиболь­ шее число превышало среднее на третью часть наимень­ шего, то, если я прибавлю к среднему 3-ю часть наимень­ шего, то получу наибольшее равным ЗѴ3х + З1/3. Оста­ ется чтобы среднее было равно наименьшему и 3-ей части наибольшего, но наименьшее с третьей частью наиболь­

ными друг другу, если каждое из них дает следующему за ним указанную свою часть.

Пусть 1-е число дает 2-му свою треть, 2-е же 3-му четверть, а 3-е 1-му свою пятую часть, так чтобы после взаимного обмена все числа оказались равными.

Возьмем 1-е число так, чтобы оно имело третью часть, ибо оно должно отдать треть; пусть оно будет Зх; 2-е же должно иметь четвертой частью сколько-то единиц, ибо оно должно отдать четверть. Полошим, что оно будет 4;

53

ДИОФАНТ

нется 12 — 4z. Когда же оно получит от 2-го числа чет­ верть, т. е. 1, то станет 13 — 4z. Это будет равно х + 3; тогда X окажется равным 2.

К подстановкам. 1-е будет 6, 2-е 4, а 3-е 5. И предло­ женное очевидно [выполняется].

23. Найти четыре таких числа, чтобы после того, как каждое отдало следующему указанную свою часть, от­ давшее и получившее стали бы равными.

Пусть 1-е число дает 2-му свою третью часть, 2-е же 3- му — четверть, 3-е же 4-му — свою пятую часть и, наконец, 4-е дает 1-му шестую часть и после обмена они станут равными.

Положим 1-е число нескольким х , имеющим третью часть, так как оно отдает третью часть; пусть оно будет 3z; пусть четвертая часть 2-го числа содержит целое число единиц, так как оно должно отдать четверть; пусть 2-е будет 4. Таким образом, 2-е число, дающее свою чет­ верть — единицу и получающее х — 3-ю часть от 1-го, станет х + 3.

Следовательно, 1-е число, отдающее свою треть х и получающее от 4-го его шестую часть, должно стать рав­

частью 3-го числа, и, значит, последнее будет 30z — 60. Тогда нужно, чтобы 3-е число, отдав свою 5-ю часть и получив от 2-го его 4-ю, стало бы х + 3. Но если оно

отдаст свою 5-ю часть, т. е. 6z — 12, то будет иметь в

114 23-х частей *); избавимся от дробей, тогда числа будут:

*) хх «= Зх, X* = 4 , X* ■= ЗОх — 60, х4 ■= 18 — 6х; х «= 50/23. {Прим, порей.)

54

АРИФМЕТИКА КНИГА I

1-е — 150, 2-е — 92, 3-ѳ — 120, 4-ѳ — 114. И они удов­ летворяют предложенному.

24. Найти три таких числа, которые становятся рав­ ными после того, как каждое из них получает заданную часть от суммы двух других.

Пусть 1-е число получает З-ю часть от двух остальных объединенных, 2-е от двух остальных объединенных полу­ чает 4-ю часть, а 3-е от двух остальных объединенных получает 5-ю часть и все они становятся равными.

Положим, что 1-е будет х, а два остальных — сколькото единиц, имеющих для удобства З-ю часть целой, так как они дают третью часть; пусть это будут 3 единицы. Следовательно, все три вместе будут х -f- 3, а 1-е, полу­ чившее от двух остальных З-ю часть, становится х -j- 1.

Следовательно, нужно будет, чтобы 2-е, получив от двух остальных объединенных 4-ю часть, стало бы х -f- 1. Учетверим все, тогда учетверенное 2-е вместе с двумя остальными будет равно утроенному 2-му вместе со всеми тремя -1); следовательно, утроенное 2-е вместе со всеми

равно X + Ѵз-

Тогда нужно, чтобы 3-ѳ число, получив 5-ю часть от объединенных двух остальных, стало х + 1. Так же как и выше, упятерим все, и на основании таких же рассуж­ дений получится, что 3-е будет х + 1/2.

каждое от трех остальных объединенных заданную часть, сделались равными.

