книги из ГПНТБ / Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах

Д И О Ф А Н Т

17*. Найти три числа, сумма которых равна квадрату, такие, чтобы квадрат на каждом из них минус следующее число был тоже квадратом.

Опять возьмем среднее число 4а;; так как я хочу, чтобы квадрат 1-го числа после вычитания 2-го, т. е. 4х, был квад­ ратом, то я пришел к отысканию квадрата, который без 4а; был бы тоже квадратом.

Прежде всего я ищу два числа, произведение которых было бы 4.Т. Но 4а; имеют множителями 2 и 2а;. Беру поло­ вину их суммы и полагаю первое число х + 1; одно из условий у меня удовлетворено. Затем я хочу, чтобы квад­ рат 2-го числа, т. е. 16а;2, после вычитания 3-го был квад­ ратом; следовательно, если из 16а? отнимем некоторый квадрат (пусть он будет на стороне 4а; — 1, т. е. 16а;2 + + 1—8а;, что я и вычитаю из 16а?), то остаток 8а; — 1; я и беру 3-е число равным 8а; — 1, и второе условие вы­ полнено.

Затем я хочу, чтобы эти три числа давали в сумме квадрат, т. е. чтобы 13а; равнялось квадрату; пусть пос­ ледний будет равен 169а?, а х равен 13ж2 4).

К подстановкам. 1-е число будет 13а? + 1 , 2-е 52а? и 3-е 104а? — 1. И снова у меня выполнены в неопределен­ ной форме три заданпых условия.

Остается, чтобы квадрат 3-го числа минус 1-е был квад­ ратом. Но квадрат 3-го числа минус 1-е число будет

10816а;4 - 221а? = Q

[Сокращаем] все на а?:

10816а;2 — 221 = Q

Пусть [этот квадрат будет] на стороне 104а; — 1; тогда х получается равным 111/104.

К подстановкам. 1-е число будет 170989/10816, 2-е 640692/10816, 3-е 1270568/10816.

') Здесь Диофант, как и в ГѴ'і6, вводит новое неизвестное которое обозна­ чает тем же символом, что и первоначальное. {Прим, ред.)

100

Положим, что 1-е число будет ж, а 2-е будет кубическое число [минус ж8], пусть 8 — ж*. И получится, что куб 1-го числа, сложенный со 2-м числом, дает куб.

Остается сделать, чтобы квадрат 2-го числа, сложенный

с1-м, давал квадрат. Но квадрат 2-го числа, сложенный

с1-м, будет хв + X + 64 — 16ж3; (пусть это равно квад­

рату на стороне ж3 -)- 8, т. е. ж® + 16ж3 + 6 4 ). Прибавив к обеим частям недостающие члены и отбрасывая одина­ ковые, получаем в остатке

ж= 32ж3,

апосле сокращения на ж

32Ж2 = 1 .

Но 1 есть квадрат; если бы 32ж2 было тоже квадратом, то равенство дало бы решение. Но 32ж3 полупилось из дважды 16ж3, а 16ж3 есть дважды 8, помноженное на ж3. Таким образом, 32ж2 получилось из четырежды 8. Мне нуж­ но найти куб, который, четырежды взятый, давал бы квадрат.

Пусть искомый куб будет ж3; он, четырежды взятый, 4ж3, должен равняться квадрату. Пусть этот квадрат будет 16ж2; тогда ж получится равным 4.

К подстановкам. Куб будет 64.

Итак, кладу 2-е число равным 64 — ж3. Теперь остается сделать, чтобы квадрат 2-го, сложенный с 1-м, давал квад­ рат. Но квадрат 2-го, сложенный с 1-м, дает

ж° + 4096 -f- ж — 128Ж 3 = Q .

Пусть этот квадрат будет на стороне ж3 + 64; тогда квад­ рат равен

ж6 + 4096 + 128ж3.

Получается, что ж = 256ж3. И, следовательно, ж равен од­ ной (шестнадцатой).

К подстановкам. 1-е число будет 1/16, а 2-е [число] 262143/4096.

19*. Найти три числа в неопределенной форме такие, чтобы произведение любых двух вместе с единицей дава­ ло квадрат.

101

Д И О Ф А Н Т

Так как я хочу, чтобы произведение 1-го и 2-го вместе

с1 давало квадрат, то, если отнять 1 от любого квадрата,

яполучу произведение 1-го и 2-го чисел. Строю квадрат из взятого какое-нибудь число раз ж и 1; пусть это будет

зом. отняв 1 от какого-нибудь квадрата, я получу произ­ ведение 2-го и 3-го чисел. Построим квадрат на Зж + 1: он будет 9а:2 + 6ж + 1. Значит, если я отниму 1, то полу­ чится 9а:2 + баг, произведением 2-го и 3-го чисел должно быть 9а;2 + ба:; в него входит 2-е число х. Таким образом, остающееся 3-е число будет 9а: + б.

