книги из ГПНТБ / Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах

ленное к квадрату первого, оно дает квадрат. Для третьего выберем произвольно коэффициент при х и свободный член,

с условием, чтобы прибавление квадрата второго давало квад­ рат; например, пусть опо будет 4х -f- 3.

Таким образом, два условия удовлетворены; нужно еще, чтобы сумма всех трех, а также квадрат третьего вместе с пер­

члены равными одному и тому же квадрату.

Тем же методом можно распространить задачу на четыре числа и так до бесконечности; достаточно сделать, чтобы свободные члены в выражениях для отдельных чисел были квадратами, а это очень легко».

Ко второй:

«Способ рассуждения, который мы применили к преды­ дущей задаче, позволяет решить и эту и распространить ее на произвольное число чисел».

14.Задача ІѴы эквивалентна системе

Вэтой задаче появляется в процессе решения неопределенное урав­

Это уравнение определяет гпперэллпптическую кривую рода 2. Для такпх кривых и до спх пор неизвестен общий метод нахождения

Таким образом, на рассматриваемой поверхности выделяется ра­ циональная кривая.

230

АРИФМЕТИКА КНИГА IV

15. В задаче 1VWтребуется найти «общие выражения» для чи­ сел таких, что

Поскольку коэффициент при х2 является полным квадратом, то его можно было бы решить, положив Y 3 = аух 4 ß. В этом случае

все неизвестные были бы выражены как рациональные функции трех параметров, т. е. мы бы получили общее решение. Одиако Дио­ фант избирает иной путь. Ои ищет частное решение, а именно он подбирает второй параметр так, чтобы левая часть третьего уравне­ ния обратилась в полный квадрат. Это можно сделать, если поло­

Ясно, что они удовлетворяют данной задаче неопреде­ ленным образом, сверх того, нужно, чтобы каждое из этих

231

равны квадратам, и возникает тройное равенство, которое решается найденным нами методом. Смотри мое замечание

кзадаче ѴІ^» [в нашем издании ѴІ22.— И. £ .].

17.Задача ІѴ21 эквивалентна системе

А =

Такие числа можно выбрать, если воспользоваться формулами для

232

АРИФМЕТИКА КНИГА IV

Г) = 1). Тогда все уравнения, кроме первого, удовлетворены, а пер­ вое уравнение дает

18.Задачи ІѴ22 и ІѴ23 эквивалентны системам

2а3 /с- — I

Кэтой задаче Ферма делает следующее замечание (№ XVII): «Задача может быть решена не только без леммы Дио­

фанта х), но и без двойного равенства2). Положим:

И два условия задачи будут удовлетворены.

Чтобы найти третье, разделим тело из трех, хг — 2х, на

і) Двойное равенство было применено Диофантом при решении следующей задачи (ГѴц). Но Баше укавал, что и задача ГѴі, может быть сведена к двойному равенству.

233

которая определяет пространственную эллиптическую кривую L ■ Диофант полагает а = 6, Х х — х, исключает Х 2 и получает

X {а — х) — У3 — У.

Две рациональные точки этой кривой U можно найти сразу. Это М г (0, 1) и М 2 (0, —1). Диофант делает подстановку

У = ßx — 1 (ß = 2).

Тогда

ß3x3 - (3ß2 — 1) xs + (2ß — а) X = 0.

Чтобы это уравнение имело рациональное решение, Диофант пола­ гает 2ß — а = 0, т. е. он устанавливает, что число ß не может быть

234

АРИФМЕТИКА КНИГА W

выбрано произвольно. Это не переменный параметр, как в преды­ дущих задачах, а вполне определенная величина, равная я/2. Это­ му значению ß отвечает рациональная точка кривой U:

сательной к чисто алгебраически. Метод его совершенно общин.

dY

Таким образом, способ Диофанта дает алгебраический метод вы­ числения производной, только он применяет свой способ не в общем виде, а для конкретных кривых.

Этим методом Виет, Баше и Ферма решали задачу о представ­ лении суммы или разности двух кубов суммой нли разностью двух других кубов (см. примечания к задаче ІѴ2). По-видимому, и сам Диофант решил таким образом уравнение X s — У3 = о3 -f- bs, на

которое он ссылается в задаче Ѵ10. Он применил этот же метод и в задаче ѴІ20.