Пусть 1-е получит от трех остальных объединенных третью часть, а 2-е от остальных трех объединенных чет­ вертую часть, 3-е же также от трех пятую часть, а 4-е — шестую. И они станут равными.

Положим, что 1-е будет х, а три остальных имеют сколь­ ко-то целых единиц в третьей части, так как они отдают

*) 4 [*« + Ѵі (жа + ж,)] = Зжі + (ж, + X, + X,). (Лрим. перво.)

55

ДИОФАНТ

3-ю часть; пусть это будут 3 единицы; следовательно, [все четыре вместе будут х 3, а] 1-е, получив от остальных объединенных третью часть, будет х + 1 Э-

Тогда нужно, чтобы 2-е, получив от остальных объе­ диненных четвертую часть, стало бы равным х -[- 1 2). Опять таким же образом учетверим все, получим, что 2-е

число будет X + 1/3, 3-е — х -|- Ѵг> 4-е — х + 3/ б.

Остается, чтобы сумма всех четырех оказалась равной X + 3; отсюда получается, что х = 47 90-х частей.

Тогда будут: 1-е равняться 47, 2-е 77, 3-е 92 и 4-е 101 Они удовлетворяют предложенному.

26. Для двух заданных чисел найти некоторое число, которое, будучи умножено на каждое из этих чисел, в од­ ном произведении дает квадрат, а в другом — сторону квадрата.

Пусть два данных числа будут 200 и 5, а искомое пусть будет X.

Если оно будет помножено на 200, то произведет 200ж,

ана 5 произведет 5х. Одно из них должно быть квадратом,

адругое — стороной его. Теперь, если я возведу в квадрат

5х, то получится 25а.-2, которые будут равны 200а. Разделим все на х; тогда 25а равно 200; н х = 8 и

удовлетворит предложенному.

27. Найти два таких числа, чтобы их сумма и произве­ дение равнялись заданным числам.

Нужно, чтобы квадрат полусуммы искомых отличался от их произведения па квадрат. Это необходимое условие формирования 3).

Пусть их сумма будет 20, а произведение 96. Положим, что их разность будет 2х. Так как их сумма

равна 20, то, если я разделю ее пополам, каждая из получеппых делением частей будет равна половине суммы, т. е. 10. И если половину разности, т. е. х, я прибавлю к одной полученной от деления половине и вычту из другой, то у меня опять получатся сумма 20 и разность 2х. Положим

3)У Диофанта есть Be тоито - ?аа',Латіхпѵ.

Текст не совсем ясен, по-видимому, имеется в виду формирование раци­ онального решения. (При.\і. реО.)

56

А РИ Ф М ЕТИ К А К Н И ГА I

Остается, чтобы произведение их было 96. Но их произведение будет 100 — х2; это же равно 96; и

X = 2 .

Следовательно, большее будет 12, а меньшее 8. И заданное выполнено.

28. Найти два таких числа, чтобы их сумма, а также сумма их квадратов, равнялась заданным числам.

Нужно, чтобы удвоенная сумма их квадратов была больше квадрата их суммы на некоторый квадрат. Это необходимое условие формирования х).

Пусть сумма этих чисел равна 20, а сумма их квадра­ тов 208. Положим, что их разность равна 2х. И пусть большее будет х + 10 (эта опять сумма их половин), а меньшее 10 — х. И опять их сумма остается 20, а раз­ ность 2х.

Кроме того, сумма их квадратов дает 208; но сложение их квадратов дает 2а;2 -(- 200. Это будет равно 208; и х оказывается равным 2.

К подстановкам. Большее будет 12, а меньшее 8. И заданное выполнено.

29. Найти два таких числа, чтобы их сумма и разность их квадратов равнялись заданным числам.

Пусть их сумма составляет 20, а разность их квадра­ тов 80.

Положим их разность равной 2х. Тогда точно так же большее число будет х + 10, а меньшее 10 — х, и опять их сумма остается равной 20, а разность 2х.