Далее, я хочу, чтобы произведение 1-го и 3-го чисел вместе с единицей было квадратом. Но произведение 1-го и 3-го чисел вместе с единицей будет 9а;2 + 24а; + 1 3 = 0 . Я имею а:2 взятым квадратное число раз; (если бы я имел и квадратное число единиц), то удвоенное произведение чи­ сел при а:2 и 1 было бы равно числу при ж, и три заданных условия были бы выполнены в неопределенной форме.

Но 13 получилось из произведения 2 и 6 вместе с при­ бавленной 1; далее, 2 получилось из [1-го] удвоенного про­ изведения X и 1, а 6 — из 2-го удвоенного произведения За; и 1. Я хочу получить квадрат из [1-го] удвоенного числа при X, помноженного на [2-е] удвоенное число при а:, и с [прибавленной] 1 [(2-1)-(2-3) + 1]. Но [1-е] удвоенное число при X, умноженное па [2-е] удвоенное число при х, равняется учетверенному произведению обоих чисел при X. Я хочу получить квадрат из учетверенного произведе­ ния этих чисел и единицы. Для всякой пары чисел учет­ веренное их произведение, сложенное с квадратом их раз­ ности, будет квадратом; поэтому, если мы построим квад­ рат их разности, то учетверенное произведение этих чи­ сел вместе с единицей будет квадратом.

Если квадрат разности равен 1, то и сама разность бу­ дет 1. Тогда нужно строить [квадраты] на ж, взятых после­ довательное число раз, вместе с прибавляемой единицей (пусть это будут на х + 1 и 2ж + 1). И квадрат на х + 1 будет ж2 + 2х + 1.

102

тогда произведение 2-го и 3-го чисел будет 4а:2 + 4а:, в ко­ тором 2-е есть х; следовательно, остающееся 3-е число будет 4а: + 4.

Итак, в неопределенной форме решена задача, как сделать, чтобы произведение любых двух чисел [из трех] вместе с единицей давало квадрат, и х будет таким, каким мы захотим. Искать в неопределенной форме — это зна­ чит получить такую подстановку *), чтобы условия удов­ летворялись, если подставить такое х, какое мы захотим.

20*. Найти четыре таких числа, чтобы произведения любых двух, сложенные с единицей, образовали квадрат.

Так как я хочу, чтобы произведение 1-го числа на 2-е вместе с 1 давало квадрат, то, отняв от какого-нибудь квадрата 1, я буду иметь произведение 1-го числа на 2-е.

с 1 давало квадрат; образую квадрат на 2х + 1, взяв х на 1 большее число раз, согласно доказанному в пред­ шествующем; от взятого квадрата отниму 1; произведе­ ние 1-го числа на 3-е возьму равным 4а;2 + 4ж. В этом [про­ изведении] содержится 1-е число х; остающееся 3-е число будет 4ж + 4.

Еще я хочу, чтобы произведение 1-го числа на 4-е вместе с 1 давало квадрат; этот квадрат я строю на За; + 1, [увеличивая на 1 число ранее взятых х]; взявши этот квад­ рат и отняв 1, буду иметь произведение 1-го числа на 4-е 9а:2 -г баг, в этом произведении содержится 1-е число ж; тогда останется 4-е число 9х + 6.

И так как получается, что произведение 3-го числа на 4-е вместе с 1 дает квадрат, а произведение 2-го числа на 4-е с 1 будет

9а:2 + 24а: + 13 = Q

'< , ^

ОYi и;іоота<п!. Здесь по смыслу следовало бы перевести «такую формулу». (Лргш. ред.)

103

Д И О Ф А Н Т

то я приравниваю его квадрату на стороне 3,г — 4, и по­ лучается X, равный одной (шестнадцатой).

К подстановкам. [Тогда в шестнадцатых долях] 1-е

число будет 1, 2-е 33, 3-е 68 и 4-е 105.

21. Найти такие три числа, составляющие пропорцию, чтобы разность двух любых из них была квадратом.

Положим, что меньшее равно я, среднее х + 4, чтобы их разность была квадратом, а большее число х + 13, чтобы и разность этого числа и среднего тоже была квад­ ратом.

Если бы разность наибольшего и наименьшего числа была квадратом, то получилось бы в неопределенной фор­ ме решение задачи, что разность двух любых чисел равна квадрату.

Но наибольшее число превышает меньшее на 13, а 13 есть сумма квадратов — 4 и 9; следовательно, мне нужно найти два квадрата, сумма которых была бы квадратом.

Это легко [сделать], используя прямоугольный тре­ угольник; они будут 9 и 16. Я полагаю наименьшее число равным X, среднее х + 9, а большее х -|- 25, и разность двух любых чисел будет квадратом.