Эйлер первый сформулировал, в чем состоит различие меж у проблемами отыскания рациональных решений неопределенных уравнений второй и третьей степеней. В своей «Алгебре» он писал:

«Мы должны заметить заранее, что здесь [т. е. для урав­ нений третьей степени.— И. Б.] нельзя найти общего ре­

шения, как это было в предыдущих случаях, и метод, упот-

235

КОММЕНТАРИИ

ребляемый нпже, приводит не к бесконечному множеству решений одновременно, но теперь каждая операция позво­ лит нам узнать только одно значение xi> (L. E u l e r , Elé-

могла быть преобразована в квадрат, необходимо предпо­ ложить предварительно, что существует случай, когда такое преобразование возможно. Но такой случай виден яснее всего, когда первый член сам является квадратом и формула пмеет вид У2 = /2 + ЬХ -f- сУ2 d X 3, так как она, оче­ видно, становится квадратом, если X = 0» (там же, стр. 137,

§114).

Вэтом случае новое решение следует, согласно Эйлеру, искать

ввиде

У= / + р Х ,

«где / есть квадратный корень из первого члена, а р взято

Если мы подставим полученные значения неизвестных в первое уравнение, то получим

8

+ (ß + 1 )

ß( ß + l )

икривая рационализируется.

236

которое определяет интервал возможных значений параметра ß. Диофант решает его так: поскольку

После этого он ищет куб, который был бы больше ß3 + ßa и Два пер­

вых члена которого совпадали бы с ß3 + ß2Диофант берет ^ß + -і-''

и приравнивает ^ß -f- ~ j 3= 8, откуда

Р = |ѵ , Л = * .= •§•*,

и X находится из первого уравнения.

Издатель Диофанта А. Чвалина подсчитал, что ß должно ле­ жать в интервале (1,428; 1,716). Для каждого рационального зна­ чения ß из этого интервала получим свое решение. Диофант выбрал ß = 5/3 = 1,66..., т. ѳ. одно из значений, принадлежащих интер­ валу возможных значений параметра.

21.Задача ІѴи эквивалентна системе

Диофант делает подстановку

Х х = ß3a:, Х 2 = ** - 1, Yx = ßa; (ß = 2 ),

которая обращает первое уравнение в тождество, а второе прини­ мает вид

ß3z3 -f ж3 - ß3a: - 1 = У®.

При фиксированном ß это уравнение представляет эллиптическую кривую L на плоскости (ж, У2). Диофант полагает

У2 = ßa: — 1

и получает

т. e. новую рациональную точку кривой L.

237

КОММЕНТАРИЙ

Нетрудно усмотреть геометрический смысл подстановки Дио­ фанта. Для этого запишем уравнение кривой L в однородных коор­ динатах (X, У, U):

ß3X 3 + X~U - ß3X f/2 — U3 = У3.

Эта кривая имеет две рациональные точки: конечную (0, —1, 1) и бесконечно удаленную (1, ß, 0). Прямая, проходящая через эти две точки, будет иметь уравнение

ßX — U = У,

или, возвращаясь к аффинным координатам, ß.r — 1 =Уг.

Итак, здесь применен «метод секущей», по для случая, когда

До недавнего времени по­ лагали, что методы касатель­ ной и секущей получили гео­ метрическую интерпретацию только в XIX веке. Однако не­ давно Д. Т. Уайтсайд обнару­

жил такую интерпретацию в бумагах Ньютона. Мы приводим здесь соответствующий отрывок:

«Если уравнение достигает трех измерений н существуют три рациональных случая [т. е. имеются три рациональные точки.— И. !?.], не составляющие арифметической прогрес­

238

АРИФМЕТИКА КНИГА IV

(см. рис. 3) (The MaLhemalical Papers of Isaac Newlen, ed.

D.T. Whiteside, t. IV, Cambridge, 1971, s. 112—114).

22.Задача IV27 эквивалентна системе

<XiX2 - X x = уз,

І В Д - х л = У®.

Диофант пытается решить ее тем же методом, что и задачу ІѴ»о. Он полагает

Х г = ß3x (ß = 2), Х 2 = я2 + 1, тогда Y x = ßi,

первое уравнение обращается в тождество, а второе принимает вид

Диофант утверждает, что левую часть уравнения (*) невозможно преобразовать в куб. При этом он пмеет в виду «невозможно методом предыдущей задачи». Действительно, если мы положим У2 = ßz —

— 1 , то получим

Р3 - ß 2

Но обе эти подстановки отвечают совершенно иному методу — ме­ тоду касательной, который был применен Диофіантом в задаче ІѴм. Желая воспользоваться методом задачи ІѴгз, т. е. методом секущей, Диофант меняет первоначальную подстановку. А именно он по­ лагает Х 1 = ß3x + 1, Х 2 = я2, тогда У2 = ßz, после чего второе

уравнение удовлетворяется, а первое принимает вид

ß3z3 + я2 — ß3x- - 1 = У3.

Теперь подстановка Ух = ßz — 1 приводит к дели:

Р3 + ß2

х— Р 1 + 3ß2 •

23.Задача ІѴаз эквивалентна спстеме

ХгХ 2 -1- (X, -I- Х 2) = У®,

239