Кроме того, разность их квадратов равна 80; но раз­ ность их квадратов будет іОх; это же равно 80.

Иопять получается, что большее число 12, а меньшее

8.И опять задача выполнена.

30. Найти два таких числа, чтобы их разность и про­ изведение представляли заданные числа.

Нужно, чтобы их учетверенное произведение вместе с квадратом их разности давало квадрат. И это также условие формирования.

Пусть их разность будет 4, а произведение 96. Положим, что их сумма 2х\ имеем также и их разность

4. Тогда подобным же образом большее будет х + 2, а меньшее х — 2, и сумма их остается 2х, а разность 4.)•

•) См. споску3) па стр. 5(і. {Прим, ред.)

57

И опять большее получается 12, а меньшее 8. И задача выполнена.

31. Найти два числа, имеющие между собой заданное отношение и такие, чтобы сумма их квадратов находилась в заданном отношении к их сумме.

Пусть большее будет втрое больше меньшего, а сумма их квадратов в 5 раз больше их суммы.

Полоишм, что меньшее х, тогда большее будет За;. Кроме того, сумма их квадратов в 5 раз больше их вместе взятых; ио сумма их квадратов составляет 10а;2, а сумма

к разности их самих.

Пусть большее будет в 3 раза больше меньшего, а сумма нх квадратов в 10 раз больше разности их самих.

Положим меньшее х, тогда большее будет Зх. Кроме того, я хочу, чтобы сумма их квадратов была в 10 раз больше разности их самих; но сумма квадратов их со­ ставляет 10а;2, а разность их самих 2а;. Следовательно, 10а;2 равно 10, умноженному на 2а;.

Разделим все на х. Следовательно, І0х будет равно 20;

иX оказывается равным 2.

Иопять меньшее число будет 2, а большее 6. И они удовлетворяют предложенному.

33.Найти два числа в даниом отношении и такие, чтобы разность их квадратов имела заданное отношение к сумме обоих чисел.

Пусть большее будет втрое больше меньшего, а раз­ ность их квадратов в 6 раз больше суммы их самих.

Примем меньшее за х, тогда большее будет За;. Кроме того, разность их квадратов равна 6 раз взятой их сумме, но разность их квадратов будет 8а;2, а сумма чисел 4а;. Следовательно, 8а;2 в 6 раз больше 4а;; значит, 24а; равно 8а;2; и х получается равпым 3.

58

А РИ Ф М ЕТИ К А К Н И ГА І

И меньшее число будет 3, а большее 9; и они удовлет­

Пусть большее число будет втрое больше меньшего, разность же их квадратов в 12 раз больше разности их самих.

Возьмем опять мепыпее за z; тогда большее будет Зх. Кроме того, разность их квадратов будет в 12 раз больше разности их самих; но разность их квадратов будет 8z2;

имеющие между собой данное отношение, такие, что их про­ изведение имеет заданное отношение к их сумме;

и еще два числа, имеющие между собой заданное от­ ношение, такие, что их произведение имеет заданное от­ ношение к их разности.

35. Найти два числа в данном отношении и такие, чтобы квадрат меньшего имел к большему заданное от­ ношение.

Положим, что большее будет втрое больше меньшего, а квадрат меньшего равен ушестеренному большему.

Возьмем опять меньшее за z, тогда большее будет 3z. Кроме того, квадрат меньшего равен ушестеренному боль­ шему; но квадрат меньшего будет z2. Следовательно, z2 будет ушестеренным 3z.

Таким образом, 18z равно z2; и х получается рав­ ным 18.

Меньшее число будет 18, а большее 54. И они удовлет­ воряют задаче.

36. Найти два числа в данном отношении и такие, чтобы квадрат меньшего имел заданное отношение к мень­ шему.

Пусть большее число будет втрое больше меньшего, а квадрат меньшего будет в 6 раз больше меньшего.

Возьмем точно так же большее за 3z, а меньшее z, и большее остается утроенным меньшим. Кроме того, квадрат меньшего составляет 6 раз взятое меньшее. Следовательно, z2 будет в 6 раз больше х.

59