Остается лишь, чтобы они были пропорциональны. Но если три чпсла пропорциональны, то произведение край­ них равно квадрату на среднем. Но произведение наи­

Пусть составленное из трех тело будет хг + 2х, а 1-е число равно 1, чтобы тело из трех после прибавления 1-го числа было квадратом.

Далее, я хочу, чтобы тело из трех вместе со 2-м было

104

А РИ Ф М ЕТИ К А К Н И ГА IV

кака:2 к 2а:, так и 4х к 9. Но количество х21) представляет половину количества 2а;. Если бы и 4х были по коли­ честву половиной 9, то деление было бы возможным. Но 4х получились из разности, на которую 6а; больше 2а:; а 6а: — из удвоенного произведения 3 на х, т. е. из удво­ ения 3; а 9 есть квадрат 3; таким образом, мне нужно най­ ти некоторое число, вроде 3, которое после удвоения и уменьшения на двойку было бы половиной своего квад­ рата.

Пусть искомое число будет х; после удвоения и умень­ шения на двойку получится 2а: — 2, а квадрат искомого

будет X2. Мы желаем, чтобы 2а; — 2 было у а;2.

чтобы тело из трех с добавлением 2-го числа составляло квадрат. Таким образом, если от некоторого квадрата я

и уменьшенные на двойку, были половиной своего квад­ рата; это уже было сделано, и это число есть 2.

Я строю квадрат на х + 2; он будет х2 + 4а; + 4. Если я вычту тело из трех, т. е. х2 + 2а;, то остаток будет 2-е чис­ ло. Произведение 1-го и 2-го <2а: + 4; если тело из трех, т. е. X2 + 2а;, я разделю на произведение 1-го и 2-го), т. е. на 2а; + 4, то буду иметь 3-е число; полученное част­ ное будет х/2.

И остается, чтобы составленное из трех тело вместе с 3-м числом было квадратом. Но это тело вместе с 3-м будет X2 -\-21/гх = Q , пусть 4а;2, откуда х получается 5/6.

Кподстановкам. В шестых долях 1-е будет 6, 2-е 34

и3-е 2Ѵ2.

23. Найти такие три числа, чтобы составленное из них тело минус каждое из этих чисел давало квадрат.

М Количество то яХт]0о<;; мы сказали бы ^коэффициент». (Прим. персе.)

105

Д И О Ф А Н Т

Возьмем X как 1-е кисло, а тело из трех х2 + z; после вычитания 1-го это дает квадрат. И так как тело из трех X2 + X, а 1-е число х, то, значит, произведение 2-го и 3-го чисел будет х + 1. Пусть 2-е число 1; тогда остающееся 3-е равно х + 1.

Теперь надо, чтобы составленное из трех тело после вычитания 2-го и 3-го давало квадрат. Остатки будут: один X2 + X — 1, равный квадрату, другой х2 — 1, тоже равный квадрату.

Получилось двойное равенство; беру разность: она бу­ дет z; составляю два числа, произведение которых было бы [этим] X. Это X я разделю на 1/2; частное будет 2х, т. е. удвоенной стороной квадрата z2; это ты уже знаешь; получается х равным 17 восьмым.

К подстановкам. 1-е число будет 17 [восьмых], 2-е чис­ ло 1, 3-е 25/8.

24. Данное число разложить на два числа и сделать, чтобы их произведение было кубом без стороны.

Пусть данное число будет 6.

Положим 1-е число х; тогда остаток 6 — х будет 2-м числом. Остается, чтобы их произведение было кубом без стороны. Но их произведение будет 6z — х2; это должно равняться кубу без стороны. Образую куб на х, взятом сколько-то раз минус 1, пусть на 2z — 1. Построенный куб без стороны будет 8х3 + 4х — 12z2. Это должно рав­ няться 6z — z2.

Если бы количества z в каждой стороне равенства были равными, то остались бы для сравнения члены с х3 и z2, и X получилось бы рациональным. Но 4z получается из разности 6z и 2z, т. е. из утроенного 2z; и если из утроен­ ного 2z вычесть 2z, то получится дважды 2z. Но 6 является произвольным согласно предположению. Таким образом, я вынужден отыскивать число, как это 2z, которое, бу­ дучи взято 2 раза, давало бы 6. Это число есть 3.

Я ищу 6z — z2, равное кубу без стороны. Теперь сторону этого куба я беру 3z — 1; построенный на ней куб без своей стороны будет

27z3 + 6z — 27z2 = 6z — z2;

иz получается равным 26/27.

Кподстановкам. 1-е число будет 26, а 2-е 136 [двадцать седьмых долей].

106

А РИ Ф М ЕТИ К А К Н И ГА IV

25. Данное число разложить на такие три числа, чтобы [построенное] на них тело было кубом, сторона которого равнялась сумме разностей между этими числами.

Пусть данное число 4.

Так как составленное из трех чисел тело есть куб, то пусть он будет 8а:3 и его сторона 2х. Но разность 2-го и 1-го чисел, затем 3-го и 2-го и, наконец, 3-го и 1-го чисел [в сумме] дает удвоенную разность 3-го и 1-го чисел, т. е. если три числа не равны, то сумма трех разностей будет вдвое больше разности крайних чисел.

По предположению мы имеем сторону куба, равную 2х; тогда 2х должно быть суммой всех трех разностей; следовательно, 3-е больше 1-го па х. Пусть 1-е число равно какому-нибудь количеству х-ов, положим 2х; тогда 3-е число будет Зх. А так как составленный из трех объем будет 8ж3 и произведение 1-го и 3-го равно 6х2, то остаю­ щееся 2-е будет

И если бы 2-е число было больше 1-го и меньше 3-го, то задача была бы решена. Но 2-е число получилось из де­ ления 8 на произведение 1-го и 3-го. Но 1-ѳ и 3-ѳ не будут любыми числами, но разнятся на 1; следовательно, я дол­ жен искать два числа, разнящиеся между собой па 1 и та­ кие, чтобы 8, разделенное на их произведение, давало число, большее меньшего и меньшее большего.

чтобы оно было больше х и меньше х + 1. И так как раз­ ность этих чисел есть 1, то разность между 1-м и 2-м мень­ ше 1 1), так что 2-е вместе с 1 будет больше 1-го. Но 2-е вместе с 1, взятое в долях х2 + х, будет

8 + ж3 + .г

X“ —|—X

и это больше, чем х + 1. Умножим обе части неравенства на знаменатели:

X2 + X -j- 8 больше X3 + 2я2 + х.

’) В этом месте под і-м числом Диофант понимает наибольшее, под 2-м — среднее и под 3-м — наименьшее. (Прим. реО.)

107

Д И О Ф А Н Т

После отбрасывания подобных получается: 8 больше X3 + X2.

Образую куб, который включал бы а:3 + а;2. Пусть

иX получится равным 5/3.

Кподстановкам. 1-е число будет 8/3, 2-ѳ 9/5, 3-е 5/3. Множим все три на 15. 1-е число будет 40, 2-ѳ 27 и 3-е

25.Так мы избавились от знаменателей и нашли три числа, чтобы построенный на них объем был кубом, сторона ко­ торого равнялась бы сумме их разностей.

Теперь я полагаю 1-е число равным 40а;, 2-е 21х и 3-е 25а;; образованный из них объем будет кубом, сторона которого равна сумме их разностей. Остается лишь срав­ нить сумму трех этих чисел с заданным числом; дано же было 4. Таким образом, 92а; равно 4; и а; будет одна (двад­ цать третья).

К подстановкам. 1-е число будет 40, 2-е 27 и 3-е

25[двадцать третьих].

26.Найти такие два числа, чтобы их произведение, сложенное с каждым из них, давало куб.

Составляю 1-е число из кубического количества а;-ов *); пусть оно будет 8а:; 2-е полагаю х2 — 1; одно условие удов­ летворено: их произведение, сложенное с 1-м числом, дает куб.

Остается лишь, чтобы их произведение вместе со 2-м числом давало куб. Но это произведение, сложенное со 2-м числом, будет

8а^ + а:2 — 8а: — 1,

оно должно равняться кубу. Строю этот куб на стороне

2а; — 1; и а; будет 14/13.

К подстановкам. 1-е число будет 112/13, 2-е 27/169. 27. Найти два числа, произведение которых минус

каждое дает куб.

Составляю, подобно предыдущему, 1-е число из куби­

108

А РИ Ф М ЕТИ К А К Н И ГА IV

и их произведение минус < 1-е будет кубом. Затем это про­ изведение минус) 2-е дает 8а:3 -)- 8а; — х2 — 1. Это должно равняться кубу, что невозможно 1).

Опять положу одно число равным кубическому коли­

Так как произведение чисел вместе с суммой образует куб, то пусть этот куб будет 64. Затем, так как их про­ изведение без суммы образует <куб, то пусть этот куб бу­ дет) 8. Следовательно, удвоенная сумма [этих чисел], равная разности [этих кубов], будет 56, т. е. сумма равна 28. Но произведение этих чисел вместе с их суммой равно 64; следовательно, их произведение будет остатком, рав­ ным 36. Теперь мне приходится найти два числа таких, что

решена. Но 160 представляет разность между 196 и 36. А 196 есть квадрат 14, и 14 представляет половину 28. Та­

а 36 — это половина суммы этих кубов. Таким образом, я пришел к тому, чтобы найти два куба, четверть разности которых, будучи умножена на самое себя, без половины

Я . Татіери.)

109